第8章 二元一次方程组压轴题考点训练（教师版）-2023年初中数学7年级下册同步压轴题

第八章二元一次方程组压轴题考点训练1．若方程组的解是，则方程组的解是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．【详解】解：将变形为,设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，因为方程组的解是，所以，解得：，所以方程组的解是，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．2．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩(两种型号都买)，A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案(

)A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩(两种型号都买)列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可．【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得：，解得，，A，B两种型号的医用外科口罩都买，，所有购买方案为，，，有3种购买方案，故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．3．方程组中，若未知数x、y满足x-y>0，则m的取值范围是(

)A．m＞1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m＜-1【答案】B【详解】解方程组得，∵x、y满足x-y>0，∴，∴3－3m>0,∴m<1.故选B.4．设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是(

)A．173 B．888 C．957 D．69【答案】A【详解】解：(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2018+1)2=a12+a22+…+a20182+2(a1+a2+…+a2018)+2018=a12+a22+…+a20142+2×69+2018=a12+a22+…+a20142+2156，设有x个1，y个-1，z个0∴化简得x-y=69，x+y=1845，解得x=888，y=957，z=173，∴有888个1，957个-1，173个0，故答案为173．5．“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？(改编自《缉古算经》)”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有___________种．【答案】3【分析】根据题意，得，整理得，根据x，y都是整数，讨论求解即可．【详解】设所需大圈舍x间，小圈舍y间，根据题意，得，整理得，所以，因为x，y都是整数，所以，解得，所以x的值可能是1，2，3，4，5，6，因为是整数，所以一定也是偶数，故x的值为2，4，6，y对应的值为7，4，1，故的值有3种可能，故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的解题方法是解题的关键．6．已知方程组的解是，则方程组的解是_______．【答案】【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．【详解】解：∵方程组的解是，∴将第二个方程组的两个方程的两边都除以9，得：∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了方程组的解，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．7．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁．【答案】29【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，由题意得：，解得：，故数学老师今年的年龄是29岁，故答案为：29．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．8．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为则的值为________.【答案】0【分析】根据方程组的解的定义，解应满足方程，解应满足方程，将它们分别代入方程，，就可得到关于，的二元一次方程组，解得，的值，代入代数式即可．【详解】甲看错了①式中的系数，解得，但满足式的解，所以，解得；同理乙看错了式中的系数，解满足式的解，所以，解得．把，代入，∴.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义、解二元一次方程组的基本方法以及乘方的运算．9．年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品种类分为A、、三类，三个品类成本价分别是元，元，元．且A类和类火锅的标价一样，该店对这三个品类全部打折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得的利润，此时A品类利润率为．若A、、三类销量之比是，则火锅店销售A、、类便利火锅包的总利润率为_______．(利润率)【答案】【分析】可设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，根据所给的条件可列出三元一次方程组，解方程组得出相应的x，y的值，从而可求解．【详解】解：设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，依题意得：，解得：，故B类的利润率为：，C类的利润率为：，当A、B、C三类销量之比是，则火锅店销售A、B、C类便利火锅包的总利润率为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系列出方程组．10．已知，，则______．【答案】【分析】用将表示出来，代入式子，求解即可．【详解】解：联立，可得，即，解得将代入可得，故答案为：【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解．11．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)、两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；(2)方案一：购买2辆型汽车，购买13辆型汽车；方案二：购买4辆型汽车，购买8辆型汽车；方案三：购买6辆型汽车，购买3辆型汽车；(3)购买2辆型汽车，购买13辆型汽车获利最大，最大值为94000元．【分析】(1)根据2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；(2)根据(1)中的结果和该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；(3)根据(2)中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润．