2024届保定市重点中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届保定市重点中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列关于极限的计算，错误的是（）A．B．C．D．已知，则2．已知，，，则的最小值为（）A． B． C．7 D．93．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为A． B． C．32 D．4．在中，已知、、分别是角、、的对边，若，则的形状为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位数和众数都为26D．乙得分的方差小于甲得分的方差6．边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．7．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为()A． B． C．1 D．38．已知，，则的值域为（）A． B．C． D．9．变量满足，目标函数，则的最小值是（）A． B．0 C．1 D．-110．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为.若，，则用“三斜公式”求得的面积为______.12．有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为.13．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．14．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.15．已知向量，的夹角为°，，，则______．16．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为（），且满足，（）．（1）求证是等差数列；（2）求数列的通项公式．18．已知三棱柱（如图所示），底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）求三棱锥的体积.19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求边AB的长；（2）求△ABC的面积．20．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．21．说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．【题目详解】，A正确；∵，∴，B错；，C正确；若，需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即，D正确．故选：B．【题目点拨】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n项和的极限时，需先求出数列的前n项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．2、B【解题分析】

根据条件可知，，，从而得出，这样便可得出的最小值．【题目详解】；，且，；；，当且仅当时等号成立；；的最小值为．故选：．【题目点拨】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．3、A【解题分析】

设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．【题目详解】如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由得，解得，∴球体积为．故选A．【题目点拨】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．4、D【解题分析】

由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．【题目详解】∵，∴由正弦定理可得∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形故选D．【题目点拨】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5、B【解题分析】

根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【题目详解】根据题意，依次分析选项：对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，对于B，甲得分的平均值为，其方差为，B错误；对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：B．【题目点拨】本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．6、D【解题分析】

在正方形中连接，交于点，根据正方形的性质，在折叠图中平面，得到，从而平面，面平面，则是在平面上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【题目详解】如图所示：在正方形中连接，交于点，在折叠图，连接，因为，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面，则是在平面上的射影，所以即为所求.因为故选：D【题目点拨】本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.7、B【解题分析】

根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.【题目详解】设，所以所以故选B.【题目点拨】本题考查向量的线性运算，属于基础题.8、C【解题分析】

根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入即可求得所有函数值.【题目详解】由题意得，最小正周期：；；；；；且值域为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值.9、D【解题分析】

先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．【题目详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，

平移直线，显然直线过点时，最小，

由，解得：

∴最小值，

故选：D．【题目点拨】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10、A【解题分析】

根据平均数相同求出x的值，再根据方差的定义计算即可．【题目详解】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均数为=90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩的方差为s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故选A．【题目点拨】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先由，根据余弦定理，求出，再由，结合余弦定理，求出，再由题意即可得出结果.【题目详解】因为，所以，因此；又，由余弦定理可得，所以，因此.故答案为【题目点拨】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12、【解题分析】

分较长的两条棱所在直线相交，和较长的两条棱所在直线异面两种情况讨论，结合三棱锥的结构特征，即可求出结果.【题目详解】当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：不妨设，，，所以较长的两条棱所在直线所成角为，由勾股定理可得：，所以，所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为；当较长的两条棱所在直线异面时，不妨设，，则，取CD的中点为O，连接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以OA+OB<AB，不能构成三角形。所以此情况不存在。故答案为：.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的概念，以及三棱锥的结构特征即可，属于常考题型.13、1．【解题分析】

先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【题目详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14、1【解题分析】

由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【题目详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：1．【题目点拨】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．15、1【解题分析】

把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．【题目详解】由向量，的夹角为°，且，，则.故答案为1【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．16、或【解题分析】

令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.【题目详解】令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.故答案为：或.【题目点拨】本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）当时，由代入，化简得出，由此可证明出数列是等差数列；（2）求出数列的通项公式，可得出，由可得出在时的表达式，再对是否满足进行检验，可得出数列的通项公式.【题目详解】（1）当时，，，即，，等式两边同时除以得，即，因此，数列是等差数列；（2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，则.，得.不适合.综上所述，.【题目点拨】本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列通项公式的求解，解题的关键就是利用关系式进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（1）见解析（2）见解析（3）【解题分析】

（1）在平面找一条直线平行即可．（2）在平面内找两条相交直线垂直即可．（3）三棱锥即可【题目详解】（1）连接，因为直棱柱，则为矩形，则为的中点连接，在中，为中位线，则平面（2）连接，底面底面底面①为正边的中点②由①②及平面（3）因为取的中点，连接，则平面，即为高，【题目点拨】本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行．属于中等题．19、(1)AB的长为1．(2)6．【解题分析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的长.（2）根据的值，求得的值，由三角形面积公式，求得三角形的面积.【题目详解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的长为1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.20、（I）;（II）;（III）【解题分析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．解：（I）∵与共线，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．21、（1），；（2）2022年【解题分析】

（1）根据题意，知每年投入资金和