自控线性系统的校正

设计目的掌握线性系统的根轨迹、时域和频域分析与计算方法；掌握线性系统的超前、滞后、滞后-超前、一二阶最佳参数、PID等校正方法；掌握MATLAB线性系统性能分析、校正设计与检验的基本方法设计内容及要求设计内容：对所给系统进行基本性能指标计算、判断稳定性、根轨迹分析、时域和频域分析并对校正前后系统进行特性分析，完成对系统的校正设计。设计要求：已知单位负反馈的开环传递函数为G设计要求：已知单位负反馈的开环传递函数为G(s)二3s(s+10)(s+60)要求校正后系统的性能指标为：丫'〉45,ess<°・02。对于在设计中需要给出附加条件(如需要确定校正后的穿越频率3',e为速度误差精度等)时，应给出css充分说明。首先，对给定的系统先进行时域指标分析、根轨迹稳定性分析、以及频域指标分析并进行MATLAB仿真效验。然后根据校正后的系统的性能指标对原系统进行校正，给出校正方案以及校正方案选择的理由、校正方案的思路及步骤。对校正后的系统再次进行时域指标分析、根轨迹稳定性分析、以及频域指标分析并进行MATLAB仿真校验。之后，进行校正前后系统性能指标的比较与分析。最后，实验总结，心得体会。校正前系统分析1根据系统对稳定误差要求，该系统为I型系统，所以有e=—<0.02K〉50,K令K=50，因此，满足稳态误差要求的开环传递函数为G(s)_ 50 k s(s+10)(s+60)3.1时域性能指标计算与MATLAB检验单位阶跃响应程序如下所示：>>clear>>G=tf([50],[conv([1,10],[1,60]),0]);

>>G1=feedback（G,1）>>step（G1）；>>G1=feedback（G,1）>>step（G1）；>>grid；校正前单位阶跃响应曲线如图3-1所示:31校正前单位阶跃相应曲线由图3-1可知，校正前系统不稳定。3.2根轨迹稳定性分析与MATLAB检验根轨迹：指系统开环传函的某一参量（一般为增益K）从0变化到*时，闭环系统特征方程根在s平面上变化而形成的运动轨迹。系统开环传递函数为：G(系统开环传递函数为：G(s)二3s(s+10)(s+60)1）根轨迹稳定性分析1）该系统有三个极点无零点，1）该系统有三个极点无零点，P=0,P=—10,P=—60o1 2 32）由n二3,m二0可知，该系统有三条根轨迹，在实轴上的根轨迹在（-8,-60）和（-10,-0）。c=0c=0—10—60=—23.3a39=土(2k+°x180=±60。,180。PP之间存在分离点。1，2N(s)二s(s+10)(s+60),M(s)二3,N(s)二3s2+140s+600,M'(s)二0.3(3s2+140s+600)=0,s=—4.77,s=—41.89。12则实轴根轨迹区间为(-e-60)和(-10,-0)。又因s不在根轨迹区间，因此不可能是分离点，分离点必落在s处。21根轨迹与实轴的虚轴的交点。s(s+10)(s+60)+K二0，令s=jW，则可求出根轨迹与虚轴的交点为r土24.49j。根据上述分析，作出根轨迹如图3-2所示。图3-2根轨迹图(2)根轨迹稳定MATLAB检验根据开环传函数用MATLAB绘制根轨迹根轨迹程序段如下所示：>>clear>>G=tf([3],[conv([1,10],[1,60]),0])>>rlocus(G)校正前根轨迹曲线如图3-3所示：3-3校正前根轨迹曲线根据图形所知，该系统不稳定3.3频域指标计算与MATLAB校验（1）频域指标的计算50校正前的开环传递函数为：G（s）=k s（s+10）（s+60）1） 按从小到大的顺序列出其转折频率惯性环节：=0,斜率减少20dBdec。惯性环节：=-10,斜率减少20dBdec。惯性环节：w=-60,斜率减少20dB!dec。2） 画低频段，有一个积分环节和一个惯性环节，低频段应该是20dBdec。要确定曲线的高度，计算20lgK=34dB，低频段或低频段的延长线经过（l,34dB）点。3） 接下来,每到一个转折频率,斜率就发生相应增加或减少,并且把各段的斜率标出来。4） 相频特性曲线可以根据系统的开环相频特性曲线确定©（①）=-90°-arctan（0.1①）-arctan（0.017①）进行计算，可以取几个频率点：

