第11课 角的平分线的性质（教师版）2023学年八年级数学上册同步讲义（人教版）

第11课角的平分线的性质

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课程标准

1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.

2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.

3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.

I知识精讲

工、知识点01角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分/ADB,点P是CD上一点，且PELAD于点E,PFJ_BD于点F,则PE=PF.

叁、知识点02角的平分线的判定

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE1AD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,则PD平分NADB

B

*'知识点03角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D,交OB于E.

(2)分别以D、E为圆心，大于‘DE的长为半径画弧，两弧在/AOB内部交于点C.

--------------------------2.-------------------------------------------------

(3)画射线OC.

射线OC即为所求.

*'知识点04三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的爱心.三角形有三个

旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC的内心为々，旁心为鸟，骂，舄,

这四个▲点到AABC三边所在直线距离相等.

P4

能力拓展

考法01角的平分线的性质及判定

【典例1】如图，在AABC中，NABC的平分线与NACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.

(1)求证：PA平分NBAC的外角/CAM；

(2)过点C作CE_LAP,E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=ED.

【思路点拨】(1)过P作PT1BC于-T,PS±AC于S,PQ1BA于Q,根据角平分线性质求出PQ=PS=PT,

根据角平分线性质得出即可：

(2)根据ASA求出△AEDgZ\AEC即可.

【答案与解析】

证明：(1)过P作PT_LBC于T,PS_LAC于S,PQ_LBA于Q,如图，

•.•在AABC中，ZABC的平分线与/ACB的外角的平分线相交于点P,

，PQ=PT,PS=PT,

♦PQ=PS,

：.AP平分NDAC,

即PA平分/BAC的外角NCAM：

(2)；PA平分NBAC的外角NCAM,

；./DAE=NCAE,

VCE1AP,

，/AED=/AEC=90°,

在4AED和AAEC中

'/DAE=/CAE

<AE=AE

ZDEA=ZCEA

.♦.△AED丝ZXAEC,

；.CE=ED.

【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅

助线并进一步求出PQ=PS和△AEDT4AEC,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

【即学即练1］如图，AD是/BAC的平分线，DELAB,交AB的延长线于点E,DFJLAC于点F,且DB

=DC.

求证：BE=CF.

【答案】

证明：VDE±AE,DF±AC,AD是NBAC的平分线，

，DE=DF,ZBED=ZDFC=90°

[DB=DC

在RtABDE与Rt^CDF中，4，

DE=DF

.,.RlABDE^RlACDF(HL)

；.BE=CF

【典例2】如图，AD是AABC的角平分线，DFJ_AB,垂足为F,DE=DG,ZkADG和AAED的面积分别为

50和39,则AEDF的面积为：()

A.llB.5.5C.7D.3.5

【答案】B；

【解析】

解：过D点作DH_LAC于H,

〈AD是AABC的角平分线，DF1AB,DH±AC

:.DF=DH

在RtAEDF和RtAGDH中

DE=DG,DF=DH

.'.RtAEDF^RtAGDH

同理可证RtAADF和RtAADH

0△AED+AEDF—SaG

S=S4ADGDH

,•25^EDF—^AADG—^AAED-50—39—11,

...△EDF的面积为5.5

【总结升华】本题求4EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用己知AADG和4AED的面积来表

示AEDF面积.

【典例3】如图，AB〃CD,BP和CP分别平分NABC和NDCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,

则点P到BC的距离是（）

【思路点拨】过点P作PE1BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.

【答案与解析】

解：过点P作PE_LBC于E,

VAB//CD,PA1AB,

APD1CD,

VBP和CP分别平分NABC和/DCB,

；.PA=PE,PD=PE,

；.PE=PA=PD,

VPA+PD=AD=8,

，PA=PD=4,

.\PE=4.

故选C.

【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关

键.

考法02角的平分线的性质综合应用

【典例4】如图，P为AABC的外角平分线上任一点.求证：PB+PC>AB+AC.

【思路点拨】在BA的延长线上取AD=AC,证APAD丝△PAC,从而将四条线段转化到同一个APBD中，

利用三角形两边之和大于第三边解决问题.

【答案与解析】

证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D,使AD=AC,连接PD.

；P为AABC的外角平分线上一点，.•.Nl=/2/

在△PAD和△PAC中/、、

PA=PA/、\

/.△PAD^APAC(SAS),；.PD=PC/

•.•在APBD中，PB+PD>BD,BD=AB+AD"XV

BC

APB+POAB+AC.

