天津市南开中学滨海生态城学校2024届数学高一第二学期期末经典试题含解析

天津市南开中学滨海生态城学校2024届数学高一第二学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则“数列为等比数列”是“数列满足”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）A． B． C． D．3．如图，在四边形ABCD中，，，，，.则（）A． B． C．4 D．34．点到直线（R）的距离的最大值为A． B． C．2 D．5．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是B．结余最高的月份是月份C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D．前个月的平均收入为万元6．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：/℃/百元对上述数据进行分析发现，与之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：A． B．C． D．7．在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为（）A． B． C． D．8．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A． B．C． D．9．已知，则（）A． B． C． D．10．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.12．已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.13．已知，则的值为_____________14．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．15．方程组对应的增广矩阵为__________.16．在梯形中,，,设,,则__________(用向量表示).三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，．（1）求函数的值域；（2）若恒成立，求m的取值范围．18．已知圆（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；（3）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．19．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．（1）求证：//平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．20．已知函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求函数的单调递减区间及图象的对称轴方程.21．数列中，，，.（1）证明：数列是等比数列.（2）若，，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

“数列为等比数列”，则，数列满足．反之不能推出，可以举出反例．【题目详解】解：“数列为等比数列”，则，数列满足．充分性成立；反之不能推出，例如，数列满足，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列为等比数列”是“数列满足”的充分非必要条件故选：．【题目点拨】本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、C【解题分析】

试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.3、D【解题分析】

在中，由正弦定理得到的长，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的长.【题目详解】在中，由正弦定理，得，因为，，所以，在中，由余弦定理得所以.故选：D.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.4、A【解题分析】

把直线方程化为，得到直线恒过定点，由此可得点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离，得到答案．【题目详解】由题意，直线可化为，令，解得，即直线恒过定点，则点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离为：，故选A．【题目点拨】本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中把直线方程化为，得出直线恒过定点是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．5、D【解题分析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误．综上，故选．6、B【解题分析】

计算出，，把数据代入公式计算，即可得到答案．【题目详解】由题可得：，，，，；所以，，则线性回归方程为；故答案选B【题目点拨】本题考查线性回归方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.【题目详解】由正弦定理可得：设，，最大为最大角本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.8、B【解题分析】

由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．【题目详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．【题目点拨】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、C【解题分析】

根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.【题目详解】当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.10、D【解题分析】

利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论．【题目详解】由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数，但它在区间上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数，且满足在区间上单调递减，故满足条件．故答案为：D【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.【题目详解】根据题意,不妨设,,则,因,所以,设,由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.12、【解题分析】由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.13、【解题分析】

利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【题目详解】由得，，，两式相除得，，则．【题目点拨】本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．14、【解题分析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【题目详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【题目点拨】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解题分析】

根据增广矩阵的概念求解即可.【题目详解】方程组对应的增广矩阵为,故答案为：.【题目点拨】本题考查增广矩阵的概念，是基础题.16、【解题分析】

根据向量减法运算得结果.【题目详解】利用向量的三角形法则，可得，，又，，则，.故答案为.【题目点拨】本题考查向量表示，考查基本化解能力三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或．【解题分析】

（1）根据用配方法求出二次函数对称轴横坐标，可得最小值，再代入端点求得最大值，可得函数的值域；（2）由（1）可得的最大值为6，转化为求恒成立，求出m的取值范围即可．【题目详解】（1）因为，而，，，所以函数的值域为．（2）由（1）知，函数的值域为，所以的最大值为6，所以由得，解得或，故实数m的取值范围为或．【题目点拨】本题考查二次函数的值域及最值，不等式恒成立求参数取值范围，二次函数最值问题通常求出对称轴横坐标代入即可求得最值，由不等式恒成立求参数取值范围可转化为函数最值不等式问题，属于中等题.18、（1）；（2）或；（3）【解题分析】

（1）设，根据圆心与关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由圆的弦长公式，求得，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；（3）由直线，得直线过定点,根据时，弦长最短，即可求解．【题目详解】（1）由题意，圆的圆心，半径为，设，因为圆心与关于直线对称，所以，解得，则，半径，所以圆标准方程为：（2）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，所以直线的方程为，综上，直线方程为或（3）由直线，可化为，可得直线过定点,当时，弦长最短，又由，可得，此时最短弦长为．【题目点拨】本题主要考查了圆的对称圆的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的弦长公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.【题目详解】（1）连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中点，连接，∵分别为的中点，∴，∵平面，∴平面，∴直线与平面所成角为，∵，，∴.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．20、（1），；（2）减区间为，对称轴方程为【解题分析】

(1)先根据平移后周期不变求得,再根据三角函数的平移方法求得即可.(2)根据(1)中,代入可得,利用辅助角公式求得,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【题目详解】（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,所以.所以,因为,所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函数的单调递减区间为.令,可得图象的对称轴方程为.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.21、（1）见解析（2）9或35或133【解题分析】

（1）分别写出和，做商，再用表示出，