高中数学题型全面归纳（学生版）：第四节解三角形

第四节解三角形

考纲解读

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关

的实际问题.

命题趋势探究

1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现,

并越来越成为三角函数部分的核心考点.

2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；

三是最值问题.

题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.

知识点精讲

在AABC中，角A3,C所对边依次为a/,c.

1•角的关系

A+8+C=180",sinA=sin（5+C）cosA=-cos（B+C）,tanA=-tan（B+C）,

.AB+CA,B+C

sin—=cos-------,cos—=sin-------.

2222

2.正弦定理

nhc

「===一^=2R（2R为AABC的外接圆的直径）.

smAsinBsinC

正弦定理的应用：

①已知两角及一边求解三角形.

②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：

>1,无解

TT

若a〈b,已知角A求角B.sin8=«=l,8=5；

<1,两解（一锐角、一钝角）

若a〉b,已知角A求角B,一解（锐角）.

3.余弦定理

c2=a2+b~-2a6cosc（已知两边a,b及夹角C求第三边c）

2>2_2

=（已知三边求角）.

余弦定理的应用：

①已知两边及夹角求解第三边；

②已知三边求角；

③已知两边及一边对角不熟第三边.

4.三角形面积公式

=—ah=—abs\x\C=—/?csinA=LesinB.

2222

题型归纳及思路提示

题型67正弦定理的应用

思路提不

(1)已知两角及一边求解三角形；

(2)已知两边一对角；.

,大角求小角一解(锐)

‘两解一sinA<1(一锐角、一钝角)

小角求大角一，一解一sinA=l(直角)

无解一sinA>1

(3)两边一对角，求第三边.

一、利用正弦定理解三角形

53

例4.39已知AABC中，34=吉网113=14=1求85(7及边长。

评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在AABC中,

A>B<=>a>bsinA>sinB.

变式1在AABC中，角ARC所对边依次为a/,c,a=0"=2,

sinB+cosB=J5,则角A的大小为.

例4.40在ZVLBC中，角A,8,C所对边依次为4也0,/8=30。,「=6,记。=/（初

若函数g（a）=/（。）-左伏是常数）只有一个零点，则实数%的取值范围是（）.

A伙|0<左43或左=6}8伙|34人46}C伙|A26}D.{k\k>6^k=3}

评注三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形

的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造直角三角形.

变式1(1)在AABC中，已知角A&C所对的边分别为a,b,c,且b=30,a=2,

如果三角形有解，则角A的取值范围是;

(2)在AABC中，已知角AB,。所对的边分别为。也3且人=La=2,如果三角形

有解，则角B的取值范围是;

(3)在AABC中，已知角A,5,C所对的边分别为“/,c,且。=26,c=3,如果三

角形有解，则角C的取值范围是

变式2在A48C中，内角A,8,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,

bsinB-asinA=—asinC.则sinB为（）

,V7B.2D.1

A.----c旦

4433

二、利用正弦定理进行边角转化

例4.41在AABC中，若A=2B,则1•的取值范围为（）.

b

A.（1,2）8.（1,百）C.（V2,2）D.（血,百）

评注在—BC中，利用正弦定理一进行边与角的转化,

sinAsinBsmC

在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公

式来求解.

变式1（1）若在锐角AABC中，若A=2B,则；的取值范围为

（2）若在直角4WC中，若A=2B,则・的取值集合为

（3）若在钝角AABC中，若A=2B,则*的取值集合为_________

b

变式2在AABC中，B=60,AC=^3,则AB+2BC的最大值为

变式3已知a,b,c，分别为AABC三个内角A,B,C的对边，

acosC+43asinc-b-c=0,

(1)求A；(2)若a=2,AABC的面积为百，求。,c.

TT

变式4在AABC中，角ARC的对边分别为a,8,c,已知A=：,

4

TTTT

/7sin(—4-C)-csin(—+B)=a,

44

JT

(1)求证：B-C=-;(2)若a=Z，求AABC的面积.

题型68余弦定理的应用

思路提不

(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值,

>0,则AABC为锐角三角形

若余弦值<=0,则△ABC为直角三角形.

<0,则△ABC为钝角三角形

一、利用余弦定理解三角形

例4.42在AABC中，b=l,c=®NC=g,则①a=.

②NB=.

