自动控原理第二章

二、列写微分方程的一般步骤确定元件或系统的输入量和输出量，并引入必要的中间变量；分析元件在工作中所遵循的规律，从系统输入端开始，依次写出各个元件的微分方程；消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。第二章自动控制系统的数学模型一、定义

系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及变量之间关系的数学表达式第一节控制系统微分方程的编写1/11/20241《自动控制原理》第二章+-+-uo(t)(t)

RLC电路i(t)三、举例令称为电路的时间常数，则有1/11/20242《自动控制原理》第二章mFkxmkxF

弹簧--质量--阻尼器的机械位移系统F——输入变量x——输出变量1/11/20243《自动控制原理》第二章MJ机械转动系统M——输入变量——输出变量经过整理得到1/11/20244《自动控制原理》第二章+-负载+-（1）电枢回路的电势平衡方程（2）电动机的反电势（3）电动机的电磁力矩（4）电动机轴上的动力学方程电枢控制的他激直流电动机消去中间变量，得1/11/20245《自动控制原理》第二章四、非线性微分方程的线性化yAB1、一个变量的非线性函数在处连续可微，将它在该点附近泰勒展开：设，当增量较小时，略去高次幂项，有1/11/20246《自动控制原理》第二章四、非线性微分方程的线性化2、二个变量的非线性函数在处连续可微，将它在该点附近泰勒展开：当增量较小时，略去高次幂项，有1/11/20247《自动控制原理》第二章非线性函数线性化非线性系统，必须连续可导小范围内变化，即某个领域工作点不同，线性比例K值不同不适用于严重非线性场合，如继电特性1/11/20248《自动控制原理》第二章五、线性系统微分方程的编写功率放大运放I运放II反馈联接测速发电机减速器负载++-++--转速自动控制系统原理图1/11/20249《自动控制原理》第二章X运算放大器I运算放大器II功率放大器电动机测速电机+-转速控制系统方块图1/11/202410《自动控制原理》第二章运算放大器I：运算放大器II：功率放大器：电动机：测速发电机：合并，清除中间变量：

或其中

（忽略电枢电阻，电抗）1/11/202411《自动控制原理》第二章第二节传递函数一、拉式变换与拉式反变换⑴拉氏变换定义

①时,

②时，分段连续，且满足：的拉氏变换存在，其表达式记作

则1/11/202412《自动控制原理》第二章(2)拉氏变换相关定理(a)线性定理(b)位移定理(c)延迟定理

(d)终值定理

(e)初值定理

(f)微分定理推广(g)积分定理

1/11/202413《自动控制原理》第二章(3)拉氏反变换求取拉式反变换方法化成下列因式分解形式：1/11/202414《自动控制原理》第二章(a)当F(s)具有不同的极点时，可展开为其中则为F(s)在处的留数，1/11/202415《自动控制原理》第二章(b)当F(s)含有多重极点时，可展开为其中则

1/11/202416《自动控制原理》第二章二、

传递函数1、传递函数的概念和定义定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉式变换和输入量的拉式变换之比，并记为G(s)。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中是系统输出量，是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。1/11/202417《自动控制原理》第二章设和及其各阶导数在t=0时的值均为零，即，可得关于s的代数方程：于是，由定义得系统传递函数为：满足零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令1/11/202418《自动控制原理》第二章i(t)G(s)++uo(t)(t)--2、求传递函数的例子

RC网络1/11/202419《自动控制原理》第二章

机械位移系统根据例2-2可知系统的微分方程为：对上式两边取拉氏变换，得若初始条件为零，得求输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比得1/11/202420《自动控制原理》第二章3、用复数阻抗法求电网络的传递函数与流过元件的电流相量之比，就称为该元件的复数阻抗，记为，即对应的电阻、电容和电感的阻抗见表2-1，可得：阻抗的定义：电气元件两端的电压相量1/11/202421《自动控制原理》第二章以电容为例来计算复阻抗：则有因此注意：串联时并联时假设1/11/202422《自动控制原理》第二章[例]求如图所示的比例积分控制器的传递函数(t)(t)比例—积分控制器PI控制器1/11/202423《自动控制原理》第二章(t)(t)比例—微分控制器PD控制器[例]求如图所示的比例微分控制器的传递函数1/11/202424《自动控制原理》第二章例题：证明下面两例具有相同的数学模型(t)(t)C2(a)yiy0xf1f2k1k2(b)ab1/11/202425《自动控制原理》第二章