②当点P与点A重合时，PB+PC=AB+AC.

综上，PB+PCNAB+AC.

【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过(SAS)构造全等三角形，从而把分散

的线段集中到同一个三角形中.

【即学即练2】如图，四边形ABDC中，ND=/ABD=90°,点。为BD的中点，且0A平分/BAC.

(1)求证：0C平分NACD；

(2)求证：OA1OC；

【答案】

证明：（1）过点0作OELAC于E,

VZABD=90",0A平分NBAC,

.".OB=OE,

•.•点O为BD的中点，

.\OB=OD,

；.OE=OD,

AOC平分NACD；

(2)在Rt/kABO和Rtz\AEO中，

[A0=A0,

1OB=OE'

ARtAABO^RtAAEO(HL),

二ZAOB=ZAOE,

同理求出/COD=NCOE,

ZAOC=ZAOE+ZCOE=lx180°=90°,

2

AOAIOC；

(3)VRtAABO^RtAAEO,

；.AB=AE,

同理可得CD=CE,

VAC=AE+CE,

.,.AB+CD=AC.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.如图，AD是AABC的角平分线，过点D向AB,AC两边作垂线，垂足分别为E,F,那么下列结论中

不一定正确的是（）

A.BD=CDB.DE=DFC.AE=AFD.NADE=/ADF

【答案】A

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,然后利用“HL”证明RtAADE和RuADF全等，根

据全等三角形对应边相等可得AE=AF,ZADE=ZADF.

【详解】

解：如图，YAD是AABC的角平分线，DE_LAB,DFXAC,

，DE=DF,

在RtAADE和R3ADF中，

|AD=AD

[DE=DF'

.♦.Rt/iADE且RsADF(HL),

.♦.AE=AF,NADE=NADF,即只有AB=AC时,BD=CD.

综上所述，结论错误的是BD=CD.

故选A.

【点睛】

本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键,

作出图形更形象直观.

2.如图，在用AABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,

再分别以点M,N为圆心，大于;MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点。，若8=4,

AB=\5,贝必48。的面积是()

【答案】B

【分析】

根据角平分线的性质得到DE=DC=4,根据三角形的面积公式计算即

【详解】

作DE_LAB于E,

由基本尺规作图可知，AD是AABC的角平分线，

VZC=90°,DE±AB,

；.DE=DC=4,

.♦.△ABD的面积,xABxDE=30,

2

故选:B.

【点睛】

此题考查角平分线的性质，基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

3.三角形中，到三边距离相等的点是（）

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

【答案】C

【分析】

根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论.

【详解】

解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点

故选C.

【点睛】

此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键.

4.如图，下列条件中不能确定点。在NAPB的平分线上的是（）

A.APBA^APDCB.AAOD^ACOB

C.AB±PD,DC±PBD.点。到NAPB两边的距离相等.

【答案】c

【分析】

利用全等三角形的性质和判定一一判断即可.

【详解】

A、VAPBA^APDC,

ZOBC=ZODA,PA=PC,PD=PB,

；.AD=BC,

VZAOD=ZCOB,

.".△AOD^ACOB(AAS),

.,.OD=OB,

VPA=PB,POPO,OD=OB,

.,.△POD^APOB(SSS),

/.ZOPD=ZOPB,故选项A不符合题意，

B、VAAOD^ACOB,

.\OA=OC,OD=OB,ZADO=ZCBO,

，AB=CD,

,:/P=NP,

/.△PBA^APDC,由A可知，选项B不符合题意.

D、：点。到NAPB两边的距离相等，

.•.OP平分/DPB,故选项D不符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

5.已知，如图，AB〃CD,NBAC、NACD的平分线交于点0,OE_LAC于E,且0E=5。%,则直线AB

与CD的距离为（)

A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

【答案】B

【分析】

过点O作直线OMLAB于点M,交CD于点N,因为AO、CO分别是/BAC、NACD的角平分线，所以

OE=OM=ON,则AB与CD之间的距离可求.

【详解】

解：过点O作直线OM_LAB于点M,交CD于点N,

：AB〃CD,

AON±CD,

•.•AO是/BAC角平分线，

/.OM=OE=5,

•••CO是NACD的角平分线，

...ON=OE=5,

/.MN=5+5=10,

AAB与CD之间的距离为10.