【详解】(1)解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，由题意可得，解得，答：、两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；(2)解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且，，解得或或，该公司共有三种购买方案，方案一：购买2辆型汽车，购买13辆型汽车；方案二：购买4辆型汽车，购买8辆型汽车；方案三：购买6辆型汽车，购买3辆型汽车；(3)解：当，时，获得的利润为：(元)，当，时，获得的利润为：(元)，当，时，获得的利润为：(元)，由上可得，最大利润为94000元，购买2辆型汽车，购买13辆型汽车获利最大，最大值为94000元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．12．我们知道，数轴上表示数a的点A和表示数b的点B之间的距离AB可以用来表示．例如：表示5和1在数轴上对应的两点之间的距离．(1)在数轴上，A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，则________，________，A、B两点之间的距离为________．(2)点M在数轴上，且表示的数为m，且，求m的值．(3)若点M、N在数轴上，且分别表示数m和n，且满足，，求M、N两点的距离．【答案】(1)-1，4，5(2)或(3)4045【分析】(1)根据绝对值以及偶次方的非负性得出值，运用数轴上两点之间的距离公式进行计算即可；(2)根据题意可知在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到的距离之和为；然后分时、时、时分别化简绝对值，解方程即可；(3)根据题意可得，，然后分情况讨论即可得出答案．【详解】(1)解：，，解得：，A、B两点之间的距离为，故答案为：-1，4，5；(2)在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到的距离之和为，当时，，解得：；当时，，无解，故此种情况不存在；当时，，解得：；综上所述：或；(3)，，，，，，若，解得，此时M、N两点的距离为；若，此方程无解；若，此方程无解；若，解得，此时，不符合题意；综上所述：M、N两点的距离为．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及数轴上两点之间的距离，根据绝对值的性质得出相应的方程是解本题的关键．13．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？【答案】(1)－1；3(2)见解析(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元【分析】(1)①－②可求出，可求出；(2)证明为定值即可；(3)设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可．【详解】(1)解：①－②得：，得：，等式两边同时除以3得：，故答案为：－1；3．(2)证明：得：，等式两边同时除以2得：，得：，等式两边同时除以2得：，因此不论a取什么实数，的值始终不变．(3)解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，由题意得，得：，等式两边同时乘以2得：，得：，故，即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键．14．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s，t都是“阶梯数”，将组成s的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m叫做s，t的“萌数”，将组成s的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n叫做s，t的“曲数”，记F(s，t)＝2m＋n．例如：因为2﹣1＝1，6﹣1＝5，所以211和654都是“阶梯数”，211和654的“萌数”m＝24，“曲数”n＝16，F(211，654)＝2×24＋16＝64.(1)判断435(填“是”或“否”)为“阶梯数”；(2)若s＝，t＝(其中2≤a＜5，6≤b＜9，且a，b都是整数)，且F(s，t)=167，求满足条件的s、t的值；(3)若p、q都是“阶梯数”，其中p＝100x＋10y＋3，q＝200＋10a＋b(其中2≤x≤3，1≤y≤8，2≤b≤8且a，b，x，y都是整数)，当F(p，132)＋F(q，824)＝157时，求F(p，q)的值．【答案】(1)是(2)436，765(3)75【分析】(1)按照阶梯数的定义求解，即4−3=1，可知435是“阶梯数”；(2)由题意知组成s的三个数中最大的为6，最小的为(a−1)，组成t的三个数中最大的为(b+1)，最小的为5，故有F(s，t)中m=65，n=10(a−1)+(b+1)，F(s，t)=2×65+10(a−1)+(b+1)=167，解得10a+b=46，由a，b的取值范围可得满足条件的a，b的值，进而表示出s、t即可；(3)根据定义、p，q的形式、x，y，a，b的取值范围，表示组成p的三个数中最大与最小的的数，组成q的三个数中最大与最小的数，根据定义求解F(p，132)，F(q，824)，求解得到x+2b=8，根据取值范围，最终确定x，b的值，进而得到p，q，然后计算F(p，q)的值即可．【解析】(1)解：∵4−3=1，∴435是“阶梯数”．故答案为：是；(2)解：∵，∴组成s的三个数中最大的为6，最小的为．∵，∴组成t的三个数中最大的为，最小的为5．∴中，，，∴，整理得：．∵，，且都为整数，∴由a，b的取值范围可得，∴满足条件的s、t的值分别为：436，765；(3)解：由题意知，，∴．∵，∴组成p的三个数中最大的为3，最小的为．∵，∴组成q的三个数中最大的为b，最小的为1，∵132中最大的为3，最小的为1，824中最大的为8，最小的为2，∴F(p，132)中，；F(q，824)中，，∴F(p，132)；F(q，824)∴F(p，132)+F(q，824)，解得：，∵，，且都为整数，故可分类讨论：①当x=2时，代入中，得：，解得：b=3；②将x=3时，代入中，得，解得：(舍)∴，∴p为213，组成p的三个数中最大的为3，最小的为1，q为213，组成q的三个数中最大的为3，最小的为1，∴F(213，213)中m=31，n=13，∴F(213，213)，即F(p，q)的值为75．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算．解题的关键在于理解题意．15．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．(1)若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？(2)该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．①用含有a的代数式填表(不需化简)：9月份的售价(元)9月份销量“天问一号”模型90

“嫦娥五号”模型

②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．【答案】(1)销售天问一号模型和嫦娥五号模型的数量各是400个与200个(2)①100(1-a%)；400(1+a%)；200(1+a%)；②10【分析】(1)首先设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量