山西省太原市山西大学附中2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

山西省太原市山西大学附中2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）2．在数列{an}中，an＝31﹣3n，设bn＝anan+1an+2（n∈N*）．Tn是数列{bn}的前n项和，当Tn取得最大值时n的值为（）A．11 B．10 C．9 D．83．下列函数中，在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A． B． C．1 D．25．已知直线是平面的斜线，则内不存在与（

）A．相交的直线 B．平行的直线C．异面的直线 D．垂直的直线6．如图，在中，，，若，则()A． B． C． D．7．已知数列满足递推关系，则（）A． B． C． D．8．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）A． B．C． D．9．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．10．设为等差数列的前项和，.若，则（）A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.12．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．13．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.14．在等比数列中，，的值为______.15．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________．16．已知，，那么的值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设动直线与圆交于两点，则在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知的三个内角、、的对边分别是、、，的面积，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，边上的高，求的值.19．记Sn为等差数列an的前n项和，已知（1）求an（2）求Sn，并求S20．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.（1）试问：①，0是否具有“性质2”；②（），0是否具有“性质4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性质2”，求实数的取值范围；（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、具有“性质2018”，请说明理由.21．设，已知函数，．（1）若是的零点，求不等式的解集：（2）当时，，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【题目详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【题目点拨】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。2、B【解题分析】

由已知得到等差数列的公差，且数列的前11项大于1，自第11项起小于1，由，得出从到的值都大于零，时，时，，且，而当时，，由此可得答案．【题目详解】由，得，等差数列的公差，由，得，则数列的前11项大于1，自第11项起小于1．由，可得从到的值都大于零，当时，时，，且，当时，，所以取得最大值时的值为11.故选：B．【题目点拨】本题主要考查了数列递推式，以及数列的和的最值的判定，其中解答的关键是明确数列的项的特点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．3、A【解题分析】

判断每个函数在上的单调性即可.【题目详解】解：在上单调递增，，和在上都是单调递减.故选：A.【题目点拨】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.4、C【解题分析】

利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项．【题目详解】等比数列的前项和为，，，，解得，．故选：．【题目点拨】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、B【解题分析】

根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案．【题目详解】由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线平行的直线．故答案为：B【题目点拨】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6、B【解题分析】∵∴又，∴故选B.7、B【解题分析】

两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【题目详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【题目点拨】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.8、C【解题分析】

分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【题目详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左边需增乘的代数式是故选：C．【题目点拨】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键．9、A【解题分析】

先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【题目详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解题分析】

由已知条件推导出（n2﹣n）d＜2n2d，从而得到d＞0，所以a1＜0，a8＞0，由此求出数列{Sn}中最小值是S1．【题目详解】∵（n+1）Sn＜nSn+1，∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1即na1na1+n2d，整理得（n2﹣n）d＜2n2d∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0∴d＞0∵1＜0∴a1＜0，a8＞0数列的前1项为负，故数列{Sn}中最小值是S1故选C．【题目点拨】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0.9【解题分析】

先计算，再计算【题目详解】故答案为0.9【题目点拨】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.12、2【解题分析】

建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以,因为，，所以,因为，所以当时，取得最大值，最大值为．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13、【解题分析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.【题目详解】解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，则从盒内随机抽取2张卡片有共15个基本事件，其中有相同字的有共6个基本事件，该游戏的中奖率为，故答案为：.【题目点拨】本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.14、【解题分析】

由等比中项，结合得，化简即可.【题目详解】由等比中项得，得，设等比数列的公比为，化简.故答案为：4【题目点拨】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.15、12【解题分析】

直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解.【题目详解】因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等，所以此圆柱的侧面积为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【题目详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当点为时，直线与直线关于轴对称，详见解析【解题分析】

（1）设圆的方程为，由垂径定理求得弦长，再由弦长为可求得，从而得圆的方程；（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，则，同时设，直线方程代入圆方程后用韦达定理得，即为，代入可求得，说明存在．【题目详解】（1）设圆的方程为：圆心到直线的距离根据垂径定理得，，解得，，故圆的方程为（2）假设存在定点，使得直线与直线关于轴对称，那么，设联立得：由.故存在，当点为时，直线与直线关于轴对称.【题目点拨】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．在解决存在性命题时，一般都是假设存在，然后根据已知去推理求解．象本题定点问题，就是假设存在定点，用设而不求法推理求解，解出值，如不能解出值，说明不存在．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）由面积公式推出，代入所给等式可得，求出角C的余弦值从而求得角C；（Ⅱ）首先由求出边c，再由面积公式代入相应值求出边b，利用余弦定理即可求出边a.【题目详解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，将代入中得，解得.【题目点拨】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题.19、(1)an=2n-12；(2)Sn【解题分析】

（1）设等差数列an的公差为d，根据题意求出d（2）根据等差数列的前n项和公式先求出Sn，再由an=2n-12≥0【题目详解】（1）因为数列an为等差数列，设公差为d由a3=-6,a6=0所以an（2）因为Sn为等差数列an的前所以Sn由an=2n-12≥0得所以当n=5或n=6时，【题目点拨】本题主要考查等差数列，熟记通项公式以及前n项和公式即可，属于常考题型.20、（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.【解题分析】

（1）①根据题意需要判断的真假即可②根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为，根据函数的性质求最值即可求解.【题目详解】（1）①因为，成立,所以，故，0具有“性质2”②因为，设，则设，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，，所以当时，不恒成立，即不成立，故（），0不具有“性质4”.（2）因为，1具有“性质2”所以化简得解得或.因为存在及，使得成立，所以存在及使即可.令，则，当时，，所以在上是增函数，所以时，，当时，，故时，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，故只需满足即可，解得.（3）假设具有“性质2018”，则，即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：.证明：由，令，由万能公式知，将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，即一定存在两个实数，满足，从而得证.【题目点拨】本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.21、(1)；(2)【解题分析】

（1）利用可求得，将不等式化为；分别在和两种情况下解不等式可求得结果；（2）当时，，可将变为在上恒成立；分类讨论