—90。-45。-9.648。二—144.648。-90。-80.538。-45.567。二-216.105。20lg30000°x0.1°x20lg30000°x0.1°x0.017°17647058°3c二1n°=260rad-'sc校正前系统的相角裕量丫。Y=180°-90°-arctan0.1°-arctan0.017°|° =-75。c c c二260经过以上分析，画出该系统的对数幅频特性曲线如图3-4所示。图3-4对数幅频特性曲线(2)频域指标计算的MATLAB校验MATLAB程序段如下：>>clear>>G=tf([50],[conv([1,10],[1,60]),0]);>>margin(G);>>grid;>>Transferfunction:50sA3+70sA2+600s校正前Bode图如图3-5所示：由相频特性曲线中得：截止频率W二0.0833rad/sc4.校正方案选择、比较与确定按照校正装置在系统中的位置，以及它和系统固有部分的不同连接方式，校正方式可分为串联校正、反馈校正和复合校正。串联校正按照校正装置的特点分为超前校正、滞后校正和滞后-超前校正三种。通过以上计算，未校正系统的相角裕量Y=-75。，小于设计要求的45。，所以需要通过校正来提高相角裕量。超前校正能提供一个正值的相角，来改善系统的动态性能。因此设计校正装置是应使最大的超前相角出现在校正后系统的剪切频率处。另外，超前校正的结果将导致剪切频率向右移动，增大。对提高系统的快速性有好处。超前校正能提供一个正值的相角来改善系统的动态性能，因此本设计选用串联相位超前校正。5.校正装置设计5.1校正参数的计算由于未校正系统的剪切频率w二0.0833rad/s，相角裕量y=-75。c

计算校正装置参数w(w)和a,具体步骤如下。c'm①由前面的分析可知丫=-75°，已知丫'二45。，得屮=y'—y+A=45°+75°+15°=135°m1+sin屮②a= m=5.71—sin屮③由于③由于10lga=10lg5.7=7.5dB，因此w'必然在L(w)的第二段个分段函数c中，由L(w')+101ga=0得c5020lg5020lg冇时=—10lg"cc①'=34.4rad-''sc校正装置参数T可由式wT== =0.012(s)T== =0.012(s)34.4^239于是可写出G(s)c1+aTs 1+5.7x0.012s1+0.0684s1+Ts1+0.012s1+0.012s校正后:G('s)=G(s)G(sCk) 50(1+0.0684s)s(0.012s+1)(s+10)(s+60)根据第(1)步计算未校正系统的剪切频率的方法，可求得w'为:c=0nw'=0nw'=5.85rad'sc20lg c0.1w'2cy'=180°+V(w')=180°—90°+arctan0.0684w'ccarctan0.0017w'—arctan0.012w'-arctanw'| ' =26.9°c c cwc=5.85此时，相角裕量y'=26.9°，不符合给定相角裕量45°的要求。并且于小于给定的相角裕量，因此对Gg(s)加入串联超前网络进行第二次校正。(3)计算校正装置参数w(w)和a具体步骤如下：c'm①由第(3)求出的y=40.5°，已知y'=45°，得

屮二丫'―丫+A二45。—26.9。+15。二33.1。m1+sin屮m=1—sin屮m③由于10lga=10lg1.1=1.43dB,由l(w')+101ga=0得c20lg50x20lg50x0.0684®c®'x0.1®'=—10lgan①'=36rad/sccc1⑷校正装置参数T可由式wm=弋求得’为1wv1wvam1=1w\.-'a 36f1.1c=0.026(s)。〃于是可写出G(〃于是可写出G(s)=c1+aTs1+Ts1+1.1x0.026s1+0.026s1+0.029s1+0.026s校正后〃 fGw(s)=G(s)(sCC、、= 50(1+0.0684s)(0.029s+1)' s(1+0.026s)(0.012s+1)(0.1s+1)(0.017s+1)根据第(1)步计算未校正系统的剪切频率的方法，可求得wc50x0.0684®'x0.03®TOC\o"1-5"\h\z20lg c c0.1®'2cy'=180°+屮(w')=180°—90°+arctan0.0684®'+arctan0.03w'—arctan0.02加c c c c—arctan0.012w'—arctan0.1w'-arctan0.017wc'|w'=0=90°c c c0此时，相角裕量y'=90°，符合相角裕量要大于45°的要求。综上所述，经过2次串联相位超前校正装置使系统的相角裕量增大，从而降低统响应的超调量，符合题目要求，与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。5.2校正装置的选择所谓校正就是根据给定的系统固有部分和性能指标要求，选择和设计校正装置。相位超前校正是指系统在正弦信号的作用下，可以使其正弦稳态输出信号的相位超前于输入信号，或者说具有正的相角特性。因此，根据要求以及校正前后参数的计算，可以用无源阻容元件组成的相位超前网络。图3-5无源相位超前网络6.校正后系统分析校正后系统的传递函数为50(1+0.0684s)(0.029s+1)s(l+0.026s)(0.012s+1)(0.Is+l)(0.017s+1)6.1时域性能指标计算与MATLAB检验在MATLAB中检验，编写程序如下：>>clear>>G1=tf(50,[0.026,1]);>>G2=tf([0.0684,1],[0.012,1]);>>G3=tf([0.029,1],[0.1,1]);>>G4=tf(1,[0.017,1]);>>G=G1*G2*G3*G4;>>G5=feedback(G,1);>>step(G5)校正后单位阶跃响应曲线如图6-1所示：图6-1校正前单位阶跃相应曲线根轨迹稳定性分析与MATLAB检验（1）根轨迹稳定性分析1该系统有五个极点，两个零点。分别为：P二0,P二—10,P二一60,P二-45.45,1 2 3 4P二—83.3,Z二—14.6,Z二—33.35122由n二5,m二2可知，该系统有五条根轨迹，在实轴上的根轨迹在Cg，-83.3)、C10,0)以及C45.45,-33.33渐近线截距和倾角分别为=—50.30-10-60-45.45-83.3+14.6+=—50.3土(2k+1)x180。

