自控原理 第五节

自动控制原理简明教程---胡寿松主编参考教材：自动控制原理---王永骥等主编自动控制原理---张彬编著第一章控制系统导论第二章

控制系统的数学模型第三章

线性系统的时域分析法

第四章

线性系统的根轨迹法*

第五章

线性系统的频域分析法第六章

线性系统的校正方法第七章

线性离散系统的分析

主要内容

1.1

自动控制的基本原理

1.自动控制技术及其应用

稳在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。所谓自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。例如，数控车床按照预定程序自动地切削工件；化学反应炉的温度或压力自动地维持恒定；雷达和计算机组成的导弹发射和制导系统，自动地将导弹引导到敌方目标；无人驾驶飞机按照预定航迹自动升降和飞行；人造卫星进入预定轨道运行等。

第一章控制系统导论

2.自动控制理论

自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制。第二次世界大战期间，为了设计和制造基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。到战后已形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析和设计问题。20世纪60年代初期，自动控制理论跨入了一个新阶段---现代控制理论。它主要采用状态空间法，主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题。目前，自动控制理论还在继续发展，正向智能控制理论深入。

1.1自动控制的基本原理

3.反馈控制原理

为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机总体，这就是自动控制系统。在自动控制系统中，被控对象的输出量即被控量是要求严格加以控制的物理量，它可要求保持为某一恒定值（如温度、压力、液位等），也可要求按照某个给定规律运行（如飞行航迹、记录曲线等）；而控制装置则是被控对象施加控制作用的机构的总体，它可采用不同原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于反馈原理组成的反馈控制系统。

在反馈控制系统中，控制装置对被控对象施加的控制作用是取自被控量的反馈信息，用来不断修正被控量与输入量（参据量）之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制的任务，这就是反馈控制的原理。1.1自动控制的基本原理

例如，人用手拿去桌上的书，汽车司机操纵方向盘驾驶汽车平稳行驶等。

通过解剖手从桌上取书的动作过程，透视一下它所包含的反馈控制机理......大脑控制手取书的过程是一个利用偏差（手和书之间距离）产生控制作用，并不断使偏差减少直至消除的运动过程；同时，为了取得偏差信号，必须要有手位置的反馈信息，两者结合起来就构成了反馈控制。反馈控制实质上是一个按偏差进行控制的过程。人取物视为一个反馈控制系统时，手是被控对象，手位置是被控量，产生控制作用的机构是眼睛、大脑和手臂，统称为控制装置。系统方框图如图1-1所示。

图1-1人取书的反馈控制系统方框图眼睛大脑手臂、手眼睛输入信号

(书位置)

输出量

(手位置)

通常，我们把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差信号的过程称为反馈。若反馈信号是与输入信号相减，使产生的偏差越来越小，则称为负反馈；反之称为正反馈。反馈控制引入了被控量的反馈信息，整个控制过程成为闭合过程，因此反馈控制也称闭环控制。

在工程实践中为了实现对被控对象的反馈控制，系统中必须配置设备用来对被控量进行连续地测量、反馈和比较，并按偏差进行控制。这些设备依其功能分别称为测量元件、比较元件和执行元件，并统称为控制装置。

例如：龙门刨床速度控制系统图1-2是利用速度反馈对刨床速度进行自动控制的原理示意图。在这个系统中，被控对象是直流电动机SM，测量元件是测速发电机TG，执行元件是触发器CF和整流装置KZ；给定电压是u0，相对应速度给定值n，反馈信号是测速发电机电压ut，偏差电压∆u=u0﹘ut，偏差电压经放大器FD放大后为uk(触发器控制电压)，晶闸门管整流电压ua。

自动控制系统根据需要自动地改变刨床速度，由测量元件(测速发电机)对被控制量(速度)进行检测，并将它反馈至比较电路与给定值相减而得到偏差电压(速度负反馈)，经放大器放大、变换后，执行元件(触发器和整流装置)便依据偏差电压的性质对被控量(速度)进行相应调节，从而使偏差消失或减少到允许范围。这就是负反馈控制控制原理.

