版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第11课角的平分线的性质
0目标导航
课程标准
1.掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质.
2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法.
3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.
I知识精讲
工、知识点01角的平分线的性质
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释:
用符号语言表示角的平分线的性质定理:
若CD平分/ADB,点P是CD上一点,且PELAD于点E,PFJ_BD于点F,则PE=PF.
叁、知识点02角的平分线的判定
角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释:
用符号语言表示角的平分线的判定:
若PE1AD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,则PD平分NADB
B
*'知识点03角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于D,交OB于E.
(2)分别以D、E为圆心,大于‘DE的长为半径画弧,两弧在/AOB内部交于点C.
--------------------------2.-------------------------------------------------
(3)画射线OC.
射线OC即为所求.
*'知识点04三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的爱心.三角形有三个
旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC的内心为々,旁心为鸟,骂,舄,
这四个▲点到AABC三边所在直线距离相等.
P4
能力拓展
考法01角的平分线的性质及判定
【典例1】如图,在AABC中,NABC的平分线与NACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.
(1)求证:PA平分NBAC的外角/CAM;
(2)过点C作CE_LAP,E是垂足,并延长CE交BM于点D.求证:CE=ED.
【思路点拨】(1)过P作PT1BC于-T,PS±AC于S,PQ1BA于Q,根据角平分线性质求出PQ=PS=PT,
根据角平分线性质得出即可:
(2)根据ASA求出△AEDgZ\AEC即可.
【答案与解析】
证明:(1)过P作PT_LBC于T,PS_LAC于S,PQ_LBA于Q,如图,
•.•在AABC中,ZABC的平分线与/ACB的外角的平分线相交于点P,
,PQ=PT,PS=PT,
♦PQ=PS,
:.AP平分NDAC,
即PA平分/BAC的外角NCAM:
(2);PA平分NBAC的外角NCAM,
;./DAE=NCAE,
VCE1AP,
,/AED=/AEC=90°,
在4AED和AAEC中
'/DAE=/CAE
<AE=AE
ZDEA=ZCEA
.♦.△AED丝ZXAEC,
;.CE=ED.
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是能正确作出辅
助线并进一步求出PQ=PS和△AEDT4AEC,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.
【即学即练1]如图,AD是/BAC的平分线,DELAB,交AB的延长线于点E,DFJLAC于点F,且DB
=DC.
求证:BE=CF.
【答案】
证明:VDE±AE,DF±AC,AD是NBAC的平分线,
,DE=DF,ZBED=ZDFC=90°
[DB=DC
在RtABDE与Rt^CDF中,4,
DE=DF
.,.RlABDE^RlACDF(HL)
;.BE=CF
【典例2】如图,AD是AABC的角平分线,DFJ_AB,垂足为F,DE=DG,ZkADG和AAED的面积分别为
50和39,则AEDF的面积为:()
A.llB.5.5C.7D.3.5
【答案】B;
【解析】
解:过D点作DH_LAC于H,
〈AD是AABC的角平分线,DF1AB,DH±AC
:.DF=DH
在RtAEDF和RtAGDH中
DE=DG,DF=DH
.'.RtAEDF^RtAGDH
同理可证RtAADF和RtAADH
0△AED+AEDF—SaG
S=S4ADGDH
,•25^EDF—^AADG—^AAED-50—39—11,
...△EDF的面积为5.5
【总结升华】本题求4EDF的面积不方便找底和高,利用全等三角形可用己知AADG和4AED的面积来表
示AEDF面积.
【典例3】如图,AB〃CD,BP和CP分别平分NABC和NDCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,
则点P到BC的距离是()
【思路点拨】过点P作PE1BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.
【答案与解析】
解:过点P作PE_LBC于E,
VAB//CD,PA1AB,
APD1CD,
VBP和CP分别平分NABC和/DCB,
;.PA=PE,PD=PE,
;.PE=PA=PD,
VPA+PD=AD=8,
,PA=PD=4,
.\PE=4.
