上海杨浦高级中学2024届高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

上海杨浦高级中学2024届高一数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是()A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则2．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A．193 B．192 C．191 D．1903．关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．4．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()A． B． C． D．6．已知分别是的内角的的对边，若，则的形状为（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形7．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的各科平均分不同 B．甲、乙两人的中位数相同C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D．甲的众数是83，乙的众数为878．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．10．已知，则=（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列满足：，，的前项和记为，若，则实数的取值范围是________12．点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.13．在等差数列中，，当最大时，的值是________.14．若为的最小内角，则函数的值域为_____．15．已知函数，，则的最大值是__________．16．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值.18．遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度．19．已知向量，，且函数.若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为.（Ⅰ)求函数的解析式；（Ⅱ)若方程在时，有两个不同实数根，，求实数的取值范围，并求出的值；（Ⅲ)若函数在的最大值为2，求实数的值.20．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？21．已知圆与直线相切（1）若直线与圆交于两点，求（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；B选项，若，，则或，故B错；C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；D选项，若，，则，故D正确；故选D【题目点拨】本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.2、B【解题分析】

按分层抽样的定义，按比例计算．【题目详解】由题意，解得．故选：B.【题目点拨】本题考查分层抽样，属于简单题．3、B【解题分析】

将不等式化为，等价于，解出即可．【题目详解】由原式得且，解集为，故选B．【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：；；；.4、C【解题分析】由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.5、B【解题分析】

根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．【题目详解】∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，∴第一个打电话给甲的概率为．故选：B．【题目点拨】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6、A【解题分析】

由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，整理可得从而有结合三角形的性质可求【题目详解】解：是的一个内角，，由正弦定理可得，又，，即为钝角，故选A．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．7、C【解题分析】

分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.【题目详解】甲的平均分为，乙的平均分，两人平均分相同，故A选项错误.甲的中位数为，乙的中位数为，两人中位数不相同，故B选项错误.甲的众数是，乙的众数是，故D选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.）故选：C【题目点拨】本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题.8、C【解题分析】

设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.【题目详解】设球心为，的中心为，则，，球的半径，所以球的表面积为.故选：C【题目点拨】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.9、A【解题分析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【题目详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【题目点拨】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．10、C【解题分析】由得：，所以，故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

因为数列有极限,故考虑的情况.又数列分两组,故分组求和求极限即可.【题目详解】因为,故,且,故,又,即.综上有.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.12、【解题分析】

由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【题目详解】点P从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标，纵坐标为，故答案为：【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于容易题．13、6或7【解题分析】

利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【题目详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.14、【解题分析】

依题意，，利用辅助角公式得，利用正弦函数的单调性即可求得的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解．【题目详解】∵为的最小内角，故，又，因为，故，∴取值范围是．令，则且∴，令，由双勾函数可知在上为增函数，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查同角的三角函数的基本关系、辅助角公式以及正弦型函数的值域，注意根据代数式的结构特点换元后将三角函数的问题转化为双勾函数的问题，本题属于中档题．15、3【解题分析】函数在上为减函数，故最大值为.16、【解题分析】

根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.【题目详解】由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点，，所以线性回归方程必过.故答案为：【题目点拨】本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）当时，函数取最小值.【解题分析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得函数的单调递增区间；（2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得该函数的最小值及其对应的值.【题目详解】（1），所以，函数的最小正周期为；令，得，所以函数的单调增区间为；（2）当时，，所以，当时，即当时，取得最小值，所以，函数在区间上的最小值为，此时.【题目点拨】本题考查正弦型函数的最小正周期和单调区间、最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.18、【解题分析】

根据正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【题目详解】由题意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因为，所以，所以．【题目点拨】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解题分析】

（Ⅰ)根据三角恒等变换公式化简，根据周期计算，从而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的单调性，计算最值和区间端点函数值，从而得出的范围，根据对称性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范围和关于的二次函数，讨论二次函数单调性，根据最大值列方程求出的值．【题目详解】（Ⅰ）∵，，∴若函数的图象上两个相邻的对称轴距离为，则函数的周期，∴，即，∴（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，当时，∴若方程在有两个不同实数根，则.∴令，，则，，∴函数在内的对称轴为，∵，是方程，的两个不同根，∴（Ⅲ）因为，所以，令，则.∴又∵，由得，∴.（1）当，即时，可知在上为减函数，则当时，由，解得：，不合题意，舍去.（2）当，即时，结合图象可知，当时，，由，解得，满足题意.（3）当，即时，知在上为增函数，则时，，由得，舍去综上，或为所求.【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，三角函数最值的计算，考查换元法解题思想，属于中档题．20、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小【解题分析】

设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.【题目详解】设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，设调运的总费用为元，则.由已知得约束条件为，可行域如图所示，平移直线可得最优解为.甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.【题目点拨】本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.21、（1）4；（2）详见解析