图1-4是刨床速度控制系统方框图。图中，被控对象和控制装置的各元部件(硬件)分别用一些方框表示；系统中的物理量(信号)标志在信号线上，其流向用箭头表示；用进入方框的箭头表示输入量，离开方框的箭头表示输出量；系统输出量一般在图的最右端；系统输入量在图的左端。

图1-4

龙门刨床速度控制系统方框图比较电路放大器电动机测速发电机触发器晶闸管u0

∆uukuan

﹘﹘

ut

4.反馈控制系统的基本组成

反馈控制系统是由各种不同的元部件组成的，从完成“自动控制”这一职能来看，一个系统必然包含被控对象和控制装置两大部分，而控制装置是由具有一定职能的各种基本元件组成的。组成系统的元部件按职能分类主要有以下几种：测量元件，其职能是检测被控制的物理量，如果这是非电量，一般要再转换为电量。如，测速发电机检测速度并转换为电压；给定元件，其职能是给出与期望的被控量相对应的系统输入量；比较元件，其职能是把测量元件检测的被控量与系统输入量进行比较，求出它们之间的偏差；放大元件，其职能是将比较元件给出的偏差信号进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象；执行元件，其职能是直接推动被控对象，使其被控量发生变化；校正元件，也叫补偿元件，它是结构或参数便于调整的元部件，用串联或反馈的方式连接在系统中，以改善系统的性能。1.1自动控制的基本原理

一个典型的反馈控制系统基本组成可用图1-5表示，图中，“Ｏ”代表比较元件，“﹘”号表示两者符号相反，即负反馈；“+”号表示两者符号相同，即正反馈。

信号从输入端沿箭头方向到达输出端的传输通路称前向通路；系统输出量经测量元件反馈到输入端的传输通路称主反馈通路。前向通路与主反馈通路共同构成主回路，此外，还有局部反馈通路以及由它构成的内回路。

一般加到反馈控制系统上的外作用有两种类型，一种是有用输入，一种是扰动。有用输入决定系统被控量变化规律；而扰动是系统不希望有的外作用，它破坏有用输入对系统的控制。如电源电压的波动，环境温度及负载变化等。

图1-5

反馈控制系统基本组成串联补偿元件放大元件执行元件反馈补偿元件被控对象测量元件输入量﹘﹘﹘输出量

5.自动控制系统基本控制方式

反馈控制系统是自动控制系统最基本的控制方式，也是应用最广泛的一种控制方式。除此之外，还有开环控制方式和复合控制方式，它们都具有各自的特点和适用场合。（1）反馈控制方式，是按偏差进行控制，其特点是不论什么原因使被控量偏离期望值而出现偏差时，必定会产生一个相应的控制作用去减小或消除这个偏差，使得被控量与期望值趋于一致。具有抑制任何内、外扰动产生影响的能力，有较高的控制精度。（2）开环控制方式，是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程，按这种方式组成的系统称为开环控制系统，其特点是系统的输出量不会对系统的控制作用产生影响；这种控制方式没有自动修正偏差的能力，抗扰动能力较差。（3）复合控制方式，比较合理的一种控制方式是把按偏差控制与按扰动控制结合起来，对于主要扰动采用适当的补偿装置实现按扰动控制，同时再组成反馈控制系统实现按偏差控制，消除其余扰动的影响。系统主要扰动已被补偿，反馈控制系统就比较容易设计，控制效果也会更好。这种控制方式称为复合控制方式。

1.函数记录仪

函数记录仪是一种通用的自动记录仪，它可在直角坐标上自动描绘两个电量的函数关系。同时，记录仪还带有走纸机构，用以描绘一个电量对时间的函数关系。其原理如图1-8所示，系统的输入是待记录电压，被控对象是记录笔，其位移即为被控量。系统的任务是控制记录笔位移，在记录纸上描绘出待记录的电压曲线。

2.电阻炉微型计算机温度控制系统图1-10为某工厂电阻炉微型计算机稳定控制系统，图中，电阻丝通过晶闸管主电路加热，炉温期望值用计算机键盘预先设置，炉温实际值由热电偶检测，并转换成电压由A/D变换器送入计算机，在计算机中与所设置温度期望值比较，根据控制算法由偏差信号计算出相应的控制量，再经D/A变换器变换成电流，通过触发器控制晶闸管导通角，从而改变电阻丝中电流大小，达到控制炉温的目的。1.2自动控制系统示例