故选C.
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质并作辅助线是解题的关
键.
考法02角的平分线的性质综合应用
【典例4】如图,P为AABC的外角平分线上任一点.求证:PB+PC>AB+AC.
【思路点拨】在BA的延长线上取AD=AC,证APAD丝△PAC,从而将四条线段转化到同一个APBD中,
利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明:①当点P与点A不重合时,在BA延长线上取一点D,使AD=AC,连接PD.
;P为AABC的外角平分线上一点,.•.Nl=/2/
在△PAD和△PAC中/、、
PA=PA/、\
/.△PAD^APAC(SAS),;.PD=PC/
•.•在APBD中,PB+PD>BD,BD=AB+AD"XV
BC
APB+POAB+AC.
②当点P与点A重合时,PB+PC=AB+AC.
综上,PB+PCNAB+AC.
【总结升华】利用角平分线的对称性,在角两边取相同的线段,通过(SAS)构造全等三角形,从而把分散
的线段集中到同一个三角形中.
【即学即练2】如图,四边形ABDC中,ND=/ABD=90°,点。为BD的中点,且0A平分/BAC.
(1)求证:0C平分NACD;
(2)求证:OA1OC;
【答案】
证明:(1)过点0作OELAC于E,
VZABD=90",0A平分NBAC,
.".OB=OE,
•.•点O为BD的中点,
.\OB=OD,
;.OE=OD,
AOC平分NACD;
(2)在Rt/kABO和Rtz\AEO中,
[A0=A0,
1OB=OE'
ARtAABO^RtAAEO(HL),
二ZAOB=ZAOE,
同理求出/COD=NCOE,
ZAOC=ZAOE+ZCOE=lx180°=90°,
2
AOAIOC;
(3)VRtAABO^RtAAEO,
;.AB=AE,
同理可得CD=CE,
VAC=AE+CE,
.,.AB+CD=AC.
fii分层提分
题组A基础过关练
1.如图,AD是AABC的角平分线,过点D向AB,AC两边作垂线,垂足分别为E,F,那么下列结论中
不一定正确的是()
A.BD=CDB.DE=DFC.AE=AFD.NADE=/ADF
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,然后利用“HL”证明RtAADE和RuADF全等,根
据全等三角形对应边相等可得AE=AF,ZADE=ZADF.
【详解】
解:如图,YAD是AABC的角平分线,DE_LAB,DFXAC,
,DE=DF,
在RtAADE和R3ADF中,
|AD=AD
[DE=DF'
.♦.Rt/iADE且RsADF(HL),
.♦.AE=AF,NADE=NADF,即只有AB=AC时,BD=CD.
综上所述,结论错误的是BD=CD.
故选A.
【点睛】
本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,
作出图形更形象直观.
2.如图,在用AABC中,ZC=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,
再分别以点M,N为圆心,大于;MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点。,若8=4,
AB=\5,贝必48。的面积是()
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC=4,根据三角形的面积公式计算即
【详解】
作DE_LAB于E,
由基本尺规作图可知,AD是AABC的角平分线,
VZC=90°,DE±AB,
;.DE=DC=4,
.♦.△ABD的面积,xABxDE=30,
2
故选:B.
【点睛】
此题考查角平分线的性质,基本作图,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
3.三角形中,到三边距离相等的点是()
A.三条高线的交点B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,即可得出结论.
【详解】
解:三角形中,到三边距离相等的点是三条角平分线的交点
故选C.
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质,掌握角平分线的性质是解题关键.
4.如图,下列条件中不能确定点。在NAPB的平分线上的是()
A.APBA^APDCB.AAOD^ACOB
C.AB±PD,DC±PBD.点。到NAPB两边的距离相等.
【答案】c
【分析】
利用全等三角形的性质和判定一一判断即可.
