高三数学下学期期中试题：空间向量与立体几何

高三数学下学期期中试题：空间向量与立体几何

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与立体几何希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学下学期期中试题：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

1.如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱

形，，，侧棱,棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1

的中点.

(I)证明：OF〃平面;

(II)求三棱锥的体积.

2.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一点.

(1)求证：；

(2)当面积的最小值是9时，证明平面.

3.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PD平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点，PD=2.

⑴求证：BC

⑵求证：EF//平面PDC;

⑶求三棱锥BAEF的体积。

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左

视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角

梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(I)求该几何体的体积；

(II)求证：EM〃平面ABC;

5.如图，AC是圆0的直径，点B在圆0上，,交AC于

点M,平面，，AC=4,EA=3,FC=1.

(IM正明：EM

(II)求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值.

6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，.

(1)求证：；

(2)设点在棱上，，若〃平面，求的值.

,为的中点.

(I)求证：平面；

(II)求点到面的距离.

9.在三棱锥P-ABC中，APAC和4PBC都是边长为2的等边

三角形，AB=2,0,D分另U是AB,PB的中点.

⑴求证:0D〃平面PAC;

⑵求证：P0平面ABC;

(3)求三棱锥P-ABC的体积.

11如图所示，三棱柱中，，平面平面，

又，与相交于点.

(I)求证：平面；

(II)求与平面所成角的正弦值；

12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，

为的中

点，，〃，.[

(I)求证：平面平面；来

(II)求证：〃平面；

(III)求四面体的体积.

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、

左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直

角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(I)求该几何体的体积；

(II)求证：EM〃平面ABC;

15.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方

形，PA面ABCD,PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.

(1)求证：PC面AEF；

⑵若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体

PAEFG的体积。

16.如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它

的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明：平面；

⑵求三棱锥的体积；

⑶在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.

18.

17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三

角形，平面平面，分别是的中点.

(I)求平面平面；

(II)若是线段上一点，求三棱锥的体积.

18.如图，在梯形中，

四边形为矩形，平面平面，

(I)求证：平面；

(II)设点为中点，

求二面角的余弦值.

19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求证：BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一个边AB二，EF二，则另一边BC的长

为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？

21.已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，

高为.M为线段PC的中点.

(I)求证：PA〃平面MDB;

(II)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值.

22.如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，

为线段的中点，为线段的中点.

(I)求证：〃平面；

(II)当的比值为多少时，平面，

并说明理由.

23.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

⑴证明：平面AB1C平面A1BC1;

(2)设D是A1C1上的点，且A1B〃平面B1CD,求A1D：DC1

的值.

24.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点。

⑴求证：；

⑵当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与

平面所成角的正切值为2?若存在？求出的值，若不存在，

请说明理由

25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点。

⑴求证：；

⑵当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与

平面所成角的正切值为2?若存在？求出的值，若不存在，

请说明理由

26.

如图：在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,沿对角线BD把AABD

折起，使A移到A1点，过点A1作A10平面BCD,垂足。恰

好落在CD上.

⑴求证：BC

⑵求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.

27.如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形，，

为的中点.

⑴求证：平面；

⑵求证：平面平面.

28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

⑴请画出该几何体的直观图，并求它的体积；

(2)证明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否

平行于平面AB1C1,并证明你的结论.

29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

⑴请画出该几何体的直观图，并求它的体积；

(2)证明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否

平行于平面AB1C1,并证明你的结论.

30.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，

是线段的中点。

(1)求异面直线与直线所成的角的大小；

⑵求多面体的表面积。

31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD,ABAD,点E在

线段AD上，且CE〃AB。

⑴求证：CE平面PAD；

⑵若PA二AB=1,AD=3,CD=,CDA=45,求四棱锥P-ABCD的

体积

32.如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点，且ABPD,

AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面

角，连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE

得到如下图(图2)的一个几何体.

⑴求证：平面PAB平面PCD；

⑵求PE与平面PBC所成角的正弦值.

33.如图，在直三棱柱中，90,,是的中点.