3.锅炉液位控制系统

锅炉是电厂和化工厂里常见的生产蒸汽的设备，常见的锅炉液位控制系统示意图如图1-11所示。当蒸汽的耗汽量与锅炉进水量相等时，液位保持为正常值。当锅炉的给水量不变，而蒸汽负荷突然增加或减少时，液位就会下降或上升；或者其它原因引起锅炉液位发生变化，实际液位高度与正常给定液位之间出现了偏差，调节器均应立即进行控制，去开大或关小给水阀门，使液位恢复到给定值。

图1-12是锅炉液位控制系统方框图

1.2自动控制系统示例

调节器锅炉测量变送器调节阀

调节器输出扰动

给定值+偏差值水被控参数

比较

﹘﹘

测量值

图中，锅炉为被控对象，其输出为被控参数液位；扰动是给水压力变化或蒸汽负荷变化等；测量变送器测量锅炉液位；调节器是控制系统中的控制器，按一定的控制规律发出相应的输出信号去推动调节阀动作；调节阀起执行元件的作用，根据控制信号对锅炉的进水量进行调节。

1-3自动控制系统的分类

自动控制系统有多种分类方法。例如，

按控制方式可分为开环控制、反馈控制、复合控制等；按元件类型可分为机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等；按系统功能可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等；按系统性能可分为线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统、确定性系统和不确定性系统等；按参据量变化规律可分为恒值控制系统、随动系统和程序控制系统等。

1.3自动控制系统的分类

常常将上述各种分类方法组合应用。

1.线性连续控制系统

这类系统可以用线性微分方程式描述，其一般形式为式中，c(t)是被控量；r(t)是系统输入量。系数是常数时称为定常系统；系数随时间变化时称为时变系统。线性定常连续系统又可分为：(1).恒值控制系统，这类控制系统的参据量是一个常值，要求被控量亦等于一个常值，故又称为调节器。(2).随动系统，这类控制系统的参据量是预先未知的随时间任意变化的函数，要求被控量以尽可能小的误差跟随参据量变化，故又称为跟踪系统。(3).程序控制系统，这类控制系统的参据量是按预定规律随时间变化的函数，要求被控量迅速、准确地加以复现。

2.线性定常离散控制系统

离散系统是指系统的某处或多处的信号为脉冲或数码形式，因而信号在时间上是离散的。连续信号经过采样开关的采样就可以转换成离散信号。离散系统用差分方程描述的一般形式为

式中，m≤n，n为方程的次数；系数为常系数；r(k)，c(k)分别为输入和输出采样序列。典型的离散系统如炉温微机控制系统。

3.非线性控制系统系统中只要有一个元部件的输入-输出特性是非线性的，这类系统就称为非线性控制系统，特点是方程的系数与变量有关，或含有高次幂项。目前对不同类型的非线性控制系统的研究还没有统一的方法，但对于非线性程度不太严重的元部件，可采用在一定范围内线性化的方法，从而将非线性控制系统近似为线性控制系统。

1.3自动控制系统的分类

1.基本要求的提法

对每个系统都有不同的要求，但对于各类系统来说，在已知系统的结构和参数时，我们感兴趣的是系统在某种典型输入信号下其被控量变化的全过程。对每一类系统被控量变化全过程提出的基本要求都是一样的，且可以归结为稳定性、快速性和准确性，即稳、准、快的要求。

（1）.稳定性稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件，一个稳定的控制系统其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小并趋于零。当系统受到扰动或有输入量时，控制过程不会立即完成，使被控量恢复期望值或跟踪参据量有一个时间过程，称为过渡过程。在反馈控制系统中，由于控制装置的惯性，使被控量在期望值附近来回摆动，过渡过程呈现振荡形式。如果这个振荡过程是逐渐减弱的，系统最后可以达到平衡状态，控制目的得以实现，称为稳定系统；反之，如果振荡过程逐步增强，系统被控量将失控，则称为不稳定系统。

1.4自动控制系统的基本要求

（2）.快速性

为了很好完成控制任务，必须对其过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。对控制系统过渡过程的时间（即快速性）和最大振荡幅度（即超调量）一般都有具体的要求。

（3）.准确性理想情况下，当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值应与期望值一致。但实际上由于系统结构，外作用系形式以及摩擦等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差存在，称为稳态误差。

2.典型外作用在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样，为了便于用统一的方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作为典型外作用。可选作典型外作用的函数应具备以下条件：1）这种函数在现场或实验室中容易得到；2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能；3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。

