初中数学共圆问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)

./初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题<含解析>问题探究：一个班级的学生正在做投圈游戏,他们呈"一"字型排开,这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式：证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上；在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆；若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆；若点在线段的同侧,且,则四点共圆；若线段交于点,且,则四点共圆；若相交线段上各有一点,且,则四点共圆.四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介.1．如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是〔A．cm B．5cm C．6cm D．10cm2．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定个不同的圆．3．如图,若AD、BE为△ABC的两条角平分线,I为内心,若C,D,I,E四点共圆,且DE=1,则ID=．4．如图,在△ABC中,AD,BE分别是∠A,∠B的角平分线,O是AD与BE的交点,若C,D,O,E四点共圆,DE=3,则△ODE的内切圆半径为．5．如图,已知A,B,C,D四点共圆,且AC=BC．求证：DC平分∠BDE．6．如图,BD,AH分别是△ABC的高,求证：A、B、H、D四点共圆．7．等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证：A,B,C,D四个顶点共圆．8．如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E为AC的中点,则A,B,C,D四点共圆吗？9．如图所示,I为△ABC的内心,求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．10．如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．11．O和H分别是△ABC的外心和垂心,若∠BAC=60°,求证：B、0、H、C的共圆．12．如图,AB为⊙O直径,BF⊥AB,E为BF上一点,AE和AF交⊙O于C和D,求证：C、D、F、E四点共圆．13．如图,在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,延长AB到Q,使AP=BQ,求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆．14．如图,点F是△ABC外接圆的中点,点D、E在边AC上,使得AD=AB,BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．15．如图,点E,F分别在线段AC,BC上运动〔不与端点重合,而且CE=BF,O是△ABC的外心,证明C,E,O,F四点共圆．16．设△ADE内接于圆O,弦BC分别交AD、AE边于点F、G,且AB=AC,求证：F、D、E、G四点共圆．参考答案1．〔2016•XX如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是〔A．cm B．5cm C．6cm D．10cm[解答]解：如图,连接MN,∵∠O=90°,∴MN是直径,又OM=8cm,ON=6cm,∴MN===10〔cm．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选：B．2．〔2006•XX正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定5个不同的圆．[解答]解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等,中心与一边的两个端点可以确定一个圆,正方形有四条边,因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上,因而能确定5个不同的圆．3．如图,若AD、BE为△ABC的两条角平分线,I为内心,若C,D,I,E四点共圆,且DE=1,则ID=．[解答]解：连接CI,∵AD、BE为△ABC的两条角平分线,∴∠BAI=∠BAC,∠IBA=∠ABC,∵∠AIB=180°﹣∠BAI﹣∠IBA,∴∠AIB=180°﹣〔∠CAB+∠CBA,又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°,∴∠AIB=90°+∠C,∵C,D,I,E四点共圆,∴∠EID+∠ACB=180°,又∵∠AIB=∠EID,∴90°+∠C+∠C=180°,∴∠ACB=60°,∵I为内心,∴∠ICD=30°,∵DE=1,∴=2R,∴R=,∴,∴ID=,故答案为：．4．〔2005•XX校级自主招生如图,在△ABC中,AD,BE分别是∠A,∠B的角平分线,O是AD与BE的交点,若C,D,O,E四点共圆,DE=3,则△ODE的内切圆半径为3﹣．[解答]解：作OF⊥ED于点F,∵AD,BE分别是∠A,∠B的角平分线,∴∠AOB=90°+∠C,CO平分∠ACB,又∵∠DOE=∠AOB,∠DOE+∠C=180°,∴∠C=60°,∠DOE=∠AOB=120°,又∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE=30°,∴FD=,tan30°==,∴FO=,OD=OE=,∴△ODE的周长为：2+3,∴△ODE的面积为：×3×=,∴△ODE的内切圆半径为=3﹣．故答案为：3﹣．5．如图,已知A,B,C,D四点共圆,且AC=BC．求证：DC平分∠BDE．[解答]证明：∵A,B,C,D四点共圆,∴∠2=∠1,∠3=∠ABC,∵AC=BC,∴∠1=∠ABC,∴∠2=∠3,∴DC平分∠BDE．6．如图,BD,AH分别是△ABC的高,求证：A、B、H、D四点共圆．[解答]证明：取AB的中点O,连接DO、HO,∵BD,AH分别是△ABC的高,∴△DAB和△HAB都是直角三角形,且它们的斜边都是AB,∵点O为斜边中点,∴DO=HO=AB=AO=BO,也就是说,点D、H、B在以O为圆心、OA为半径的圆上,即点D、H、B、A都在以O为圆心、以OA为半径的圆上,故可得：A、B、H、D四点共圆．