北师大版九年级下第三章 圆3 垂径定理 名师获奖

第三章圆3.3垂径定理等腰三角形是轴对称图形吗？如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？类比引入③AM=BM,●OABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。猜想探索连接OA,OB,则OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL).∴AM=BM.∠AOC＝∠BOC∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。(包括优弧和劣弧）几何语言垂径定理条件结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧分析CD为直径，CD⊥AB｝｛点C平弧ACB点D平分弧ADB1.判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦××√想一想BOCDAOCDE2、请画图说明垂径定理的条件和结论.垂径定理的逆定理●OCD●AB如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.M③CD⊥AB,垂径定理的逆定理●OCD

由①CD是直径②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●AB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.垂径定理的推论的题设和结论可用符号语言表示为：为什么要强调这条弦不是直径？是因为若弦是直径，则直径之间即使互相平分，也不一定互相垂直。M平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？想一想OCDBAEODCF例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。⌒⌒⌒知识应用解这个方程，得R=545.EODCF解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD根据勾股定理，得OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以，这段弯路的半径为545m.1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。随堂练习2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？OCDBAOCDBAOCDBAFE有三种情况：1、圆心在平行弦外；2、圆心在其中一条弦上；3、圆心在平行弦内。随堂练习若⊙O中弦AB∥CD。那么AC＝BD吗？为什么？⌒⌒解：AC＝BD，理由是：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD∴AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）∵AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON⌒⌒1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2、解决有关弦的问题，经常是过