极坐标知识讲座

极坐标pG,。)，其中rO^J的有向距离,e是从初始射线到射线OP的有向角一一、如果不限制r,e的范围，同一个点的极坐标表示不是唯一的.例如力、 11n\P2,遥=P2,-］表示同一个I6) \o)点.二、极坐标r<0的意义7tt/68*例1r=sin20用直角坐标系中r=sin20图形来理解四叶玫瑰线

r=sin26法作图.若r法作图.若rv0，则极坐标系中点(r,0)实际上处于点(-r,0+K)或(-r,0-K)的位置上，于是得到如下的处理方法：将直角坐标曲线r=F(0)在轴下方的图形向左或向右平蓉兀的整数倍，使之位于区间(0,2冗］内；再以0轴为轴线将这部分图形翻转到0轴上方，然后按，r>0情形的描点方法作图.注意负移正不动.r=sin36在直角坐标系中的图形FW\7

轴下方图形平移后的结果如下下方图形向上翻转得到J1r\An2k兀4n5n3333例3r=asin3o3f/SUl求曲线r=asin3o(a>0)的3全长.分析本例中r=asin3o(a>0)是一个连续■3 、

的周声函数，其周期为，即区间1_6〃冗^6冗+6孩兀」上的曲线与区限【0,6"］上的曲线完全重合.但这并不说明曲线的绕圈周期也一定就是&「,完年有可能是实际上，在区间L0,3冗」上曲线完*一个周辛1・而在区间叶^,6冗」由-rF<0,所以曲线与区间Lo,3冗」上曲线完全重合.事实户，年*+aVxgL0,3冗Ur=asiD3o=asin33冗+a=asin3(+a)<0,—3— 3

养照r<0 意斗\asin3侦+ +a/与)§ ：asin3a,a 表示同一个点・33S=f3”ir2+rr2de=f3"/a2sin6o+a2sin40•cos20dq3 33=a」③冗sin20d0=3冗a.0 寺 之三、极坐标下的对称性四、极坐标图形举例B1p165-20双纽线r2=2a2cos20如图所示，p-p=a2的点的轨1 2迹.由余弦定理，Jp2=r2+a2+2racos0[p2=r2+a2-2racos0np2p2=(r2+a2)-4r2a2COS20,12即

a4=。2+a2》-4r2a2COS20,即r2+2a2(1-2cos20)=0nr2=2a2cos20例5脏线（左尖）r=1+cos0的图形动画演示：心脏线左尖.gif

心脏线左尖平行线.gif-0.6—-0.8--1.0-1.2-1.4例6心脏线r=1一cos0的图形er=1—cos0o1-213-22077-377-23”心脏线r=1一cos&动画演示：心脏线动画.gif心脏线+平行线.gif

-0.8--1-0.8--1-1-1024例7设q=1方程r2=cos20要求cos2e>0于是我们让20从—n跑到n即一n<0<n^就>得到整个图疚对-：和n之间的o每一个值，公式r2=cos20给出r的两个值r=±/cos20.

动画演示：双纽线2.gif例8r24cos0的图形

r2=4cos0动画：双纽线1.gif例9r=3sin0+3.5cos100cos80动画演示：极坐标画花.gif例10b1p175-33动画b1p175-33.gif五、极坐标曲线的斜率设曲线r=f（诺,改写成参数方程