1.4自动控制系统的基本要求

1.4自动控制系统的基本要求

目前，在控制工程设计中常用的典型外作用函数有阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数以及正弦函数等确定性函数，还有伪随机函数。

（1）.阶跃函数

阶跃函数的数学表达式式为

(1-1)

式(1-1)表示一个在t=0时出现的幅值为R的阶跃变化函数，如图1-13所示。幅值R=1的阶跃函数，称单位阶跃函数，用1(t)表示；幅值为R的阶跃函数可表示为R•1(t)。在任意时刻t0出现的阶跃函数可表示为f(t﹘t0)=R•1(t﹘t0)。阶跃函数是自动控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用形式。在控制系统的分析设计工作中，一般将阶跃函数作用下系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。

（2）.斜坡函数斜坡函数的数学表达式为(1-2)式(1-2)表示在t=0时刻开始，以恒定速率R随时间变化的函数，如图1-14所示。在工程实践中，某些随动系统就常常工作于这种外作用下。

（3）.脉冲函数脉冲函数定义为(1-3)式中，(A/t0)[1(t)﹘1(t﹘t0)]是由两个阶跃函数合成的脉动函数，其面积(A/t0)t0，如图1-15所示。

图1-13

阶跃函数图1-14斜坡函数图1-15脉动函数和脉冲函数

f(t)f(t)

δ(t)

A/t0

0t0t0t0t

当宽度t0趋于零时，脉动函数的极限便是脉冲函数，它是一个宽度为零、幅值无穷大、面积为A的极限脉冲，脉冲函数的强度通常用其面积表示。面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数或δ函数；强度为A的脉冲函数表示为Aδ(t)。在t0时刻出现的单位脉冲函数则表示为δ(t﹘t0)。

必须指出，脉冲函数在现实中是不存在的，只有数学上的定义，它在自动控制理论研究中具有重要作用。

（4）.正弦函数

正弦函数的数学表达式为

(1-4)式中，A为正弦函数振幅；ω=2πf为正弦函数角频率；φ为初始相角。正弦函数是控制系统常用的一种典型外作用，系统在正弦函数作用下的响应，即频率响应是自动控制理论中研究控制系统性能的重要依据(详见第五章)。

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型；建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部件的运动机理进行分析，根据它们的物理规律和化学规律分别列写相应的运动方程；实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为辨识方法。时域中的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频率域中有频率特性等。本章研究微分方程、传递函数和结构图等模型的建立和应用。

2.1

傅里叶变换与拉普拉斯变换

稳傅里叶变换(简称傅氏变换)和拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，是工程实践中用来求解线性常微分方程的简便工具，也是建立数学模型--传递函数和频率特性--的数学基础。第二章控制系统数学模型

1.傅里叶级数周期函数的傅里叶级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里赫莱条件：1）在一个周期内只有有限个不连续点；2）在一个周期内只有有限个极大和极小值；3）积分存在。则f(t)可展开为如下的傅氏级数：(2-1)式中系数为：(2-2)(2-3)

周期函数f(t)的数学表达式式为

(2-4)式中(2-5)

2.傅里叶积分和傅里叶变换

若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T趋于无穷大，角频率(ω0=2π/T)趋于零的周期函数。这时傅氏级数中各个相邻谐波频率之差很小，谐波频率nω0须用变量ω代替。这样，式(2-4)和式(2-5)可改写为。(2-6)(2-7)式(2-7)代入(2-6)得：

当T→∞时，∆ω→dω，则

(2-8)

式(2-8)是非周期函数f(t)的傅里叶积分之一。

在式(2-8)中，若令(2-9)则

(2-10)

式(2-9)和式(2-10)给出的两个积分式称为傅里叶变换对，F(ω)称为f(t)的傅氏变换，记为F(ω)=ℱ[f(t)]，而f(t)称为F(ω)的傅氏反变换，记为

f(t)=ℱ﹘1[F(ω)]。非周期函数必须满足狄里赫莱条件才可进行傅氏变换，而且狄里赫莱的第三条件这时应修改为积分存在。

3.拉普拉斯变换

对于单位阶跃函数f(t)=1(t)的傅氏变换，由式(2-9)求得

显然，F(ω)无法计算出来，这是因为单位阶跃函数不满足狄里赫莱第三条件。为此，用e﹘σt1(t)代替1(t)，则求得

上式说明，单位阶跃函数乘以因子e﹘σt后可进行傅氏变换。对于任意函数f(t)，如果不满足狄里赫莱第三条件，可仿照单位阶跃函数的处理方法。假设t<0时，f(t)=0，这时称之为f(t)的广义函数，它的傅氏变换为单边傅氏变换。即

