第一章 计算机控制概述

第九章数字控制器的设计

本章要点：

1数字控制器连续化设计方法、PID算法及改进

与参数整定

2数字控制器离散化设计方法、最少拍控制及

大林、施密斯预估算法

数字串级控制与数字前馈控制的设计

4O数字程序控制的设计

返回总目录

本章主要内容

11M

>9.1数字控制器的连续化设计

>9.2数字控制器离散化设计

>9.3数字串级控制器的设计

>9.4数字前馈控制器的设计

>9.5数字程序控制器的设计

>思考题

t引言

自动化控制系统的核心是控制器。控制器的任务是按

照一定的控制规律，产生满足工艺要求的控制信号，以输

出驱动执行器，达到自动控制的目的。在传统的模拟控制

系统中，控制器的控制规律或控制作用是由仪表或电子装

置的硬件电路完成的，而在计算机控制系统中，除了计算

机装置以外，更主要的体现在软件算法上，即数字控制器

的设计上。

数字控制器的设计主要有连续化设计和直接离散化设

计两种设计方法。

复杂的过程控制系统，如串级控制、前馈-反馈控制

和数字程序控制也可以通过计算机实现其控制算法。

9.1数字控制器的连续化设计

主要知识点：

>9.1.1数字控制器的连续化设计步骤

•9.1.2PID控制规律

•9.1.3基本数字PID控制算法

>9.1.4改进的数字PID控制算法

>9.1.5数字PID参数的整定

9.L1数字控制器的连续化设计步骤

设计思想：将整个系统看作模拟系统，设计模拟控

制器后再迸行控制器的离散化。

D(s)

图9-1计算机控制系统的结构图

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1设计步骤：

1.设计假象的连续控制器D(s)

2.将D(s)离散化为D(z)

3.设计由计算机实现的控制算法

4.校验

设计假想连续控制器D(s)

一种方法是事先确定控制器的结构，如后面

I寻要重点介绍的PID算法等，然后通过其控制参

数的整定完成设计。

另一种设计方法是应用连续控制系统的设

计方法如频率特性法、根轨迹法等，来设计出控

制器的结构和参数。

2.将D(S)离散化为D(Z)

离散化方法：

[,双线胜变换法：D(Z)^D(5)21I

/事

优点：D(s)稳定，D(z)也稳定。

'前向差分法D(z)=D(s)\s_z-i

2差分变化法：\,一〒

、后向差分法D(z)=D(s)i-z-1

S——

T

可由数值微分转化成差分方程求得O

3.设计由计算机实现的控制算法

裨数字控制器的一般形式为

U(z)b。+bz~x+…

xrn

丁…[I—1I

1+。仔+…

E(z)n

—2

U(z)=(-t/jZ-1一呼一…)U(z)

+(Z)+bz~x+…)E(z)

oxnt

上式用时域表示为

u(k)——axu(k——a2u(k—2)——n)

+4。(左)+4。(左一1)+…〃一~m)

上式为数字控制器D(z)的控制算法。

4.设计性能校验

需按闭环系统性能进行校验,可采用数字仿真方法验证。

09.L2PID控制规律

偏差信号按比例、积分、微分的

函数关系进行运算，其运算结果用以输出控制。

模拟PID控制器

c(t)

图9-2PID控制系统原理框图

e(t)

效果：立即减少偏差

优点：调节及时

缺点：系统存在余差

Kpe(t)

D

图9-3比例作用阶跃响应曲线

2.积分控制

1

u(t)=一[e(t)dt

Jo

效果：消除余差

图9-4积分作用阶跃响应曲线

3.微分控制

de(t)

a(t)=Td

dt

效果：具有超前控制作用

图9-5实际微分作用阶跃响应曲线

4.比例积分微分控制

1产de(t)

u(t)=Kp[e(t)+-fe(t)dt+T^-^]

7]Joddt

传递函数：约六舒=Kp(l」+TdS)

*

Kp——比例系数

积分时间

Td—微分时间

图9-6比例积分微分作用阶跃响应曲线

归纳起来，PID控制规律主要具有以下优点:

(1)蕴涵了动态控制过程中的过去、现在和将

来的主要信息。其中，比例P代表了当前的信

息，起纠正偏差的作用，使过程反应迅速；微

分D代表了将来的信息，在信号变化时有超前

控制作用，使系统的过渡过程加快，克服振荡

提高系统的稳定性；积分I代表了过去积累的

信息，它能消除静差，改善系统静态特性。此

三种作用配合得当，可使动态过程快速、平稳

、准确，收到良好的控制效果。

(2)控制适应性好，有较强的鲁棒性，适合于

各种工业应用场合。

(3)算法简单明了，形成了完整的设计和参数

整定方法，很容易为工程技术人员所掌握。

9.1.3基本数字PID控制算法

数字P1D控制器，即用计算机软件来实现

P1D控制规律，当采样周期足够短时，用求和代

替积分、后向差分代替微分，就可以使模拟PID

离散为数字PID控制算法。

k

£e(t)dtxT^e(i)

i=0

de(t)e(k)-e(k-l)

----------x------------------------------

dt

.L数字PID位置型控制算法

T々e(k)-e(k-l)

u(k)=Kp[e(k)+-Ye(i)+Td———勺

T七T

或

k

u(k)=Kpe(k)+K/e(i)+Kd[e(k)-e(k-l)]

i=0

式中7

Kp=——比例系数

o

降=降号——积分系数

A

2*—微分系数

2.数字PID增量型控制算法

引出：位置型算式使用很不方便，这是因为要

累加所有的偏差，不仅要占用较多的存储单

元，而且不便于编写程序。

U(z)T心（-Z-）

G(z)=—^^G(s)]-----------------i-■h

s=(l-z~')/T

研z)r.d-z-1)T

,Tr—

Kp(「/)+7+六1—Z」)2

TTTT

K(1+—+，)—(1+2，”一|十，z一2

PTTTT

-----------------;]

1(1-z-1)L/(z)=K(1+—+，)—(1+2」”一1+E(z)

p[_rTTT

写成差分形式：

△u(k)=u(k)—u(k—1)=%。(左)+q、e(k—1)+q?e(k—2)

TT,

其中%=3(1+亍+了)

2T

q「KpQ+才)〉

q?=K

T

3.数字PID控制算法实现方式比较

y(t)

(a)位置型

y(t)

(b)增量型

图9・7数字PID位置型与增量型控制算法示意图

增量型控制算法与位置型控制算法相比较,

具有以下优点：

(1)增量型控制算法不需要做累加，控制量的

确定仅与最近几次误差采样值有关，其计算误

差或计算精度对控制量的影响较小，而位置型

控制算法要求用到过去的误差累加值，容易产

生较大的累加误差。

(2)增量型控制算法得出的是控制量的增量，

误差影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止

本次输出，不会严重影响系统的工作，而位置

型控制算法的输出是控制量的全量输出，因而

误动作的影响大。

(3)采用增量型控制算法易于实现从手动到自

动的无扰动切换。一

]4.数字PID控制算法流程

u(k)=u(k-1)+(左)=u(k-1)+q0e(k)+q}e(k-1)+q2e(k—2)

9.1.4数字PID算法的改进

常用数字PID的几种改进算法:

积分分离算法

抗积分饱和算法

不完全微分PID控制算法

微分先行PID控制算法

带死区的算法

1.积分分南算法

h象：一般的PID,当有较大的扰动或大幅度改变设定值时，

由于短时间内大的偏差，加上系统本身具有的惯性和滞后，在

积分的作用下，圈引出现起系统过量的超调和长时间的波动。

积分的主要作用：在控制的后期消除稳态偏差。

积分分离措施:

当\e(k)\>j3时，采用PD控制

当卜(刈译时，采用PID控制

普通分离算法:大偏差时不积分—积分“开关”控制

积分分常值的确定原则

图9-9不同积分分离值下的系统响应曲线

/

/

/

♦

/♦

/

/

/

•♦

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

./•

/

/

/

/

/

./•

/

/

•♦

0J

/

，

/

，

，

s

中

gg0中

+<

①4

2.抗积分饱和措施

丁奖积分饱和算法：当控制输出达到系统的上下限限幅值

时，停止积分。

♦当\u{k}\<umm时，采用PD控制

♦当"minWu(k)<"max时，采用PD控制

♦当\u{k}\>u_时，正常的PID控制

串级控制系统抗积分饱和：主调节器抗积分饱和根据副调节

器

输出是否越限。

1・抗积分饱和与积分分离的对比

相同：某种状态下，切除积分作用。

不同（特点）:

※积分分离根据偏差是否超出预设的分离值

（大偏差时不积分）

※抗积分饱和根据最后的控制输出是否越限

（输出超限时不积分）

,3.不完全微分P1D控制算法

I诃题引出：

1）对有高频扰动的生产过程，微分作用响应过于

敏感，易引起振荡，降低调节品质；

2）执行需要时间，而微分输出短暂，结果是执行

器短时间内达不到应有开度，使输出失真。

解决：

在输出端串联一阶惯性环节，组成不完全微分PID控

制器。„

图9・10不完全微分数字PID控制器

111

G("而f1+—+^

1+T产、Tis)

其中，一阶惯性环节的传递函数:

1

Df(s)=--------

/T,s+1

1〃，de(f)

沈'⑴*e«)H|+T,--------

TJodt

du(t)、,、

Tf------------1-u(t)=u(t)

dt

所以

d〃«)1ide(t)

/f+〃«)=Kpe«)+—fe(t)dt+T.

TJo

dtT,dt

不完全微分数字PID位置型控制算式

u(k)=au(k—1)+(1—a)u，(k)

式中:

u,KTAe(k)-e(k-l)

(^)=Pe(左)+—Xe(z)+7；------------

刀i=oT

a----------

T.+T

不完全微分PID控制器的增量型控制算式:

¥(左)=a•A〃(左—1)+(1—«)•Au'(k)

式中:

△u'(k)=Kp[e(k)-e(k-1)]+K,e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]

已

额

分

t项

—kT

(a)基本PID算法(b)不完全微分FID算法

图9-11两种微分PI愧制作用的阶跃响应

*4.微分先行PID控制算法

问题引出：

给定值的升降会给控制系统带来冲击，如超调量过

大，调节阀动作剧烈。

解决：

采用微分先行的PID控制算法。

传递函数

U(s)

G(s)==K

E(s)

图9-12微分先行PID控制算法示意图

*微分先行PID控制算法和基本PID控制的不

甲同之处在于:

只对被控量（测量值）y。）微分，不对偏差

e（t）微分，也就是说对给定值无微分作用。

适用于：给定值频繁升降的控制系统。

4.带死区的算法

该算法是在原PID算法的前面增加一个不灵敏区的非线性环

节来实现的，即r,,

>B

<B

式中，s为死区增益，其数值可为0,0.25,0.5,1等,

-----------—I-----1y(’)

