2024届江苏省海安市南莫中学数学高一第二学期期末监测试题含解析

2024届江苏省海安市南莫中学数学高一第二学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．方程表示的曲线是（）A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆2．已知函数，则函数的最小正周期为（）A． B． C． D．3．下列函数中，在上存在最小值的是()A． B． C． D．4．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是A．B．C．三棱锥的体积为定值D．5．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形6．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（）A．600 B．800 C．1000 D．12007．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．或8．已知，则等于（）A． B． C． D．39．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（）A． B． C．3 D．10．已知数列的通项公式是，则该数列的第五项是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，则使得成立的的取值范围是_______________．12．函数的图象过定点______.13．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为______.14．若数列满足，且，则___________.15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其中是的内角的对边为.若，且，则面积的最大值为________.16．如图，在三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，是棱上的动点，设，分别记与，所成角为，，则的取值范围为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.18．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；（2）求面积的最大值.19．在中，角所对的边分别为，且.（1）求边长；（2）若的面积为，求边长.20．已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围21．在平面直角坐标系中，已知点,,坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点．（1）当点坐标为时，求直线的方程；（2）求与面积之和的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】原方程即即或故原方程表示两个半圆．2、D【解题分析】

根据二倍角公式先化简，再根据即可。【题目详解】由题意得，所以周期为.所以选择D【题目点拨】本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。3、A【解题分析】

结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数，当时，取得最小值，满足题意；函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，所以B不正确；函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，所以C不正确；函数在为单调递增函数，所以函数在区间无最小值，所以D不正确.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中熟记基本初等函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、D【解题分析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。5、A【解题分析】

将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【题目详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得：所以所以三角形为钝角三角形故选A【题目点拨】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.6、B【解题分析】

根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数．【题目详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，即，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，则该校高二年级学生人数为人．故选：．【题目点拨】本题考查分层抽样的方法，属于容易题．7、D【解题分析】

作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.【题目详解】，，又直线过点且与线段相交，作图如下：则由图可知，直线的斜率的取值范围是：或．故选：D【题目点拨】本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.8、C【解题分析】

等式分子分母同时除以即可得解.【题目详解】由可得.故选：C.【题目点拨】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.9、D【解题分析】

设的中点分别为，判断出中点的轨迹是等边三角形的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.【题目详解】设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.故选：D【题目点拨】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.10、A【解题分析】

代入即可得结果.【题目详解】解：由已知，故选：A.【题目点拨】本题考查数列的项和项数之间的关系，是基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据函数的表达式判断出函数为偶函数，判断函数在的单调性为递增，根据偶函数的对称性可得，解绝对值不等式即可.【题目详解】解：，定义域为,因为，所以函数为偶函数.当时，易知函数在为增函数，根据偶函数的性质可知：由可知，所以，解得：或.故答案为：.【题目点拨】本题考查偶函数的性质和利用偶函数对称性的特点解决问题，属于基础题.12、【解题分析】

令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.【题目详解】令，得，当时，.因此，函数的图象过定点.故答案为：.【题目点拨】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.13、2【解题分析】

利用点到直线的距离公式即可得到答案。【题目详解】由点到直线的距离公式可知点到直线的距离故答案为2【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。14、【解题分析】

对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【题目详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【题目点拨】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.15、【解题分析】

根据正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函数求最值的知识，即可求解.【题目详解】，又，，时，面积的最大值为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.16、【解题分析】

作交于，连接，可得是与所成的角根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，根据，的关系即可得解.【题目详解】解：作交于，连接，因为三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，为正三角形，，，是与所成的角，根据等腰三角形的性质．作交于，同理可得，则，∵，∴，得．故答案为：【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段为直径的圆与轴相切．（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因为，所以的取值范围是．解法二：设，，将代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，将代入（*）式，得，所以，．代入，得．因为，所以的取值范围是．考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,设,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根据三角形面积公式表示出,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.【题目详解】（1）由题意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,设,由余弦定理得：,∵为正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴为锐角,,,,∵∴当时,.【题目点拨】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，又，所以，．因为，所以．…6分（Ⅱ）因为，，所以．据余弦定理可得，所以．…12分考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.20、（1）；（2）[0，].【解题分析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本试题组要是考查了三角函数的运用.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出的直线方程后可得的坐标，再求出的直线方程和的直线方程后可得的坐标，从而得到直线的直线方程.（2）直线的方程为，设，求出的直线方程后可得的坐标，从而可用表示，换元后利用基本不等式可求的最小值.【题目详解】（1）当时，直线的方程为，所以，直线的方程为①，