只适应线性定常系统；由系统（元件）的参数、结构决定，是系统的动态数学模型，与输入量的具体形式和大小无关；

不提供任何系统的物理结构，许多不同物理结构的系统可能具有完全相同的传递函数；

n>m,n为系统的阶数；

单输入—单输出

三、关于传递函数的几点说明1/11/202426《自动控制原理》第二章

四、传递函数的几种表示形式(1)为有理分式（一般表示形式）系数均为实数。分母的阶数n称为的阶次,也称为系统的阶次。(2)的零、极点表示其中为系统(或传递函数)的零点，为系统(或传递函数)的极点，是传递函数用零、极点表达式时的传递系数，也称为增益。1/11/202427《自动控制原理》第二章(3)的时间常数表示（典型环节表示形式）其中为时间常数，为系统的放大系数(传递系数)。1/11/202428《自动控制原理》第二章如果传递函数含有个等于0的极点，并考虑到系统既其中，有实数零、极点，又有共轭复数零、极点，则传递函数的零、极点表达形式和时间常数的形式分别为1/11/202429《自动控制原理》第二章五、典型环节

典型环节：传递函数的最简单、最基本构成体。基本因子。2.积分环节t>0特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

1.比例环节

t>01/11/202430《自动控制原理》第二章3.惯性环节t>0

T:时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。1/11/202431《自动控制原理》第二章举例：1/11/202432《自动控制原理》第二章4.振荡环节1/11/202433《自动控制原理》第二章y(t)y(t)1txxS平面特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现衰减振荡。1/11/202434《自动控制原理》第二章5.微分环节纯微分环节一阶微分环节二阶微分环节特点：微分环节是输出量和输入量的导数成比例关系，预示输入信号的变化趋势。1/11/202435《自动控制原理》第二章6.延迟环节时滞环节，滞后环节，时延环节x(t)tty(t)特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔。1/11/202436《自动控制原理》第二章第三节控制系统的结构图及其等效变换一.结构图的基本概念二.结构图的组成和建立1.结构图的组成函数方块G(s)C(s)R(s)信号线分支点综合点(比较点,相加点)R(s)R(s)-B(s)B(s)+--描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形1/11/202437《自动控制原理》第二章

步骤:

用典型环节取代系统中的具体元件，并将各环节的传递函数填入方块图内，将信号的拉式变换标在信号线附近；按系统中信号传递的顺序，依次将各环节的动态结构图连接起来,从而构成整个系统结构图。2.系统结构图的建立1/11/202438《自动控制原理》第二章例:画出下列RC电路的结构图利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：

在初始条件为零的情况下，对其进行拉氏变换得：1/11/202439《自动控制原理》第二章

由上式分别得到：将上述两图组合起来，得到该RC网络的结构图。1/11/202440《自动控制原理》第二章

例:画出下列电路的结构图（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换

1/11/202441《自动控制原理》第二章

（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；

1/11/202442《自动控制原理》第二章

（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。1/11/202443《自动控制原理》第二章例:例2-6所示转速控制系统的结构图K1K2(τs+1)K3-Km/（TmS+1）Ku/（TmS+1）运算放大器Ⅰ运算放大器Ⅱ功率放大器电动机测速电动机Ur+-UfUeU1U1U2U2UaMcUaUf+Ω+Ω1/11/202444《自动控制原理》第二章K1K2(τs+1)K3Ku/（Tms+1）Ur(s)Ue(s)U1(s)U2(s)Ua(s)-Mc(s)Uf(s)Ω(s)+-+++Kf-Km/（Tms+1）1/11/202445《自动控制原理》第二章三.结构图的等效变换1.环节的合并串联1/11/202446《自动控制原理》第二章++

并联1/11/202447《自动控制原理》第二章B(s)+E(s)