故选：B.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质及平行线之间的距离，此把角平分线的性质与平行线的性质结合求解是解题的

关键.

6.如图，AD是AABC中/BAC的角平分线，DE1.AB于点E,AABC的面积为7,DE=2,AB=4,则AC

长是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图，过点D作DF_LAC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据

SAABC=SAABD+SAACD，可得一X4X2H—xACx2=7,解得AC=3.故答案选B.

22

考点：角平分线的性质；三角形的面积公式.

题组B能力提升练

1.如图，444表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可

供选择的地址有一处.

【答案】4.

【分析】

作直线h、12、b所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点Pl、P2、P3,内角平分

线相交F点P4,然后根据角平分线的性质进行判断.

【详解】

解：如图示，作直线11、12、13所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P、P2、

P3,内角平分线相交于点P4,根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.

故答案是：4.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

2.如图所示，已知AABC的周长是20,OB、OC分别平分NABC和NACB,OD_1.BC于D,且OD=3,则

△ABC的面积是.

【答案】30.

【解析】

试题解析：如图，连接OA,

RD

VOB,OC分别平分NABC和NACB,

点O到AB、AC、BC的距离都相等，

「△ABC的周长是20,ODJ_BC于D,且OD=3,

:.SAABC=—x20x3=30.

2

考点：角平分线的性质.

3.如图，DE_LAB于点E,DF_LBC于点F,且DE=DF,若/DBC=50。，则NABC=

【答案】100°

【详解】

试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分NABC,再根据NDBC=50。可得N

ABC=2ZDBC=2x50°=100°.

考点：角平分线的性质.

4.已知如图点D是AABC的两外角平分线的交点，下列说法：

①AD=CD

②D到AABC的三边所在直线的距离相等

③点D在NB的平分线上

④若NB=80°,则/D=50°

其中正确的说法的序号是.

【答案】②③④

【解析】

如图，过点D作DELBA交BA的延长线于E,作DF_LBC交BC的延长线于F,作DGLAC于G,

E.

A

•.•点D是AABC的两外角平分线的交点,

，DE=DG,DF=DG,

...点D在/B的平分线上，故③正确：

.♦.DE=DF=DG,故②正确；

只有AB=BC时，AE=CF,AD=CD,故①错误;

VZB=80°,

二ZBAC+ZACB=100°,

二ZEAC+ZACF=260°

/.ZDAC+ZACD=(ZEAC+ZACF)=130°,

.•./D=180。-(ZDAC+ZACD)=50。，故④正确.

综上所述，说法正确的是②③④.

故答案为②③④.

点睛：本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解答此题的关键.

5.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，ZB=ZC=90°,E是8c的中点，OE平分N4OC,

/CED=35。，则/E4B的度数是.

【答案】350

【解析】

【分析】

过点E作EF1AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,再根据到角的两边距离

相等的点在角的平分线上可得AE是/BAD的平分线，然后求出二/AEB,再根据直角三角形两锐角互余

求解即可.

【详解】

过点E作EF_LAD于F,

：DE平分NADC,

，CE=EF,

是BC的中点，

，CE=BE,

，BE=EF,

...AE是NBAD的平分线，

VZCED=35°,

二ZAEB=90°-ZCED=90°-35°=55°,

VZB=90°,

.\ZEAB=90°-55°=35°,

故答案为:35。.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并正确添加辅助线

是解题的关键.

6.如图，AD是AABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DG,AADG和AAED的面积分别为48和

26,求AEDF的面积.

【答案】11

【分析】

作DH_LAC于H,根据角平分线的性质得到DF=DH,证明RIAFDE4RsHDG,RsFDA4RsHDA,根

据题意列方程，解方程即可.

【详解】

解：如图，作DHLAC于H,

：AD是^ABC的角平分线，DF_LAB,DHJ_AC,

，DF=DH,

在RtAFDE和Rt^HDG中，

\DF=DH

\DE=DG'

/.RtAFDE^RtAHDG(HL),

同理，RsFDA将R3HDA(HL),

设AEDF的面积为x,由题意得，

48-x=26+.r,

解得k11,

即AEDF的面积为11,

故答案为：11.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

7.如图，在AABC中，NABC=100。，ZACB=20°,CE平分NACB,D为AC上一点，若/CBD=20。，则

ZCED=.

AD

【答案】10°.