若令s=σ+jω，则上式可写为(2-11)傅氏反变换由式(2-10)有

等式两边同乘以eσt，得以s=σ+jω代之，可得(2-12)

式(2-11)和(2-12)的两个积分式称为拉氏变换对。F(s)称象函数，记为F(s)=ℒ[f(t)]；f(t)称原函数，记为f(t)=ℒ﹘1[F(s)]。

4.拉普拉斯变换的积分下限

拉氏变换定义式中，积分下限为零，但有0的右极限0+和0的左极限0﹘之分。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0+型和0﹘型的拉氏变换是相同的；对于在t=0处有无穷跳跃的函数，例如单位脉冲函数(δ函数)，两种变换的结果并不一致。取δ(t)的0+型拉氏变换

而δ(t)的0﹘型拉氏变换，

在拉氏变换过程中，若不特别指出是0+型还是和0﹘型变换，均认为0﹘型的变换。

5.拉普拉斯变换定理

（1）线性性质；ℒ[af1(t)+bf(t)]=aℒ[f1(t)]+bℒ[f2(t)]

（2）微分定理；ℒ[df(t)/dt]=sF(s)﹘f(0)

（3）积分定理；ℒ[∫f(t)dt]=F(s)/s+f(﹘1)(0)/s

（4）初值定理；（5）终值定理；（6）位移定理；ℒ[f(t﹘τ0)]=e﹘τ0sF(s)；ℒ[eatf(t)]=F(s-a)（7）相似定理；ℒ[f(t/a)]=aF(as)

（8）卷积定理；F1(s)F2(s)=ℒ[∫f1(t﹘τ)f2(τ)dτ

]

表2-2简要列出拉氏变换的基本特性，表2-3列出常用函数的拉氏变换式，可供查阅。

6.拉普拉斯反变换

由象函数F(s)求原函数f(t)，可根据式(2-12)拉氏反变换式计算。工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法将复杂函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。一般象函数F(S)可表示为两个多项式比的形式：

式中，系数都是实常数，m,n是正整数，通常m<n。首先把F(S)的分母因式分解，有

式中，s1,s2,...,sn是A(S)=0的根，称为F(S)的极点。按照这些根的性质，分以下两种情况研究。

（1）A(S)=0无重根

F(s)可展开为n个简单的部分分式之和，即(2-13)式中，ci为待定常数，可按下式计算(2-14)或

(2-15)

根据拉氏变换的线性性质，从式(2-13)可求得原函数

f(t)=ℒ-1[F(s)]=(2-16)上述表明，有理代数分式函数的拉氏反变换，可表示为若干指数项之和。

（2）A(S)=0有重根

设A(s)=0有r个重根，则F(S)可写为

式中，cr+1,...,cn按式(2-14)或(2-15)计算，但c1,...,cr应按下式计算

(2-17)f(t)的原函数为：

f(t)=ℒ-1[F(s)]=(2-18)

2.2控制系统的时域数学模型

1.线性元件的微分方程

现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。

例2-8图2-5是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以ui(t)为输入量，以uo(t)为输出量的网络微分方程。

解：设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为消去中间变量i(t)，便得到网络微分方程为(2-19)

例2-9试列写图2-6所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速ωm(t)为输出量。图中Ra,La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。

解：电枢控制直流电动机是将输入的电能转换为机械能，由电枢电压ua(t)→产生电流

ia(t)→产生电磁转矩Mm(t)→拖动负载运动，直流电动机运动方程由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程(2-20)式中，Ea是电枢反电势，Ea=Ceωm(t)，Ce是反电势系数。电磁转矩方程Mm(t)=Cmia(t)(2-21)电动机轴上的转矩平衡方程