3=±60。,180。，土300。4根据上述分析,作出根轨迹如图6-2所示。图6-2根轨迹图根轨迹稳定MATLAB检验>>G1=tf(50,[0.022,1]);>>G2=tf([0.0684,1],[0.026,1]);>>G3=tf([0.029,1],[0.1,1]);>>G4=tf(1,[0.017,1]);>>G=G1*G2*G3*G4;>>rlocus(G)校正后根轨迹曲线如图6-3所示：图6-3校正系统后根轨迹图频域指标的计算与MATLAB检验1绘制Bode图的步骤如下：(1)按从小到大的顺序列出其转折频率。积分环节：W］二0(rad/s)，斜率减小20dB/dec。惯性环节：w=-0.026(rad/s)，斜率增加20dB/dec。2一阶微分环节：w=-0.22(rad/s),斜率减小20dB/dec。3惯性环节：w=-10(rad/s),斜率减小20dB/dec。3惯性环节：w=-60(rad/s)，斜率减小20dB/dec。4画低频段，有三个惯性环节、一个积分环节和一个一阶微分环节，低频段斜率应是20dB/dec。要确定曲线的高度，低频段或低频段的延长线经过(l,34dB)点。接下来，每到一个转折频率，斜率就会发生相应的减少，并且在图上把各段斜率标出来。图6-4所示

在MATLAB中仿真编程如下：>>G1=tf(50,[0.022,1]);>>G2=tf([0.0684,1],[0.012,1]);>>G3=tf([0.03,1],[0.1,1]);>>G4=tf(1,[0.017,1]);>>G=G1*G2*G3*G4;>>bode(G)>>margin(G)由此，可画出对数幅频特性曲线，如图6-4所示：BcahFwjibmGh-hldEiMmr^RdiBK!. 13{iJ-It盗由此，可画出对数幅频特性曲线，如图6-4所示：BcahFwjibmGh-hldEiMmr^RdiBK!. 13{iJ-It盗85is6-4校正后Bode图从仿真结果bode图中可见，校正后系统截止频率，相位裕量和增益裕量等各项性能指标均达到设计要求。校正前后系统性能指标的比较与分析7.1动态指标的比较与分析校正前相角裕度为-75°，校正后相角裕度为90°.设计符合题目所要求的稳态误差及相角裕度。分析：从校正前后的对比可以看出校正后的相角裕度满足要求题目要求，幅值裕度得到了明显的改善，K'K，说明其不稳定性减小，系统稳定性能gg得到了极大的改善。7.2静态指标的比较与分析校正前稳态误差未知，校正后稳态误差为0.02，满足题目要求。小结分析比较：经过两次串联超前网络校正后，系统的稳态误差为0.02。系统的开环系统截止频率减小，相位裕量增加，提高了系统的相对稳定性。同时开环增益增加，提高了稳态的性能，使得系统的高频段幅值有所降低，提高了该系统的抗干扰能力。设计总结自动控制原理是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行。通过这次的线性系统校正课程设计，再次熟悉我们所学的理论知识，同时将理论知识运用于实践,加深映像,更加深入理解所学知识。在课堂上学习的理论知识联系实际，进一步掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿，以及校正装置的作用及用法，同时也又一遍学习使用MATLAB软件。在这次课程设计过程中，遇到很多问题，例如对各种校正方法的应用,MATLAB软件的运用，通过复习书本和同学讨论了解了校正的概念以及其他软件使用某些功能的方法。从本次线性系统校正课程设计开始到最后实验总结分析，对于个人来说是个不小的难题，所以遇到问题时，和同学一起讨论，交流意见，共同商量，是解决各种难题的有效方法，也增加了同学彼此之间的友情。这次课程设计使我深深地体会团队合作精神的重要性。下课后不看课本，有时问题弄不懂，不及时解决，问题越留越大。通过这次课程设计，有些问题就解决了。所以，有问题要及时解决，不要拖。每一次课程设计都是对所学知识的一次总结，一次检验自己