(I)求异面直线与所成的角；

(II)若为上一点，且，求二面角的大小.

解法一：

(I)异面直线与所成的角为.6分

(II)所求二面角为.

34.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点。

⑴求证：；

⑵当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与

平面所成角的正切值为2?若存在？求出的值，若不存在，

请说明理由

35.如图，PA平面ABCD,ABCD是矩

形，PA=AB=1,，点F是PB的中点，点E在边BC

上移动。

⑴求三棱锥E-PAD的体积；

⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的

位置关系，并说明理由；

(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF。

36.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD,AB〃DC,

△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8,AB二2DC二。

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；

(II)求三棱锥CPAB的体积

答案

1.如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱

形，，，侧棱,棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1

的中点.

⑴证明：OF//平面；

(II)求三棱锥的体积.

解：(I)四边形ABCD为菱形且，

是的中点........................2分

又点F为的中点，在

中，，.......................................4分

平面，平面，平面..........6分

(II)四边形ABCD为菱形，

,又，

且平面，

平面，

平面，

平面平面..........................8分

在平面内过作，则，

是与底面所成的

角，.....................................10分

在，

故三棱锥底面上的高为，又，

所以，三棱锥的体积.

2.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点.

(1)求证：；

(2)当面积的最小值是9时，证明平面.

.解：(1)证明：连接，设与相交于点。因为四边形是

菱形，

所以。又因为平面，平面

为上任意一点，平面，所以----------------------------

----------7分

⑵连.由(I),知平面，平面，所以.

在面积最小时，最小，则.

,解得--------------------10分

由且得平面则，

又由得，而，故平面--

3.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PD平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点，PD=2.

⑴求证：BC

⑵求证：EF//平面PDC;

⑶求三棱锥BAEF的体积。

解证：（I）♦••四边形ABCD是正方形

BCDC

又PD面ABCD,BC面ABCD

BCPD,又PDDC=D

BC面PDC从而BCPC---------------------------------4分

（II）取PC的中点G,连结EG,GD,则

四边形EFGD是平行四边形。EF//GD,

又

EF//平面PDC.----------------------------------8分

（川）取8。中点0,连接E0,则E0//PD,

PD平面ABCD,E0底面ABCD,

------------12分

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左

视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角

梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(I)求该几何体的体积；

(II)求证：EM〃平面ABC;

(I)VEA平面ABC,EAAB,又ABAC,AB平面ACDE

6分

TM为BD的中点，MG〃CD且MG=12CD,于是MG〃AE,且

MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形，EM〃AG,EM〃平面ABC

5.如图，AC是圆0的直径，点B在圆0上，,交AC于

点M,平面，，AC=4,EA=3,FC=1.

(IM正明：EM

(II)求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值.

,即(也可由勾股定理证得).

,平面.

而平面，

.6分

⑵延长交于，连，过作，连结.

由⑴知平面，平面，

而，平面.

平面，

为平面与平面所成的

二面角的平面角.8分

在中，，，

由，得.

,贝U.

是等腰直角三角形，.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，.

⑴求证：；

(2)设点在棱上，,若〃平面,求的值.

(1)证明：由题意知则

-------------6分

⑵过作//交于连结，

//,〃平面.

又丁〃平面，平面〃平面，〃.

又丁

,即一

7.图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱

形，，，侧棱,棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1

的中点.

(I)证明：OF//平面;

(II)求三棱锥的体积.

解：(I)四边形ABCD为菱形且，

是的中点......................2分

又点F为的中点，在

中，，.......................................4分

平面，平面，平面..........6分

(II)四边形ABCD为菱形，

,又，

且平面，

平面，

平面，

平面平面..........................8分

在平面内过作，则，

是与底面所成的

角，.....................................10分

在，

故三棱锥底面上的高为，又，

所以，三棱锥的体积

8.已知四棱锥的底面为菱形，且，

,为的中点.

(I)求证：平面；

(II)求点到面的距离.

