内蒙古省北京八中乌兰察布分校2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

内蒙古省北京八中乌兰察布分校2024届数学高一第二学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中，分别是内角的对边，且，，则等于（）A． B． C． D．2．已知圆与圆有3条公切线，则（）A． B．或 C． D．或3．已知点，，则直线的斜率是（）A． B． C．5 D．14．中，下列结论：①若，则，②，③，④若是锐角三角形，则，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．2006．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为A． B． C． D．（）7．若两等差数列，前项和分別为，，满足，则的值为().A． B． C． D．8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A．π B．πC．16π D．32π9．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题中正确命题的个数为()①若,则；②若，则为钝角三角形；③若，则．A．1 B．2 C．3 D．010．已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为A．3 B．2 C．1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．12．函数的最小正周期是__________.13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．14．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共线，则xy的最大值为_____．15．已知数列满足，则__________.16．已知角的终边经过点，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．18．己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）若直线OA的方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．19．在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为2.（Ⅰ）若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点满足，求实数的取值范围.20．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最值以及相应的x的取值．21．已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：由已知得，解得（舍）或，又因为，所以，由正弦定理得.考点：1、倍角公式；2、正弦定理.2、B【解题分析】

由两圆有3条公切线，可知两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，求解即可.【题目详解】由题意，圆与圆外切，所以，即，解得或.【题目点拨】本题考查了两圆外切的性质，考查了计算能力，属于基础题.3、D【解题分析】

根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【题目点拨】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4、C【解题分析】

根据正弦定理与诱导公式，以及正弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】①在中，因为，所以，所以，故①正确；②，故②正确；③，故③错误；④若是锐角三角形，则，均为锐角，因为正弦函数在上单调递增，所以，故④正确；故选C【题目点拨】本题主要考查命题真假的判定，熟记正弦定理，诱导公式等即可，属于常考题型.5、B【解题分析】

根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。【题目详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又，又大于0所以【题目点拨】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。6、C【解题分析】解：7、B【解题分析】解：因为两等差数列、前项和分别为、，满足，故,选B8、B【解题分析】

作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．【题目详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B．【题目点拨】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．9、C【解题分析】

根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到为钝角②正确；化简利用余弦定理得到③正确.【题目详解】①若,则；根据，则即，即，正确②若，则为钝角三角形；，为钝角，正确③若，则即，正确故选C【题目点拨】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用.10、A【解题分析】

由两点式求得直线的方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，由两点间距离公式求得的长，从而根据三角形面积公式可得结果.【题目详解】∵点A（1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为x+y–1=0，，又∵点C（–2，–3）到直线AB的距离为，∴△ABC的面积为S=．故选A．【题目点拨】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式、三角形面积公式以及直线方程的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.12、；【解题分析】

利用余弦函数的最小正周期公式即可求解.【题目详解】因为函数，所以，故答案为：【题目点拨】本题考查了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题.13、【解题分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．【题目详解】因为，所以整理可得，由正弦定理得因为，所以所以当时，的面积的最大值为【题目点拨】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．14、【解题分析】

由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．【题目详解】向量，，若向量，共线，则，，即，当且仅当，时，取等号．故的最大值为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查两个向量共线的性质，考查两个向量坐标形式的运算和基本不等式，属于基础题．15、【解题分析】

数列为以为首项，1为公差的等差数列。【题目详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列。所以所以故填【题目点拨】本题考查等差数列，属于基础题。16、【解题分析】由题意，则.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【题目详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【题目点拨】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA⊥OB，利用向量数量积等于零得到所满足的等量关系式，求得结果.【题目详解】（1）因为直线OA的方程为，，所以直线OB的方程．从而圆心到直线OB的距离为：所以直线OB被团C截得的弦长为：．（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为，又设，．由得，所以，．从而．所以．因为，所以，即，解得．所以l的方程为．【题目点拨】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.19、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设，由求出x、y满足的关系式，可得点在圆上，推出圆与圆有公共点，所以，列出不等式求解即可.【题目详解】（Ⅰ）当，圆心为，圆的方程为，设圆心到直线的距离为，则.①若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，，解得，此时的方程为，即.②若直线的斜率不存在，直线的方程为，验证满足，符合题意.综上所述，直线的方程为或.（Ⅱ）设，则，于是由得，即，所以点在圆上，又点在圆上，故圆与圆有公共点，即,于是，解得，因此实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，向量的数量积，根据圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）时，取得最大值2；时，取得最小值.【解题分析】

（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x∈[，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【题目详解】(Ⅰ)因为函数f（x）＝4cosxsin（x）1．化简可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）所以的最小正周期为．(Ⅱ)因为，所以．当，即时，f（x）取得最大值2；当，即时，