甘肃省武威第八中学2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析

甘肃省武威第八中学2024届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20362．过点的圆的切线方程是（）A． B．或C．或 D．或3．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是A．或 B．C．或 D．4．化简的结果是（）A． B． C． D．5．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）A． B． C． D．6．设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（）A．290 B． C． D．7．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是()A． B． C． D．8．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．读下面的程序框图，若输入的值为-5，则输出的结果是（）A．-1 B．0 C．1 D．210．如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．12．过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）13．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______14．已知圆及点，若满足：存在圆C上的两点P和Q，使得，则实数m的取值范围是________.15．数列的前项和为，，，则________．16．如果，，则的值为________（用分数形式表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若.（1)求角；（2）若，则周长的取值范围.18．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.19．已知三棱锥中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.20．在等差数列{}中，=3，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，=1，公比为q,且b2+S2=12，．（1）求与的通项公式；（2）设数列{}满足，求{}的前n项和．21．设数列的前项和为，若且求若数列满足，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据优数的定义，结合对数运算，求得的范围，再用等比数列的前项和公式进行求和.【题目详解】根据优数的定义，令，则可得令，解得则在内的所有“优数”的和为：故选：C.【题目点拨】本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前项和公式.2、D【解题分析】

先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.【题目详解】因为圆的圆心为，半径为1，由题意，易知所求切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直线方程分别为：或，整理得或.故选D【题目点拨】本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.3、A【解题分析】

根据题意，原题等价于，再讨论即可得到结论．【题目详解】由题，故函数有一个零点等价于即当时，，,符合题意；当，时，令，满足解得,综上的取值范围是或故选：A．【题目点拨】本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．4、A【解题分析】

根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．【题目详解】根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解题分析】

分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.【题目详解】由图形可知，小正方形边长为小正方形面积为：，又大正方形面积为：，即：解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.6、C【解题分析】

由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【题目详解】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.【题目点拨】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题7、D【解题分析】

首先根据题意得到，，结合选项即可找到答案.【题目详解】因为，所以.因为，所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查不等式的性质，属于简单题.8、B【解题分析】

不难发现从而可得【题目详解】,故选B.【题目点拨】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．9、A【解题分析】

直接模拟程序框图运行,即可得出结论.【题目详解】模拟程序框图的运行过程如下:输入,进入判断结构,则,,输出,故选:A.【题目点拨】本题主要考查程序框图,一般求输出结果时,常模拟程序运行,列表求解.10、B【解题分析】

连接，可证是异面直线与所成的角或其补角，求出此角即可．【题目详解】连接，因为，分别为棱，的中点，所以，又正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角，是等边三角形，＝60°．所以异面直线与所成的角为60°．故选：B．【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用斜二测直观图的画图规则，可得为一个直角三角形，且，得，从而得到边上的中线的实际长度为.【题目详解】利用斜二测直观图的画图规则，平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变；平行于轴或在轴上的线段，长度减半，利用逆向原则，所以为一个直角三角形，且，所以，所以边上的中线的实际长度为.【题目点拨】本题考查斜二测画法的规则，考查基本识图、作图能力.12、【解题分析】

与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.【题目详解】解：与直线l：垂直的直线方程可设为，又该直线过点，则，则，即点且与直线l：垂直的直线方程为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.13、【解题分析】由题意可得，解得．

∴等差数列的前三项为-1，1，1．

则1．

故答案为．14、【解题分析】

设出点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.【题目详解】设点，由得，由点在圆上，得，又在圆上，，与有交点，则，解得故实数m的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.15、18【解题分析】

利用，化简得到数列是首项为，公比为的等比数列，利用,即可求解.【题目详解】,即所以数列是首项为，公比为的等比数列即所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了与的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题.16、【解题分析】

先求出，可得，再代值计算即可.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现的周长用角B的三角函数进行表示，即周长，再根据锐角三角形中角，求得函数值域.【题目详解】（1）由，得到，又，所以.（2），，设周长为，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因为为锐角三角形，所以.，周长.【题目点拨】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②联立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出.【题目详解】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【题目点拨】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.20、（1），；（2）.【解题分析】

（1）根据等差数列{}中，=1，其前项和为，等比数列{}的各项均为正数，=1，公比为q,且b2+S2=12，，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于，所以，那么利用裂项求和可以得到结论.【题目详解】（1）设：{}的公差为,因为，所以，解得=1或=-4（舍）,=1．故，；（2）因为故.本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，以及数列求和