(I)证明：连接

为等腰直角三角形

为的中点

2分

又

是等边三角形

,4分

又

,即

6分

(II)设点到面的距离为

8分

,到面的距离

10分

点到面的距离为

9.在三棱锥P-ABC中，APAC和4PBC都是边长为2的等边

三角形，AB=2,0,D分别是AB,PB的中点.

⑴求证:0D〃平面PAC;

⑵求证:P0平面ABC;

⑶求三棱锥P-ABC的体积.

(1)分别为的中点，〃

又平面，平面

〃平面.4分

⑵如图，连结

,为中点，，

同理，，.6分

又，，.

平面.8分

⑶由⑵可知垂直平面

为三棱锥的高，且

11如图所示，三棱柱中，，平面平面，

又，与相交于点.

(I)求证：平面；

(II)求与平面所成角的正弦值；

【解】(I)由题知，，

所以为正三角形，所以,1分［

又因为，且

所以为正三角形，2分

又平行四边形的对角线相交于点，所以为的中点,

所以3分

又平面平面，且平面平面，4分

且平面5分

所以平面6分

(II)K解法一X连结交于，取中点，连结一

则，又平面

所以平面，，7分

所以直线与平面所成角为.8分

而在等边中，，所以，，

同理可知，，

在中，10分

所以中，，.

所以与平面所成角的正弦值为.12分

K解法二不由于，平面，所以平面，7分

所以点到平面的距离即点到平面的距离，

由平面，所以到平面的距离即，8分

也所以与平面所成角的正弦值为，9分

而在等边中，，所以，

同理可知，，所以，10分

又易证平面，所以，

也所以，11分

所以

即与平面所成南的正弦值为.

12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直,

为的中

点，，〃，.[

(I)求证：平面平面；

(II)求证：〃平面；

(III)求四面体的体积.

解：(I),.•面面，面面，，

面,2分

又二面，平面平面.4分

(II)取的中点，连结、，则，

又「，，6分

四边形是平行四边形，〃，

又丁面且面，〃面.8分

(III)二•，面面二，面.

就是四面体的高，且二2.10分

二=2二2,//,

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、

左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直

角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(I)求该几何体的体积；

(II)求证：EM〃平面ABC;

(I)VEA平面ABC,EAAB,又ABAC,AB平面ACDE

6分

♦.•M为BD的中点，MG〃CD且MG=12CD,于是MG〃AE,且

MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形，EM〃AG,EM〃平面ABC.19.

(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(I)求证：

平面

(II)若求与所成角的余弦值；

(III)当平面与平面垂直时，求的长.

证明：(I)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.

又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.

(11)设ACBD=O.因为BAD=60,PA=PB=2,所以B0=1,A0=C0=.

如图，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz,则

P(0,,2),A(0,,0),B(1,0,0),C(0,,0).

所以

设PB与AC所成角为,则.

(III)由(II)知设P(0,-,t)(t0),则

设平面PBC的法向量，则

所以令则所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB平面PDC,所以二0,即解得所以PA二

EF=SE=(10分)

15.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方

形，PA面ABCD,PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.

(1)求证：PC面AEF；

⑵若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体

PAEFG的体积。

解析：(1)证明：PA面ABCD,BC在面内，PABC

BABC,BCBA=B,BC面PAB,又TAE在面PAB内BCAE

AEPB,BCPB=B,,AE面PBC又•.'PC在面PBC内AEPC,AEPC,

AEAF=A,PC面AEF.5分

(2)PC面AEF,AGPC,AGDCPCDC=CAG面PDC,VGF在面PDC

内AGGFZiAGF是直角三角形，由⑴可知4AEF是直角三角

形，AE=AG=,EF=GF=,又AF二，PF二，

16.如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它

的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

⑴证明：平面；

⑵求三棱锥的体积；

⑶在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.

18.

解：(1)因为平面，所以，

又，所以平面，所以.

由三视图可得，在中，，为中点，所以，

所以平面，4分

(2)由三视图可得,

由(1)知，平面,

又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，

所以，所求三棱锥的体积.8分

⑶取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求.

因为为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

连接，，四边形的对角线互相平分，

所以为平行四边形，所以，又平面，

所以在直角中，.12分

17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三

角形，平面平面，分别是的中点.