反馈1/11/202448《自动控制原理》第二章2.信号综合点和分支点的移动和互换+-YY

比较点右移+-“右乘”1/11/202449《自动控制原理》第二章Y+-Y

比较点左移+-“左除”1/11/202450《自动控制原理》第二章G(s)YG(s)YX1

分支点右移“右除”1/11/202451《自动控制原理》第二章G(s)YYG(s)YG(s)Y

分支点左移“左乘”分支点“左乘右除”比较点“左除右乘”1/11/202452《自动控制原理》第二章

结构图上相邻的分支点和比较点可以彼此交换，但分支点和比较点相邻时，不能交换；关键是解除环路与环路的交叉，形成大环套小环的形式；原则是从内到外。注意：1/11/202453《自动控制原理》第二章3.结构图等效变换举例[例]++-++-+1/11/202454《自动控制原理》第二章++-+1/11/202455《自动控制原理》第二章[例]+++---+++---1/11/202456《自动控制原理》第二章+++---1/11/202457《自动控制原理》第二章考研挑战题浙江大学2001年：系统结构如图所示。试用结构图变换求取传递函数C(S)/R(S)+++---R11R12)s(C1C2s1C1s1/11/202458《自动控制原理》第二章第四节自动控制系统的传递函数R(s)G2(S)++H(S)N(S)+B(S)E(S)C(S)1/11/202459《自动控制原理》第二章一开环传递函数若N(s)=0，则系统反馈信号的拉式变换B(s)与系统输入信号的拉式变换R(s)之比，称为开环传递函数。结论：开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的乘积。

1/11/202460《自动控制原理》第二章二闭环传递函数1、给定输入作用下的闭环传递函数若N(s)=0，则系统的被控制信号的拉氏变换C(s)与控制信号的拉氏变换R(s)之比，称之为被控制信号c(t)对于控制信号r(t)的闭环传递函数，记作Ф(s)，系统的结构图为1/11/202461《自动控制原理》第二章2、扰动输入作用下的闭环传递函数若R(s)=0，则系统的被控制信号的拉氏变换C(s)与干扰信号的拉氏变换N(s)之比，称为被控信号c(t)对于干扰信号n(t)的传递函数，记为1/11/202462《自动控制原理》第二章3、给定输入和给定扰动输入同时作用下系统的总输出

时，即控制信号和干扰信号同时作用于系统时，由叠加原理得到控制信号r(t)和干扰信号n(t)，同时作用下的总输出，即1/11/202463《自动控制原理》第二章三闭环系统的偏差传递函数若N(s)=0，偏差信号的拉氏变换E(s)与输入信号的拉氏变换R(s)之比称为偏差信号对给定作用的闭环传递函数，记为1、给定输入作用下的偏差传递函数

1/11/202464《自动控制原理》第二章若R(s)=0，偏差信号的拉氏变换E(s)与干扰信号的拉氏变换N(s)之比称为偏差信号对给定作用的闭环传递函数，记为2、扰动输入作用下的偏差传递函数1/11/202465《自动控制原理》第二章时，总偏差为3、给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差

1/11/202466《自动控制原理》第二章第五节信号流图一、信号流图的三要素及建立支路：连接两个节点的定向线段，箭头表示信号方向XY传输：G支路传输，亦称支路增益GXYG。。结构图信号流图节点：o代表系统中的一个变量（信号）1、信号流图的三要素：1/11/202467《自动控制原理》第二章2、信号流图的建立：(1)根据原理图建立信号流图A．先建立各元件的拉氏变换代数方程组；B．把变量用节点符号表示，从输入端到输出端连接起来；C．按照方程组画出信号流图(2)根据结构图画相应的信号流图A．明确节点：输入端，输出端，相加点，比较点，应用节点表示；B．相邻的相加点或比较点可以合并为一个节点；分支点在比较点右边可合并为一个节点；C．连接各支路。1/11/202468《自动控制原理》第二章[例]：对反馈控制系统的结构图2-32画出信号流图

1/11/202469《自动控制原理》第二章二、信号流图采用的一些术语源节点:（输入节点）只有输出支路而无输入支路。R，N阱节点:（输出节点）只有输入支路而无输出支路。C混合节点：既有输入支路又有输出支路。E，P，Q通路：沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的途径。REPQC，NPQC，PQE从源节点到阱节点，与其他节点相交不多于一次的通路。REPQC，NPQC前向通路：1/11/202470《自动控制原理》第二章回路：起点和终点是同一点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合回路。EPQE回路传输（增益）：回路中各支路的增益的乘积。前向通路传输（增益）：前向通路各支路的增益的乘积。不接触回路：没有任何共