(2-22)式中，fm是黏性摩擦系数；Jm是电动机轴上的转动惯量。

消去中间变量ia(t),Ea及Mm(t)，便得直流电动机微分方程：

(2-23)由于La较小，通常忽略不计，因而式(2-23)可简化为

(2-24)式中，Tm=RaJm/(Rafm+CmCe)是电动机机电时间常数；K1=Cm/(Rafm+CmCe)，K2=Ra/(Rafm+CmCe)是电动机传递系数。如果Ra和Jm都很小可忽略不计时，式(2-24)还可简化为(2-25)这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比。于是，电动机可作为测速发电机使用。

例2-10图2-7是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。

解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x(t)，dx(t)/dt，d2x(t)/dt2。由牛顿运动定律有：

(2-26)式中，F1(t)=fdx(t)/dt是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，f是阻尼系数；F2(t)=Kx(t)是弹簧的弹力，其方向与运动方向相反，K是弹性系数。将F1(t)和F2(t)代入式(2-26)中，经整理后即得该系统的微分方程为

(2-27)

综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；3)消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。

2.控制系统微分方程的建立建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理线路图画出系统方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写微分方程时，应注意信号传送的单向性；前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。

例2-12试列写图2-9所示速度控制系统的微分方程。

解：控制系统的被控对象是电动机(带负载)，系统的输出量是转速ω，参据量是ui，控制系统由给定电位器、运算放大器Ⅰ、运算放大器Ⅱ、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程：运算放大器Ⅰ：参据量与速度反馈电压在此合成，并经放大(2-40)式中，K1=R2/R1是运算放大器Ⅰ的比例系数。

运算放大器Ⅱ：考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为(2-41)式中，K2=R/R1是运算放大器Ⅱ的比例系数，τ=RC是微分时间常数。

功率放大器：包括触发电路和晶闸管主回路，其输入输出方程为ua=K3u2(2-42)直流电动机：直接引用直流电动机微分方程式(2-24)(2-43)

式中，Tm,Km,Kc,M'c均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。

齿轮系：设齿轮系的速比为i，则电动机转速减速后变为(2-44)

测速发电机：其输出电压与转速成正比，即ut=Ktω(2-45)

式中，Kt是测速发电机的比例系数。

从上述各方程中消去中间变量ut,u1,u2,ua及ωm，整理后便得到控制系统的微分方程

(2-46)

式中，

从上述各控制系统的元件或系统的微分方程可以发现，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。例如，RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称这些物理系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于我们使用一个简单模型去研究与其相似的复杂系统。

3.线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。例如当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为c1(t)；当f(t)=f2(t)时，其解为c2(t)。如果f(t)=f1(t)+f2(t)时，容易验证，方程的解必为c(t)=c1(t)+c2(t)，这就是可叠加性。而当f(t)=Af1(t)时，式中A为常数，则方程的解必为c(t)=Ac1(t)，这就是均匀性。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值。

4.线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解方法有经典法和拉氏变换法两种，也可借助计算机求解。本小节研究用拉氏变换法求解。

例2-13在例2-8中，若已知L=1H,C=1F,R=1Ω，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(0)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压的变化规律。

解：在例2-8中已求得网络微分方程(2-47)令Ui(s)=ℒ[ui(t)]，Uo(s)=ℒ[uo(t)]，且

ℒ

ℒ式中u'o(0)是duo(t)/dt在t=0时的值，即

对式(2-47)求拉氏变换，经整理后有(2-48)

由于电路突然接通电源，故为阶跃输入，即ui(t)=1(t)，或Ui

(s)=1/s。对式(2-48)求拉氏反变换，便得微分方程的解

uo(t)=ℒ﹘1[Uo(s)]=ℒ﹘1(2-49)在式(2-49)中，前两项与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为网络的单位阶跃响应。如果输入电压是单位脉冲量δ(t)，相当于电路突然接通电源又立即断开的情况，此时

Ui(s)=ℒ[δ(t)]=1，网络输出则称为单位脉冲响应，为

uo(t)=ℒ﹘1

(2-50)对式(2-47)求拉氏变换，经整理后有

利用拉氏变换的初值定理和终值定理，得uo(t)的初始值

uo(t)的终值为用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：1）考虑初始条件，将微分方程转换为s的代数方程；2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得时域表达式，即为微分方程解。

5.非线性微分方程的线性化严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的，在一定条件下为了简化数学模型，将这些元件视为线性元件，这就是通常使用的一种线性化方法。此外，还有一种线性化方法，称为切线法或小偏差法。其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。