7．等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证：A,B,C,D四个顶点共圆．[解答]证明：如图：∵ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,∴∠A=∠D,∠B=∠C,∠A+∠B=180°．∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．根据对角互补的四边形是圆的内接四边形,所以A,B,C,D四点共圆．8．如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E为AC的中点,则A,B,C,D四点共圆吗？[解答]解：A,B,C,D四点共圆,理由如下：连结DE．∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点E为AC的中点,∴EB=EA=EC=AC,∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,点E为AC的中点,∴ED=EA=EC=AC,∴EA=EB=EC=ED,∴A、B、C、D四个点在以E为圆心,AC为直径的圆上,即A,B,C,D四点共圆．9．如图所示,I为△ABC的内心,求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．[解答]证明：连接OB、BI、OC,由O是外心知∠IOC=2∠IBC．由I是内心知∠ABC=2∠IBC．从而∠IOC=∠ABC．同理∠IOB=∠ACB．而∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,故∠BOC+∠BAC=180°,于是O、B、A、C四点共圆．10．如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．[解答]解：∵AD⊥BC,DE⊥AB,∴∠AED=∠ADB=90°．又∵∠DAE=∠BAD,∴△AED∽△ADB,∴=,即AD2=AE•AB．同理可得AD2=AF•AC,∴AE•AB=AF•AC,即=．又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB,∴B、E、F、C四点共圆．11．O和H分别是△ABC的外心和垂心,若∠BAC=60°,求证：B、0、H、C的共圆．[解答]证明：连接BH并延长交AC于E,连接CH并延长交AB于F,连接OB、OC,如图所示：∵O是三角形的外心,∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°〔同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍又∵垂心为点H,∴BE⊥AC,∴∠ABE=90°,∴∠ABE=90°﹣∠BAC=90°﹣60°=30°,同理：∠ACF=30°,∴∠HBC+∠HCB=180°﹣〔∠BAC+∠ABE+∠ACF=60°,∴∠BHC=180°﹣〔∠HBC+∠HCB=180°﹣60°=120°,∴∠BOC=∠BHC,又∵O,H在BC边同侧,∴B,C,O,HI四点共圆．12．如图,AB为⊙O直径,BF⊥AB,E为BF上一点,AE和AF交⊙O于C和D,求证：C、D、F、E四点共圆．[解答]证明：连接BC、CD,如图所示：∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCE=90°,∴∠BEC+∠EBC=90°,∵BF⊥AB,∴∠ABF=90°,即∠ABC+∠EBC=90°,∴∠ABC=∠BEC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BEC+∠ADC=180°,∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠BEC=∠CDF,∴C、D、F、E四点共圆．13．如图,在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,延长AB到Q,使AP=BQ,求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆．[解答]证明：如图,作△ABC的外接圆⊙O,作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,∵O是△ABC的外心,∴OE=OF,OB=OA,由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2,AF2=OA2﹣OF2,∴BE=AF,∵AP=BQ,∴PF=QE,∵OE⊥AB,OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°,在Rt△OPF和Rt△OQE中,,∴Rt△OPF≌Rt△OQE,∴∠P=∠Q,∴O、A、P、Q四点共圆,即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．14．〔2009•黄冈校级自主招生如图,点F是△ABC外接圆的中点,点D、E在边AC上,使得AD=AB,BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．[解答]证明：连接FC,FB,则FC=FB．…〔2分连接EF,则△CEF≌△BEF,∴∠BFE=∠CFE．…〔5分∵A,B,F,C共圆,∴∠CAB+∠CFB=180°…〔7分∴∠CAB+2∠BFE=180°．∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB…〔8分∴∠CAB+2∠ADB=180°．∴∠ADB=∠BFE．…〔10分∴B、E、D、F四点共圆．…〔12分15．如图,点E,F分别在线段AC,BC上运动〔不与端点重合,而且CE=BF,O是△ABC的外心,证明C,E,O,F四点共圆．[解答]证明：如图,连接OB、OC、OE、OF．∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,又∵AC=BC,∴∠OCB=∠OCA,∴∠OBC=∠OCA,在△ECO与△FBO中,,∴△ECO≌△FBO〔SAS,∴∠EOC=∠FOB,又∠AOC=∠BOC,∴∠EOF=∠COB,又∵EO=OF,∴∠OEF=∠OCF,∴C,E,O,F四点共圆．16．设△ADE内接于圆O,弦BC分别交AD、AE边于点F、G,且AB=AC,求证：F、D、E、G四点共圆．[