(I)求平面平面；

(II)若是线段上一点，求三棱锥的体积.

(I)证■明：，

平面PAD,(6分)

VEF//CD,平面PAD,

平面EFG,平面EFG平面PAD；

(IDM：VCD//EF,CD//平面EFG,故CD上的点M到平面

EFG的距离

等于D到平面EFG的距离，,

,平面EFGH平面PAD于EH,

D到平面EFG的距离即三角形EHD的高，等于

18.如图，在梯形中，

四边形为矩形，平面平面，

(I)求证：平面；

(II)设点为中点，

求二面角的余弦值.

(1)证明：

则，，则得

,面平面，

面平面

平面.7分

(II)过作交于点，连，

则为二面角的平面角，在中，，，则二面角的余弦值

为.

19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求证:BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一个边AB二，EF二，则另一边BC的长

为何值时，三棱锥F-BDE的体积为?

解(I)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.

因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM二CD

且EM//CD,于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有

BE//AM,而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF.6分

(II)由EF二，EM二AB二，得FM二3且.

由可得FD=4,从而得DE=2.8分

因为，，所以平面CDFE.

所以，.10分

因为，，所以.

综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为.

20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求证:BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一个边AB二，EF二，则另一边BC的长

为何值时，三棱锥F-BDE的体积为？

解(I)过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.

因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM二CD

且EM//CD,于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有

BE//AM,而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF.6分

(II)由EF二，EM二AB二，得FM二3且.

由可得FD=4,从而得DE=2.8分

因为，，所以平面CDFE.

所以，.10分

因为，，所以.

综上，当时，三棱锥F-BDE的体积为.

21.已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，

高为.M为线段PC的中点.

(I)求证：PA〃平面MDB;

(II)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值.

本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，

同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

(I)证明：在四棱锥P-ABCD中，连结AC交BD于点0,连结

0M,P0.由条件可得P0=，AC=2,PA=PC=2,C0=A0=.

因为在APAC中，M为PC的中点，0为AC的中点，

所以0M为APAC的中位线，得OM〃AP,

又因为AP平面MDB,0M平面MDB,

所以PA〃平面MDB.6分

(II)解：设NCMO二E,由题意得BP二BC二2,且CPN=90.

因为M为PC的中点，所以PCBM,

同理PCDM,故PC平面BMD.

所以直线CN在平面BMD内的射影为直线0M,MEC为直线CN

与平面BMD所成的角，

又因为0M〃PA,所以PNC=MEC.

在RtZ\CPN中，CP=2,NP=1,所以tanPNC二,

故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2

22.如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，

为线段的中点，为线段的中点.

(I)求证：〃平面；

(II)当的比值为多少时，平面，

并说明理由.

(I)证明：连接，由题意可知点为的中点.因为点为的

中点.

在中，.2分

又面，，.6分

(II)当时，.7分

四边形为菱形，且，

四棱柱为直四棱柱，四边形为矩形.

又，，

四边形为正方形，10分

在直四棱柱中，，，

四边形为菱形，.

,，又，.13分

23.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

⑴证明：平面AB1C平面A1BC1;

⑵设D是A1C1上的点，且A1B〃平面B1CD,求A1D：DC1

的值.

解：⑴证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.

又B1CA1B,且A1BBC1二B,所以B1C平面A1BC1.又B1C平面

AB1C,所以平面AB1C平面A1BC1.

(2)设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平

面B1CD的交线.

因为A1B〃平面B1CD,

所以A1B〃DE.

又E是BC1的中点,

所以D为A1C1的中点,

即A1D：DC1=1.

24.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点。

⑴求证：；

⑵当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与

平面所成角的正切值为2?若存在？求出的值，若不存在，

请说明理由

解：（1）证明：连接，设与相交于点。

因为四边形是菱形，所以。

又因为平面，平面

为上任意一点，平面，所以-----------------7分

⑵连.由（I）,知平面，平面，所以.

在面积最小时，最小，则.