【分析】

根据题意和邻补角的性质分别求出NDBA和NPBA的度数，即可证明BA是ACBD的外角平分线；作EF

±ACT-F,EGLBD于G,EH_LCB于H,根据角平分线的性质证明DE平分NADB,即可得出答案.

【详解】

解：如图所示：

ZABC=100,ZCBD=20°

4DBA=80",ZHBA=180°-100°=80°,

NDBA=NHBA

ABA是4CBD的外角平分线，

作EF_LAC于F,EG_LBD于G,EHJ_CB于H,

：CE平分NACB,EF1AC,EH1CB,

；.EF=EH,

同理，EG=EH,

，EF=EG,

；.DE平分/BDA,

VZACB=20°,NCBD=20。，

ZADB=ZACB+ZCBD=40°,

.\ZADE=yZADB=20°,

又•••ZDCE=-ZACB=10°

2

NCED=ZADE-ZDCE=20°-10°=10°

故答案为：10°.

【点评】

本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的判定与性质，作辅助线并判定DE平分NADB是解题的关

键.

题组C培优拔尖练

1.己知：如图，OD平分NPOQ,在OP、0Q边上取OA=OB,点C在0D上，CM_LAD于M,CN1BD

于N.

求证：CM=CN.

【答案】证明见解析.

【分析】

先根据角平分线的定义可得NAO£>=N88,再根据三角形全等的判定定理与性质可得N4DO=N8£)O,

然后根据角平分线的性质即可得证.

【详解】

♦.♦0D平分NPOQ,

ZAOD=ABOD,

OA=OB

在/\AOD与ABOD中，■ZAOD=ZBOD,

OD=OD

:.AAOD*BOD(SAS),

：.ZADO=NBDO,即O力平分ZADB,

又：CM_LAD丁M,CN_LBD「N,

CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等).

【点睛】

本题考查了角平分线的定义与性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.

2.已知如图，aABC的外角/CBD和NBCE的平分线相交于点F,求证：点F在NDAE的平分线上.

【答案】见解析

【分析】

过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN,P、M、N为垂足.根据角平分线的性质可得FP=FM,

FM=FN.FP=FN,点F在NDAE的平分线上.

【详解】

证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN,P、M、N为垂足，

AFP=FM.

同理：FM=FN.

:.FP=FN.

...点F在/DAE的平分线上.

【点睛】

此题考查角平分线的性质，解题关键解在于作辅助线.

3.四边形ABCD中，AC平分/BAD,CE_LAB于E,ZADC+ZCBE=180°,求证：2AE=AB+AD.

【分析】

过C作CF_LAD于F,由条件可证aAFC丝AAEC,得至ijCF=CE.再由条件/ADC+/CBE=180。，证^CDF

^△CEB,由全等的性质可得DF=EB,再由线段和差可得.

【详解】

证明：过C作CF_LAD于F,

TAC平分NBAD,

AZFAC=ZEAC,

VCE±AB,CF±AD,

:.ZDFC=ZCEB=ZCEA=90°,

VAC=AC

AAAFC^AAEC,

.\AF=AE,CF=CE,

■:ZADC+ZCBE=180°,ZADC+ZFDC=180°

:.ZFDC=ZCBE,

/.△FDC^AEBC,

:.DF=EB,

:.AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE,

・・・2AE=AB+AD.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质的应用，利用全等知识是解答此题的关键.

4.如图，已知AC平分NBAD,CE_LAB于E,CF_LAD于F,且BC=CD.

(1)求证：AF=AE；

(2)若AB=40,AD=30,AC=37,求CF的长.

【答案】(1)见解析；(2)12

【分析】

(1)先根据角平分线的性质可证CE=CF,又已知AC=AC,故可根据HL判定R/ACE/RJACF,然后根

据三角形全等的性质即可证明.

(2)结合(1)中的全等可证明RtZkCDFgRlACEB,可得DF=BE,再由AE=AF,可证得DF=BE,利用线

段和差可求得BE、AE,在RtABCE中可求得CE,则可求得CF.

【详解】

(1)证明：；AC平分/BAD,CELAB于E,CF_LAD于F

；.CE=CF,

在RtAACE和RtAACF中，

VCE=CF,AC=AC,

ARtAACE^RtAACF(HL)

AF=AE.

(2)又：CD=CB,CE=CF

ARtACDF^RtACEB(HL),

；.DF=EB,

AD+DF=AF=AE=AB-EB,

VAB=40,AD=30