高等数学经典考试试题及参考答案

高等数学

班级学号姓名__________得分

一、单项选择题(每小题3分，共18分)

1.Iim°=[]

母，孙+ιτ

(A)O(B)1(C)2(D)8

2.若函数z=∕(x,y)具有连续偏导数,则曲面z=/(x,y)在点(x,y,f(x,y))处的切平面

的法向量为【】

(A)(Λ√v,-D(B)(Λ√v,D(C)(Λ,∕y,0)(D)(-ι,∕v,∕v)

3.设。是由y=f与y=8—f所围成的闭区域，则JJXy2dχdy=[

D

22

(A)JjdxJxVdy(B)2∫odx∫'7xydy

2

(C)∫θ^dx∫8'f2xγdy(D)0

4.已知/(x,y)为连续函数，则IimFf/(x,y)dxdy=【

"°兀PMP-

(A)0(B)/(0,0)(C)8(D)1

5.设级数收敛，Z乙发散，则Z(““+匕,)【I

n=lM=I〃=1

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)敛散性不确定

6.下列级数中，收敛的是【】

1、∕ι!E2〃一IYC八“〃+

(A)∑-ι∏d+-)(B)Σ7(C)E-(D)∑(-ιr-

二、填空题(每小题3分，共18分)

7.设Z=(X+y)(x-2y),则dz%』=.

8.改换二次积分的积分次序，得［dxf'∕(x,y)dy=.

9.∫∫∫(x2+γ2+z2)dv=.

222人

片+y+z≤1

10.设L是圆周尤2+y2=ι的逆时针方向，则由j2xy+y)dx+，+3x)dy=

11.设L是连接(0,1)及(1,0)两点的直线段，则JJX+y)ds=.

12.将/(尤)=arctan》展开为X的基级数，得/(尤)=,

且［2007)(。)=

三、计算与应用题(每小题6分，共54分)

13.设u-f(x,y,z)-X2-y2+z,求：⑴点(1,1,1)处的梯度grad/(1,1,1)；

⑵点(1,1,1)处沿方向7=(3,0,4)的方向导数.

∂2z

14.设Z=/(Xy,V+/),其中/具有二阶连续偏导数，求

∂x2

15.在曲面肛Z=I的第一卦限部分上求一点，使这点到原点的距离最短.

16.计算J[cos(x+y2)+2)[dx+[2ycos(x+y2)+2χ]dy,其中L：γ=sinx从X=O

L

到x=π.

17.求JJZdS,其中Σ是锥面Z=口+>2含在柱面(X-1)2+V=I内部的部分.

Σ

18.求幕级数Y-Xn的收敛域.

£〃+i

19.将函数/(X)=X(O≤Λ≤Λ-)展开为正弦级数.

20.求JJ(2犬+z)dydz+zdxdy,其中Σ是曲面z=x2+y2(O≤z≤l)的上侧

∑

21.计算∫∫max{x2,y}dxdy,其中D：-l≤x≤l,0≤y≤2.

四、证明题（每小题5分，共10分）

22.设x-2z=∕（3y-2z）,其中，是可导函数，证明：6⅛+2⅛-=3.

∂x∂y

23.设级数“条件收敛，且Iimz■=/（/是常数），指出|/|的值，并证明

〃=1.n→∞Ii

你的结论.

参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共18分)

1.C2.A3.D4.B5.A6.A

二、填空题(每小题3分，共18分)

7.3dx-6dy8.ʃʃdʃʃɪ/(x,y)dx9.手

(^-1)“2»+1

10,2〃11.√212.Σ,-2006!

/1=02n+↑'

三、计算与应用题(每小题6分，共54分)

13.(1)grad∕(l,1,1)=(2,-2,1)；(2)2

力27

2

14∙—=γft+2xf^；―?=2f^+yf^i+4xyf^+

ox∂x^

15.令F=x2+y2+z2+λ(xyz-1)

F=O

F；=0

<得x-y=z-∖,所求点为(1,1,1)

E=O

xyz-1

16.与路径无关

cs02

17.原式=√ΣJJJ/+y2dχdyɪ√2∫td^∫ι"°p^p=

18.P=IimM-•巴?=2,收敛半径R=L

…”+22,"^'2

当x=±时，原级数为y---,发散

2七2(〃+1)

当时,原级数为(-1)"

X=-LS收敛

2n=∖2(〃+1)

故原级数的收敛域为ɪ)

22

19.将/(x)奇延拓、周期延拓，使延拓后的函数是(-8,+8)上以T=2〃为周期的奇函数

2I.(T)"+'

b=—∖f(x)sinnxdx=2♦

万Jon

/(x)=2①(T严SinnX

(O≤%<^∙)

〃=1〃

20.设∑]:z=1(χ2+γ2≤1)上侧

jj2x+z)dydz+zdxdy+L(2x+z)dydz+zdxdy

=JjL3dv=3jjd可卜比PdZ=1兀

£(2x+z)dydz+zdxdy=〃

p1

Β

..Jς(2x+z)dydz+zdxdy=-7Γ

21.∫∫max{x2,y}dxdy=∫'ɪdʃʃʃx2dx+∫1dx∫^ydx=—

D10ɪ-v5

22Hz=1