设连续变化的非线性函数为y=f(x)，如图2-10所示。取某平衡状态A为工作点，对应有y0=f(x0)，当x=x0+Δx时，有y=y0+Δy。设函数在(x0,y0)点连续可微，可将它在该点附近用泰勒级数展开。当增量(x﹘x0)很小时，略去其高次幂项，则有线性化方程：略去增量符号，便得函数在工作点A附近的线性化方程为：y=Kx；式中，K是函数在A点的切线斜率。控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。

2.3控制系统的复数域数学模型

用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型---传递函数。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

1.传递函数的定义和性质

（1）定义

线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：(2-54)式中，c(t)是系统的输出量；r(t)是系统的输入量；ai和bi是与系统结构和参数有关的常系数。

设c(t)和r(t)为零初始条件，则对上式求拉氏变换，并令C(s)=ℒ[c(t)]，R(s)=ℒ[r(t)]，可得s的代数方程为

由定义得系统传递函数为(2-55)式中

例2-15试求例2-8RLC无源网络的传递函数Uo(s)/Ui(s)。

解：RLC网络的微分方程用式(2-19)表示为

在零初始条件下，对上式求拉氏变换，并令Uo(s)=ℒ[uo(t)]，Ui(s)=ℒ[ui(t)]，可得s的代数方程为

由传递函数定义，网络传递函数为(2-56)

（2）性质1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；m≤n且所有系数均为实数。2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息，如图2-12所示。3)传递函数与微分方程有相通性。在零初始条件下，R(s)C(s)将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数；反之，将传递函数中的s用d/dt置换便得到微分方程。G(s)图2-12传递函数的图示

例如，由传递函数可得s的代数方程为

在零初始条件下，用d/dt置换s，便得相应的微分方程

4)传递函数G(s)的拉氏变换是脉冲响应g(t)。脉冲响应是系统在单位脉冲δ(t)输入时的输出响应，此时R(s)=ℒ[δ(t)]=1，故有g(t)=ℒ﹘1[C(s)]=ℒ﹘1[G(s)R(s)]=ℒ﹘1[G(s)]。传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有

c(t)=ℒ﹘1[C(s)]=ℒ﹘1[G(s)R(s)]=

式中，g(t)=ℒ﹘1[G(s)]是系统的脉冲响应。

例2-16试求例2-9电枢控制直流电动机的传递函数Ωm(s)/Ua(s)

解：在例2-9中已求得直流电动机的微分方程为式中，Mc(t)可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，可分别求ua(t)到ωm(t)和Mc(t)到ωm(t)的传递函数，将它们叠加后，便是电动机转速的响应特性。令Mc(t)=0，并且Ωm(s)=ℒ[ωm(t)]，Ua(s)=ℒ[ua(t)]，则有ua(t)到ωm(t)传递函数G(s)。

(2-57)令ua(t)=0，用同样的方法，可得Mc(t)到ωm(t)的传递函数为

(2-58)

由式(2-57)和式(2-58)可求得电动机的响应特性。

ωm(t)=ℒ﹘1[Ωm(s)]=ℒ﹘1=ω1(t)+ω2(t)

例2-17在例2-8中若已知RLC网络电容初始电压uo(0)和初始电流i(0)，试求电容电压uo(t)的单位阶跃响应。

解：由式2-56得RLC网络传递函数为

从传递函数只能求出电容电压的零初始条件响应，得不到非零初始条件下的单位阶跃响应。为此，在传递函数中用d/dt置换s，得到相应微分方程；考虑初始条件，求微分方程的解。即由s的代数方程用d/dt置换s后得

考虑给定初始条件，对上式求拉氏变换后得

有

式中u'o(0)=i(0)/C，Ui(s)=1/s。对Uo(s)求拉氏反变换可得uo(t)的阶跃响应。

uo(t)=ℒ﹘1[Uo(s)]=ℒ﹘1+ℒ﹘1

2.传递函数的零点和极点传递函数的分子和分母多项式因式分解后可写为

式中，zi为传递函数的零点，pj为传递函数的极点。在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为零极点分布图，在图中一般用“o”表示零点，用“×”表示极点。

传递函数因式分解后也可写为如下因子连乘的形式

式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点，τi和Tj称为时间常数，K=bm/an=称传递系数或增益。