【详解】
A、VAPBA^APDC,
ZOBC=ZODA,PA=PC,PD=PB,
;.AD=BC,
VZAOD=ZCOB,
.".△AOD^ACOB(AAS),
.,.OD=OB,
VPA=PB,POPO,OD=OB,
.,.△POD^APOB(SSS),
/.ZOPD=ZOPB,故选项A不符合题意,
B、VAAOD^ACOB,
.\OA=OC,OD=OB,ZADO=ZCBO,
,AB=CD,
,:/P=NP,
/.△PBA^APDC,由A可知,选项B不符合题意.
D、:点。到NAPB两边的距离相等,
.•.OP平分/DPB,故选项D不符合题意,
故选:C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
5.已知,如图,AB〃CD,NBAC、NACD的平分线交于点0,OE_LAC于E,且0E=5。%,则直线AB
与CD的距离为()
A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm
【答案】B
【分析】
过点O作直线OMLAB于点M,交CD于点N,因为AO、CO分别是/BAC、NACD的角平分线,所以
OE=OM=ON,则AB与CD之间的距离可求.
【详解】
解:过点O作直线OM_LAB于点M,交CD于点N,
:AB〃CD,
AON±CD,
•.•AO是/BAC角平分线,
/.OM=OE=5,
•••CO是NACD的角平分线,
...ON=OE=5,
/.MN=5+5=10,
AAB与CD之间的距离为10.
故选:B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平行线之间的距离,此把角平分线的性质与平行线的性质结合求解是解题的
关键.
6.如图,AD是AABC中/BAC的角平分线,DE1.AB于点E,AABC的面积为7,DE=2,AB=4,则AC
长是()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B.
【解析】
试题分析:如图,过点D作DF_LAC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据
SAABC=SAABD+SAACD,可得一X4X2H—xACx2=7,解得AC=3.故答案选B.
22
考点:角平分线的性质;三角形的面积公式.
题组B能力提升练
1.如图,444表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可
供选择的地址有一处.
【答案】4.
【分析】
作直线h、12、b所围成的三角形的外角平分线和内角平分线,外角平分线相交于点Pl、P2、P3,内角平分
线相交F点P4,然后根据角平分线的性质进行判断.
【详解】
解:如图示,作直线11、12、13所围成的三角形的外角平分线和内角平分线,外角平分线相交于点P、P2、
P3,内角平分线相交于点P4,根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案是:4.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质,熟悉相关性质是解题的关键.
2.如图所示,已知AABC的周长是20,OB、OC分别平分NABC和NACB,OD_1.BC于D,且OD=3,则
△ABC的面积是.
【答案】30.
【解析】
试题解析:如图,连接OA,
RD
VOB,OC分别平分NABC和NACB,
点O到AB、AC、BC的距离都相等,
「△ABC的周长是20,ODJ_BC于D,且OD=3,
:.SAABC=—x20x3=30.
2
考点:角平分线的性质.
3.如图,DE_LAB于点E,DF_LBC于点F,且DE=DF,若/DBC=50。,则NABC=
【答案】100°
【详解】
试题分析:根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分NABC,再根据NDBC=50。可得N
ABC=2ZDBC=2x50°=100°.
考点:角平分线的性质.
4.已知如图点D是AABC的两外角平分线的交点,下列说法:
①AD=CD
②D到AABC的三边所在直线的距离相等
③点D在NB的平分线上
④若NB=80°,则/D=50°
其中正确的说法的序号是.
【答案】②③④
【解析】
如图,过点D作DELBA交BA的延长线于E,作DF_LBC交BC的延长线于F,作DGLAC于G,
E.
A
•.•点D是AABC的两外角平分线的交点,
,DE=DG,DF=DG,
...点D在/B的平分线上,故③正确:
.♦.DE=DF=DG,故②正确;
只有AB=BC时,AE=CF,AD=CD,故①错误;
VZB=80°,
二ZBAC+ZACB=100°,
二ZEAC+ZACF=260°
/.ZDAC+ZACD=(ZEAC+ZACF)=130°,
.•./D=180。-(ZDAC+ZACD)=50。,故④正确.
