2024届湖南省湖湘名校高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届湖南省湖湘名校高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．3．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．64．已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．105．“是第二象限角”是“是钝角”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要6．已知为锐角，角的终边过点，则（）A． B． C． D．7．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线8．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为()A．∥ B． C．∥或 D．9．已知数列，其前n项和为，且，则的值是（）A．4 B．8 C．2 D．910．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角所对的边分别为，若，则=______．12．已知函数，它的值域是__________.13．已知，，，的等比中项是1，且，，则的最小值是______.14．下列命题中：①若，则的最大值为；②当时，；③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)15．函数的反函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.16．已知函数，下列结论中：函数关于对称；函数关于对称；函数在是增函数，将的图象向右平移可得到的图象．其中正确的结论序号为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是.(1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程;(2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程.18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：万元）2337由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：）19．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.20．已知三角形的三个顶点.（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线方程.21．已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求；（2）若与共线，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由，即可判断.【题目详解】，则与的终边相同，则角的终边落在第三象限故选：C【题目点拨】本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题.2、C【解题分析】

连接、，可证四边形为平行四边形，得，得（或补角）就是异面直线与所成角，由正方体的性质即可得到答案．【题目详解】连接、，如下图：在正方体中，且；四边形为平行四边形，则；（或补角）就是异面直线与所成角；又在正方体中，，为等边三角形，，即异面直线与所成角的大小为；故答案选C【题目点拨】本题考查正方体中异面直线所成角的大小，属于基础题．3、D【解题分析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【题目详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【题目点拨】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.4、B【解题分析】

点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．【题目详解】由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为1．故选B．【题目点拨】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．5、B【解题分析】

由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．【题目详解】若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．故选B．【题目点拨】本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．6、B【解题分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得和，再利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．【题目详解】角的终边过点，，又为锐角，由，可得故选B．【题目点拨】本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题．7、B【解题分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【题目详解】如图所示，作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．【题目点拨】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性．8、C【解题分析】

利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.【题目详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.【题目点拨】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.9、A【解题分析】

根据求解.【题目详解】由题得.故选：A【题目点拨】本题主要考查数列和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、A【解题分析】

先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围．【题目详解】因为正实数x，y满足，，当且仅当，即时取等号，恒成立，所以只需，，，的取值范围为，故选：A.【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据正弦定理得12、【解题分析】

由反余弦函数的值域可求出函数的值域.【题目详解】，，因此，函数的值域为.故答案为：.【题目点拨】本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题.13、4【解题分析】

，的等比中项是1，再用均值不等式得到答案.【题目详解】，的等比中项是1当时等号成立.故答案为4【题目点拨】本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.14、①②【解题分析】

根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③的最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【题目点拨】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.15、【解题分析】

根据原函数与其反函数的图象关于直线对称，可得函数的图象经过点，由此列等式可得结果.【题目详解】因为函数的反函数的图象经过点，所以函数的图象经过点，所以，即，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题.16、【解题分析】

把化成的型式即可。【题目详解】由题意得所以对称轴为，对，当时，对称中心为，对。的增区间为，对向右平移得。错【题目点拨】本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或.【解题分析】

（1）由直线平行则斜率相等，设出所求直线方程，利用M点到两直线距离相等求解；（2）由直线垂直则斜率乘积为-1，设出所求直线，利用M点到两直线距离相等求解.【题目详解】（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为，则，解得，或(舍).所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为.（2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为，则，解得，或.所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或.【题目点拨】本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题.18、（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5，【解题分析】

（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.【题目详解】（1）设各小长方形的宽度为.由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，解得.故图中各小长方形的宽度为2.（2）由（1）知各小组依次是，其中点分别为对应的频率分别为故可估计平均值为.（3）由（2）可知空白栏中填5.由题意可知，，，根据公式，可求得，.所以所求的回归直线方程为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为；（2）求解回归直线方程时，先求解出，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出.19、（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解题分析】

（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．【题目详解】（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，单果直径落在的苹果抽取个数为个（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，则该合作农场收益为：元，即为31.36万元因为，所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.【题目点拨】本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20、（1）（2）【解题分析】

（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然