3.传递函数的零极点对输出的影响由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的形态，称之为模态。举例如下

设某系统传递函数为

显然，其极点p1=﹘1,p2=﹘2，零点z1=﹘3，自由运动的模态是e﹘t和e﹘2t。当r(t)=r1+r2e﹘5t，即R(s)=(r1/s)+[r2/(s+5)]时，有零初始条件响应：c(t)=ℒ﹘1[C(s)]=ℒ﹘1

式中前两项具有与输入函数相同的模态，后两项中包含了由极点形成的自由运动模态，其系数与输入函数有关。传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状。

例，

设有相同极点但零点不同的传递函数分别为

其极点都是﹘1和﹘2，G1(s)的零点z1=﹘0.5，G2(s)的零点z2=﹘1.33。在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别为

c1(t)=ℒ﹘1

c2(t)=ℒ﹘1

上述结果表明，模态e﹘t和e﹘2t在两个系统的单位阶跃响应中所占的比重是不同的，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下，G1(s)的零点接近原点，距极点的距离较远，因此两个模态所占比重大且零点z1作用明显；而G2(s)的零点距原点较远且与极点相距较近，因此两个模态所占比重就小。这样两个系统单位阶跃响应就具有不同的形状。

4.典型元部件的传递函数自动控制系统是由各种元部件相互连接组成的，为建立控制系统的数学模型，须了解各元部件的数学模型及其特性。

电位器：是一种把线位移或角位移变换为电压量的装置。空载时电位器的电刷角位移与输出电压关系为(用直线近似)

(2-61)

在使用电位器时要注意负载效应，只是在负载阻抗足够大时，才能将电位器视为线性元件。测速发电机：是用于测量角速度并将它转换成电压量的装置。在电枢两端输出与转子角速度成正比的直流电压，即(2-64)式中，θ(t)是转子角位移；ω(t)是转子角速度。

电枢控制直流伺服电动机：在控制系统中广泛用作执行机构，用来对被控对象的机械运动实现快速控制。根据式(2-57)和式(2-58)可用图2-18表示三种情况下的直流电动机。两相伺服电动机：是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构。

两相伺服电动机的转矩-速度特性曲线有负的斜率，且呈非线性。考虑在控制系统中，伺服电动机一般工作在零转速附近，作为线性化的一种方法，通常把低速部分的线性段延伸到高速范围，用低速直线近似代替非线性特性。见图2-19。线性化方程表示为：Mm=﹘CΩωm+Ms(2-67)暂不考虑负载转矩，则电动机输出转矩Mm平衡方程为(2-68)式中，θm是转子角位移；ωm是电动机角速度；Mm是输出转矩；Ms=CMua，其中CM=Ms/E(E是额定电压)；Jm和fm分别是折算到电动机上总转到惯量和总黏性摩擦系数。

由式(2-67)和式(2-68)消去Ms和Mm，在零初始条件下，令Ua(s)=ℒ[ua(t)]，Θm(s)=ℒ[θm(t)]，得电动机传递函数为(2-69)

式中，Km=CM/(fm+CΩ)是电动机传递系数；Tm=Jm/(fm+CΩ)是时间常数。由于Ωm(s)=sΘm(s)，故式(2-69)可写为

(2-70)上式与直流电动机的传递函数在形式上完全相同。

无源网络：无源网络通常由电阻、电容和电感组成。常在系统中作为校正元件。可用两种方法求取无源网络的传递函数，一种方法是先列写微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，得出输入量与输出量间的传递函数，如例2-15；另一种方法是引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。

在例2-15中，无源网络用复数阻抗表示后的电路如图2-20所示，Z1=R+Ls，Z2=1/Cs。由图可写出电路的传递函数：

注意，求无源网络的传递函数时，一般假设输出端接无穷大负载阻抗，输入内阻为零，否则应考虑负载效应。例如，两个RC网络不相连接时，可视为空载，其传递函数是若将G1(s)与G2(s)两个方框串联连接，则其传递函数为：

若将两个RC网络直接连接，则连接后电路的传递函数为：

显然，G(s)≠G1(s)G2(s)。

单容水槽：水槽是常见的水位控制系统的被控对象。

如图2-22所示，水流通过控制阀门流入水槽，同时有水通过负载阀