综上所述,说法正确的是②③④.
故答案为②③④.
点睛:本题主要考查了角平分线的性质,熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解答此题的关键.
5.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:如图,ZB=ZC=90°,E是8c的中点,OE平分N4OC,
/CED=35。,则/E4B的度数是.
【答案】350
【解析】
【分析】
过点E作EF1AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,再根据到角的两边距离
相等的点在角的平分线上可得AE是/BAD的平分线,然后求出二/AEB,再根据直角三角形两锐角互余
求解即可.
【详解】
过点E作EF_LAD于F,
:DE平分NADC,
,CE=EF,
是BC的中点,
,CE=BE,
,BE=EF,
...AE是NBAD的平分线,
VZCED=35°,
二ZAEB=90°-ZCED=90°-35°=55°,
VZB=90°,
.\ZEAB=90°-55°=35°,
故答案为:35。.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,角平分线的判定,熟记性质并正确添加辅助线
是解题的关键.
6.如图,AD是AABC的角平分线,DFLAB,垂足为F,DE=DG,AADG和AAED的面积分别为48和
26,求AEDF的面积.
【答案】11
【分析】
作DH_LAC于H,根据角平分线的性质得到DF=DH,证明RIAFDE4RsHDG,RsFDA4RsHDA,根
据题意列方程,解方程即可.
【详解】
解:如图,作DHLAC于H,
:AD是^ABC的角平分线,DF_LAB,DHJ_AC,
,DF=DH,
在RtAFDE和Rt^HDG中,
\DF=DH
\DE=DG'
/.RtAFDE^RtAHDG(HL),
同理,RsFDA将R3HDA(HL),
设AEDF的面积为x,由题意得,
48-x=26+.r,
解得k11,
即AEDF的面积为11,
故答案为:11.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等
是解题的关键.
7.如图,在AABC中,NABC=100。,ZACB=20°,CE平分NACB,D为AC上一点,若/CBD=20。,则
ZCED=.
AD
【答案】10°.
【分析】
根据题意和邻补角的性质分别求出NDBA和NPBA的度数,即可证明BA是ACBD的外角平分线;作EF
±ACT-F,EGLBD于G,EH_LCB于H,根据角平分线的性质证明DE平分NADB,即可得出答案.
【详解】
解:如图所示:
ZABC=100,ZCBD=20°
4DBA=80",ZHBA=180°-100°=80°,
NDBA=NHBA
ABA是4CBD的外角平分线,
作EF_LAC于F,EG_LBD于G,EHJ_CB于H,
:CE平分NACB,EF1AC,EH1CB,
;.EF=EH,
同理,EG=EH,
,EF=EG,
;.DE平分/BDA,
VZACB=20°,NCBD=20。,
ZADB=ZACB+ZCBD=40°,
.\ZADE=yZADB=20°,
又•••ZDCE=-ZACB=10°
2
NCED=ZADE-ZDCE=20°-10°=10°
故答案为:10°.
【点评】
本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的判定与性质,作辅助线并判定DE平分NADB是解题的关
键.
题组C培优拔尖练
1.己知:如图,OD平分NPOQ,在OP、0Q边上取OA=OB,点C在0D上,CM_LAD于M,CN1BD
于N.
求证:CM=CN.
【答案】证明见解析.
【分析】
先根据角平分线的定义可得NAO£>=N88,再根据三角形全等的判定定理与性质可得N4DO=N8£)O,
然后根据角平分线的性质即可得证.
【详解】
♦.♦0D平分NPOQ,
ZAOD=ABOD,
OA=OB
在/\AOD与ABOD中,■ZAOD=ZBOD,
OD=OD
:.AAOD*BOD(SAS),
:.ZADO=NBDO,即O力平分ZADB,
又:CM_LAD丁M,CN_LBD「N,
CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等).