,解得---------------10分

由且得平面则，

又由得，而，故平面

作交于点，则平面，所以就是与平面所成角.

在直角三角形中，

所以，设，则。

由得。

由得，即---------------14分

25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是

上任意一■点。

⑴求证：；

⑵当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与

平面所成角的正切值为2?若存在？求出的值，若不存在，

请说明理由

解：（1）证明：连接，设与相交于点。

因为四边形是菱形，所以。

又因为平面，平面

为上任意一点，平面，所以--------------7分

⑵连.由（I）,知平面，平面，所以.

在面积最小时，最小，则.

,解得--------------10分

由且得平面则，［

又由得，而，故平面

作交于点，则平面，所以就是与平面所成角.

在直角三角形中，

所以，设，则。

由得。

由得，即

26.

如图：在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,沿对角线BD把AABD

折起，使A移到A1点，过点A1作A10平面BCD,垂足。恰

好落在CD上.

（1）求证：BC

⑵求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.

解：⑴因为A10平面BCD,BC平面BCD,BCA10,

因为BCCD,A10CD=0,BC面A1CD.

因为A1D面A1CD,BCA1D.(6分)

⑵连结B0,则A1B0是直线A1B与平面BCD所成的角.

因为A1DBC,A1DA1B,A1BBC=B,A1D面A1BC.A1C面A1BC,

A1DA1C.

在RtZkDAIC中,A1D=3,CD=5,A1C=4.

根据SZkA1CD=12A1DA1C=12A10CD,得到A10=125,

在RtAA1OB中，sinA1BO=A10A1B=1255=1225.

所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.(12分)

27.如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形，，

为的中点.

⑴求证：平面；

⑵求证：平面平面.

(1)证明：取的中点，连结.

,/为的中点，且.

二•平面，平面，

，.又，.

四边形为平行四边形，则.

二•平面，平面，平面.7分

(2)证明：为等边三角形，为的中点，

V平面，，.

，又，

平面.

・平面，平面平面.

28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

⑴请画出该几何体的直观图，并求它的体积；

(2)证明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否

平行于平面AB1C1,并证明你的结论.

29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

⑴请画出该几何体的直观图，并求它的体积；

(2)证明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否

平行于平面AB1C1,并证明你的结论.

解：(1)几何体的直观图如图.

四边形BB1C1C是矩形，BB1=CC1=3,BC=1,四边形AA1C1C

是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C,其体积

V=12133=324分

⑵证明：VACB=90,BCAC.

;三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，BCCC1.

VACCC1=C,BC平面ACC1A1,

BCA1C.VB1C1/7BC,B1C1A1C.

•・•四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.

VB1C1AC1=C1,

A1C平面AB1C1.8分

⑶当E为棱AB的中点时，

DE〃平面AB1C1.

证明：如图，取BB1的中点F,连结EF,FD,DE,

VD,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,EF〃AB1.

〈ABI平面AB1C1,EF平面AB1C1,

EF〃平面AB1C1.

同理可得FD〃平面AB1C1,

又EFFD=F,平面DEF〃平面AB1C1.

而DE平面DEF,DE〃平面AB1C1.12分

30.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，

是线段的中点。

（1）求异面直线与直线所成的角的大小；

⑵求多面体的表面积。

解：（1）因为，所以即为异面直线与所成的角（或其补

角），2分

连结，在中，所以，

又，所以，所以是等边三角形，

5分

所以，即异面直线与所成的角为；6分

(2)8分

10分

31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD,ABAD,点E在

线段AD上，且CE〃AB。

⑴求证：CE平面PAD；

⑵若PA二AB=1,AD=3,CD=,CDA=45,求四棱锥P-ABCD的

体积

【解析】（1）证明：因为PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以

PACE,

因为ABAD,CE〃AB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.

⑵解：由⑴可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.

又因为AB=CE=1,AB#CE,所以四边形ABCE为矩形，所以

二二,又PA平面ABCD,PA=1,

所以四棱锥P-ABCD的体积等于

32.如下图（图1）等腰梯形PBCD,A为PD上一点，且ABPD,

AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二