四边形(一)-扬州市梅岭中学

熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征及识别方法，利用它们的特征及识别方法证明线段、角之间的数量或位置关系。

第一页第二页，共30页。一、知识回顾二、复习思路三、例题精析第二页第三页，共30页。一、知识回顾归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形关系图：第三页第四页，共30页。1、平行四边形的特征：(1)是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；(2)对边分别平行；(3)对边分别相等；(4)对角线互相平分．第四页第五页，共30页。2、平行四边形的识别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．第五页第六页，共30页。3、矩形的特征(具有平行四边形的一切特征)：(1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分．第六页第七页，共30页。4、识别一个四边形是矩形的方法：(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形；(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．第七页第八页，共30页。5、菱形特征(具有平行四边形的一切特征)：(1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴；(2)菱形的四条边相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．第八页第九页，共30页。6、菱形的识别方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．第九页第十页，共30页。7、正方形的特征：(1)正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；(2)正方形四条边都相等；(3)正方形四个角都是直角；(4)对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于45°．第十页第十一页，共30页。8、正方形的识别方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．第十一页第十二页，共30页。注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.第十二页第十三页，共30页。二、复习思路1、在解决特殊四边形的有关问题时，应首先熟悉这些四边形的特征、识别方法，如矩形的对角线相等、四个角都是直角，菱形的四条边相等、对角线互相垂直等等；其次是在解题时要认真体会运用了哪些特征、识别，还有什么方法。例如通常欲证四边形是矩形（菱形），可先证它是平行四边形，再根据矩形（菱形）的特有条件证明它是矩形（菱形）；再则，要充分利用正方形的特征应用旋转方法或全等方法得全等三角形。2、新课标比较重视通过平移、旋转变换掌握特殊四边形的概念特征和识别，会应用平移、旋转解决有关问题。第十三页第十四页，共30页。三、例题精析例1、填空:两条对角线

的四边形是平行四边形；两条对角线

的平行四边形是矩形；两条对角线

的平行四边形是菱形；两条对角线

的四边形是矩形；两条对角线

的四边形是菱形.互相平分相等

垂直

相等且互相平分

互相垂直平分

第十四页第十五页，共30页。例2、如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有

个.

3第十五页第十六页，共30页。例3、（2005福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）。按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是…………（）A、都是等腰梯形B、都是等边三角形C、两个直角三角形，一个等腰三角形D、两个直角三角形，一个等腰梯形c第十六页第十七页，共30页。例4、（05浙江舟山实验区）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=（）A、a1(b1－b2)+(a1+a2)b1

B、a2(b2－b1)+(a1+a2)b2C、a1(b1－b2)+(a1+a2)b2

D、a2(b1－b2)+(a1+a2)b1C第十七页第十八页，共30页。例5（2005四川泸州）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．第一种：可画为平行四边形EFGH；第二种：可画为平行四边形DEBG（或画为平行四边形AHCF）第十八页第十九页，共30页。例6、(2005湖北黄石)已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为

.

96cm2

第十九页第二十页，共30页。例7、（2005深圳）如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为

。7第二十页第二十一页，共30页。例8、（2005苏州）如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分口ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。（1）请你在原图中画出翻折后的图形

口A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）（2）已知∠A=630，求∠B′FC的大小。第二十一页第二十二页，共30页。（1）作图如图:（2）第二十二页第二十三页，共30页。例9、如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF的度数．

分析：连结AC，由菱形的特征与已知条件可得△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，由∠EAF=60°，可得∠BAE=∠CAF，进而可得△ACF是△ABE绕点A旋转60°得到，∴AE=AF，得△AEF为等边三角形，从而求出∠CEF．第二十三页第二十四页，共30页。解：连结AC，菱形ABCD中，AB=BC，∠ACB=∠ACD.∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.于是有∠BAC＝∠ACB＝∠ACD=60°,AB=AC.由已知∠EAF=60°,可得∠BAE=∠CAF.∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的.∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形,∠AEF=60°.∵∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF＝∠BAE＝20°.第二十四页第二十五页，共30页。说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有以下特性：(1)菱形的四条边相等；(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．第二十五页第二十六页，共30页。例10、已知，正方形ABCD，△ADE是等边三角形，求∠BEC的度数.分析：本题应分两种情况考虑：(1)点E在正方形ABCD的外部;(2)点E在正方形ABCD的内部.然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解.第二十六页第二十七页，共30页。解：(1)如图当点E在正方形ABCD的外部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得∠CDE＝90°＋60°＝150°，DE＝AD＝DC，因此∠DEC＝∠ECD＝(180°－150°)÷2＝15°.同理可推得∠ABE＝15°.则∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC＝60°－15°－15°＝30°.第二十七页第二十八页，共30页。(2)如图当点E在正方形ABCD的内部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得∠EA