”x=rcos0=f（0）cos0Iy=rsin0=f（0）sin0Idx=n〈d0|dy=d0f，（Idx=n〈d0|dy=d0f，（0）sin0+f（0）cos0dy=f，（0）sin0+f（0）cos0dx（r,0） f1（0）cos0-f（0）sin0心脏线r=1-cos00Iy-1.21.00.0.40.-0.-0.-0.8J.0--1.2-0.2X-2.0 -1.5-1.0 -0.5水平切线在（0,0）=（0,2n）,（3,2n）,（3,4n）23 23垂直切线在（1,丸）,（2,n）,23（1,5n）23六、极坐标面积微元六、极坐标面积微元㈣），照y七、极坐标的弧长公式设曲线r=f（。）,a<0<p改写成参数方程Jx=rcos0=f（0）cos0[y=rsin0=f（0）sin0Jdx=fz（0）cos0-f（0）sin0=[dy=f，（0）sin0+f（0）cos0d0G>+C^CrCe^+C/Ce))2dQdQ=，2+Qr)2dBL=fp/(—)2+(d)d。

ay30 30=fp/，2+G)2曲

ay3®八、应用举例1.对数螺线一般对数螺线的极坐标方程是r=ajie，其中a-r,即0=0时的向径长度. °若v表示切线与向径的夹角,则Jx=rcos0=r（0）cos0[y=rsin0=r（0）sin0Jdx=r'（0）cos0-r（0）sin0dy=r‘（0）cos0一r（0）sin03dy=r（0）sin0+r（0）cos0=尸（0）tan0+r（0）dx（r,0） 尸（0）cos0-r（0）sin0 尸（0）-r（0）tan0tanW=tan（a—0）=tana-tan0=y'-tan01+tanatan0 1+y'tan0—r,（0）tan0+r（0）—tan0—尸（0）tan0+r（0）—tan0—（0）—r（0）tan0）=r（0）-r（0）tan0=1+3n0r'（0）tan0+r（0） r^（0）-r（0）tan0+tan0Vr^（0）tan0+r（0））r（0）-r（0）tan0—r（0）（1+tan0）—r（0）,r（0）（1+tan0） r（0）

即得即得cotw=r（0）,而r=ap。Xo）nrr（0）=叩。Inp=r（0）Ing于是cotw=r'（°）=r（°）lnp=Inp.X。） r（°）eIn»eIn»l=eCQtyv贝,改写r=a^=“5『1=ag01,r2=ag02当缶―时，您—理*— — =右+1=>fln(i=In^1cot\|/=Inji=*ln捋1=0.30635

这样定义的对数螺线,任何一对互

相垂直的向径为边的矩形都是黄金

矩形，故称黄金对数螺线・a中.2.阿基米德螺旋线a中.2.阿基米德螺旋线有一种凸轮传动装置，通过以匀角速度⑴转动的主动轮边缘来驱动从动杆，使从动杆以匀速v作铅直上升的直线运动，并周期性地突然下降再作铅直上升的直线运动,如此周而复始.9=^t, p=p+vt0这里p为初始向径，参数t为转动时0间,消去其中的参数t,得到p=p+v9,0页记a记a=v,&则有p=p+aq (0<9<2n)0如果对上式所表示曲线中的9的范围不加限制，则可得到一圈圈向外呈发散状的螺旋线・动画演示：阿基米德螺线动画演示：阿基米德螺线.gif3九、求极坐标图形的交点从图形上看,a曲线r=1一cos0与曲线r2=4cos0有四个交点.但是我们联立fr=1-cos0 〃〈 ^^r=1—r2Ir2=4cos0 力=r=-2土2/2,因为r<2,所以舍弃r=—2—2j2,对应r=—2+2^j2的0值是、0=arccos(1—r)=arccos^3—2/2人±80但是漏掉(°,。)和(2,n)两个交点.为什么这两个交点没有被解联立方程发现?回答是:点(0,0)和(2,n)不同时在曲线上，即不是在同样的0值到达.在曲线r=1—cos0上,点(2,n)在0=n时到达；而在曲线r2=4cos0上，点(2,n)在0=0时到达，它没有从坐标(2,丸)得到，因为该坐标不满足方程，但•可以从坐标(-2,0)得到，后者满足方程・类似地，r=1—cos0在0=0时到达原点，而曲线nr2=4cos0，在0= 时到达原点.2动画演示:极坐标曲线交点-动画.gif在交通