变式1在AABC中，a=3,b=2y/6,ZB=2ZA,,

⑴求cosA的值；（2）求c的值.

变式2在AABC中，若。=21+c=7,cosB=—!，贝！JZ?=

变式3已知AABC的三边长成公比为0的等比数列，则其最大角的余弦值

为

例4.43在AABC中，角A,3,C所对边的长分别为a,b,c,若/+/=2。2,则

cosC的最小值为（）.

A.2B.旦

22《叫

变式1在A4BC中,角式aC所对边分别为。也c,若a+c=LNB=30。,求。的

取值范围.

变式2在AABC中，角所对边分别为a,4c,若8=4.NB=60,,求5必比的

最大值.

二、利用余弦定理进行边角转化

例4.44在AABC中，角A,B,C所对边分别为«,b,c,若(a2+c2-/?2)tanB=百ac,则

角B的值为（）.

冗*或笄

A4.—

64

变式1在AABC中,角所对边分别为a,b,c,且

2asinA=(2b+c)sin3+(2c+b)sinC.

(1)求A的值；(2)求sinB+sinC的最大值.

变式2在锐角三角形中，角所对边分别为兄4c,若2+：=6COSC,则

ab

tanCtanC

------+-------=.

tanAtanB

变式3在AABC中，角ABC所对边分别为a,》,c,且

a2-c2=2b,sinAcosC=3cosAsinC，求Zz

题型69判断三角形的形状

思路提示

(1)求最大角的余弦，判断AABC是锐角、直角还是钝角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等

边还是直角三角形.

例4.45在AABC中，若sinC=2cosAsin6,则此三角形必为().

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

变式1设AABC的内角为A,8,C所对边分别为a,b,c,若。cosC+c、cos8=asinA,

则AABC的形状为（）.

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

变式2在AABC中，若sir?A+sin?3<sin?C,则AABC的形状为（).

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

变式3已知AABC中，cos24=宇，则AABC的形状为().

22c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角

形

变式4(1)已知函数/(x)MCOSNx+26sinxcosx-sin?尤.

求的最小正周期和值域；

A

⑵在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,仇c,若/(亍)=2且/=儿，试判断

AABC的形状.

题型70正、余弦定理与的综合

思路提示

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形

式，再利用三角函数转化求解.

例4.46在A46C中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且通.而=丽.比=1.

(1)求证：A=8;(2)求边长c的值；

(3)若|通+恁卜逐，求AABC的面积.

评注①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平

方和，即在CJABCO中，AD-+BC2=2AB-+2AC2.

变式1在A4BC中，AB=2,AC=3,福•比=1,则BC=().

A乖B.yflC.2夜D.y/23

变式2在AABC中，角A,8,C所对边分别为a,"c,A=^,（l+百）c=28.

6

⑴求c；(2)若屈0=1+6,求仇C.

变式3在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,仇c,且cos4=±^，而/=3.

25

(1)求AABC的面积；(2)"c=6,求。的值.

变式4在AA8C中，角A,8,C所对边分别为a,"c,且Z?cosC=3acos8-ccos8

(1)求cosB的值；(2)若赤灰=2,且b=2正，求"和c的值.

题型71解三角形的实际应用

思路提示

根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关

系，利用三角知识求解.

例4.47如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.

一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直

线步行到C,现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行,速度为50m/min,

在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留Imin后，再从B处匀速步行

到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min,山路AC长为1260m,经测量,

cosA=——,cosC=二.

135

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离

最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3

分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

评注解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，

再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上

单位.

最有效训练题20(限时45分钟)

1.在AABC中，角A,8,c所对边分别为“/C若角AB,C依次成等差数列，且

a=l,b=百,则SAABC=().

A.y/2B.%C.y/3D2

2.AABC的三个内角A民。所对边分别为a,"c,qsinAsinB+Ocos?4=缶，则

/()•

A2GB.2V2C.V3D.V2

122

3.已知AABC的三边长分别为a,b,c,且面积SMBC+c-a),则

44=().

A15°8.30°C.450DI20°

4.在A48c中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+h,若AA3C

百

的面积S=Ylc,则必的最小值为()

12

111

A.—B.—C.-D.3

236

5..在AABC中，sin2A<sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是().

兀7C式TC

A(0,-lC.(0,-]D.[-,7T)

oo3