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质、三角形全等的判定定理与性质,熟练掌握角平分线的性质是解题关键.
2.已知如图,aABC的外角/CBD和NBCE的平分线相交于点F,求证:点F在NDAE的平分线上.
【答案】见解析
【分析】
过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN,P、M、N为垂足.根据角平分线的性质可得FP=FM,
FM=FN.FP=FN,点F在NDAE的平分线上.
【详解】
证明:过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN,P、M、N为垂足,
AFP=FM.
同理:FM=FN.
:.FP=FN.
...点F在/DAE的平分线上.
【点睛】
此题考查角平分线的性质,解题关键解在于作辅助线.
3.四边形ABCD中,AC平分/BAD,CE_LAB于E,ZADC+ZCBE=180°,求证:2AE=AB+AD.
【分析】
过C作CF_LAD于F,由条件可证aAFC丝AAEC,得至ijCF=CE.再由条件/ADC+/CBE=180。,证^CDF
^△CEB,由全等的性质可得DF=EB,再由线段和差可得.
【详解】
证明:过C作CF_LAD于F,
TAC平分NBAD,
AZFAC=ZEAC,
VCE±AB,CF±AD,
:.ZDFC=ZCEB=ZCEA=90°,
VAC=AC
AAAFC^AAEC,
.\AF=AE,CF=CE,
■:ZADC+ZCBE=180°,ZADC+ZFDC=180°
:.ZFDC=ZCBE,
/.△FDC^AEBC,
:.DF=EB,
:.AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE,
・・・2AE=AB+AD.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质的应用,利用全等知识是解答此题的关键.
4.如图,已知AC平分NBAD,CE_LAB于E,CF_LAD于F,且BC=CD.
(1)求证:AF=AE;
(2)若AB=40,AD=30,AC=37,求CF的长.
【答案】(1)见解析;(2)12
【分析】
(1)先根据角平分线的性质可证CE=CF,又已知AC=AC,故可根据HL判定R/ACE/RJACF,然后根
据三角形全等的性质即可证明.
(2)结合(1)中的全等可证明RtZkCDFgRlACEB,可得DF=BE,再由AE=AF,可证得DF=BE,利用线
段和差可求得BE、AE,在RtABCE中可求得CE,则可求得CF.
【详解】
(1)证明:;AC平分/BAD,CELAB于E,CF_LAD于F
;.CE=CF,
在RtAACE和RtAACF中,
VCE=CF,AC=AC,
ARtAACE^RtAACF(HL)
AF=AE.
(2)又:CD=CB,CE=CF
ARtACDF^RtACEB(HL),
;.DF=EB,
AD+DF=AF=AE=AB-EB,
VAB=40,AD=30
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 客户维护文案工作职责内容
- 医用冻干食物相关项目建议书
- 环境毒理学复习资料2
- 内蒙古呼和浩特市2023-2024学年九年级上学期第一次阶段检测化学试题(无答案)
- 具有造型的手提电话装饰项目可行性实施报告
- 口琴项目可行性实施报告
- 医用黏土相关项目实施方案
- 医用导丝项目可行性实施报告
- 医用白朊制剂相关项目实施方案
- 土地承租续签合同模板
- 秋季儿童传染病预防知识讲座课件
- 2024年内蒙古能源集团有限公司招聘笔试参考题库含答案解析
- 班主任带班育人方略ppt
- 肺肿脓病人的护理PPT课件
- 这个星期天你忙不忙PPT课件
- 藏医护理ppt课件
- 卫生系列高级职称院内申报汇报PPT模板
- 拉延模设计规范
- sports-运动项目的英语(有图片)PPT优秀课件
- 医学德语词汇大全
- 工会会计准则
评论
0/150
提交评论