PID\—y〃o(s)|—G(s)r-i-

注意：死区是一个非线性环节，不能象线性环节一样随便移到

PID控制器的后面。

9.1.5数字PID参数的整定

理论整定方法：以被控对象的数学模型为基础,

通过理论计算如根轨迹、频率特性等方法直接

求得控制器参数。

・工程整定方法：近似的经验方法，不依赖模型。

扩充临界比例带法，扩充响应曲线法，试凑法

数字控制器与模拟控制器相比，除了需要

整定PID参数，即比例系数、积分时间和微分

时间外，还有一个重要参数——采样周期。

1.采样周期的确定

〒■从控制系统方面考虑，影响采样周期选择的因素主要有：

舁象的动态特性、扰动的特性、控制算法、执行机构的速度

跟踪性能的要求。

表9-1采样周期T的经验数据

J

翻修教采样雕(S)。备…在

潦量1Z4觥达期不

助3毅加觥也用卜8s

跛15-20.娜愉桐申级系给

粉15/%副环1=1/4^1/51王母

312.扩充临界比例带法

扩充临界比例带法--模拟调节器中使用的临界比例带法

(也称稳定边界法)的扩充，是一种闭环整定的实验经验方

法。按该方法整定PID参数的步骤如下：

(1)选择一个足够短的采样周期Tmin。

(2)找临界状态的参数。

(3)选定控制度。

(4)查表9-2,求得T、Kp、TI、Ta,的值。

(5)按参数投入运行，做调整。

3.扩充响应曲线法

利用扩充响应曲线法进行数字PID的整定。其步骤如下：

■(1)断开数字控制器，使系统在手动状态下工作。将被控量调节到给

定值附近，当达到平衡时，突然改变手操值，相当给对象施加一个阶跃

输入信号。

■(2)记录被控量在此阶跃作用下的变化过程曲线(即广义对象的飞升

特性曲线。

■)根据飞升特性曲线，求得被控对象纯滞后时间T和等效惯性时间常

数丁。.据此求得数字PID的整定参数的、、、值，按参数投入

TKpTI.Ta,

在投运观察控制效果。

4.试凑法

—通过模拟或实际的系统璧还运行情况，观察

系统的响应曲线，根据各参数对系统响应的大

致影响，反复试凑，直至达到满意的目标。

试凑步骤：

1）整定比例部分（纯P作用）。

2）加入积分环节（P工作用）。

3）加入微分环节（PID作用）。

P、I、D参数对系统性能的影响:

(1)增大比例系数KP,会加快系统的响应，有利

于减少静差，但KP过大会使系统产生较大的超调,

甚至振荡，使稳定性变坏。

(2)增大积分时间Ti,有利于减少超调，减少振

荡，使稳定性增加，但系统静差的消除将随之减

慢。

(3)增大微分时间Td,有利于加快系统的响应，

使超调量减少，稳定性增加，但系统对扰动的抑

制能力减弱，对扰动有敏感响应的系统不宜采用

微分环节。书区

4.仿真寻优法

运用仿真工具，或离散化后编程仿真

・寻优方法：如单纯形法、梯度法等

•常见积分型性能指标：

ISE=fe\t)dt

Jo

r00

IAE-[e(Z)dt

Jo

ITAE=\te«)dt

,2数字控制器的离散化设计

主要知识点

■9.2.1数字控制器的离散化设计步骤

>9.2.2最少拍控制系统的设计

>9.2.3纯滞后控制

9.2.1数字控制器的离散化设计步骤

系统的闭环脉冲传递函数为①(Z)==°仁)6(彳)

R(z)l+O(z)G(z)

误差脉冲传递函数为①(Z)=£⑶=--------!--------=i-①(Z)

eR(z)l+D(z)G(z)

数字控制器的Q(z)=①⑶=①⑶

脉冲传递函数为G(z)[l-①(z)]G(z)①e(z)

9.2.2最少拍控制系统设计

最少拍控制系统是指系统在典型输入信号作

用下，具有最快的响应速度。也就是说，系统经

过最少个采样周期(或节拍)，就能结束瞬态过

程，使稳态偏差为零。

1.最少拍控制系统D(Z)的设计

根据性能要求，要达到最少拍、无静差，E(z)

应该在最短的时间内趋于零。因为：

l2

E(z)—①工z)R(z)=e0erz~+e2z~+.......

在输入R(z)一定的情况下，必须对0/z)提出要.

辛典型的输入信号：

1)单位阶跃输入r(t)=1(t)R(z)=1二

1—Z

/\Tz-

2)单位速度输入丫(t)=tR⑺=

7(1r-Z,

3)单位加速度输入R(z)

22(1-z)

输入信号的一般表达式：R(z)=z)

/7—1\N

(1一Z)

误差:z)

E(z)=(Pe(z)R(z)=

(/17—Z一/)\N

表9-4各种典型输入下的最少拍系统.

典型输入，典型输入，误差脉冲传函'闭环脉冲传函.，最少拍调节器，

调节时间，

R(z>①e(Z)①(Z"D(z)，

z~l

K(z)—[-ip

1-Z-1Pz"cr

1-z(1-z”⑵

TU-12z-1-z-2

R(z)=।二.l2

to12(If2z~-z~~2?

(1-z)(l—yG(z)

e-3Z~1-3z~2+z~3

3Z-1-3Z-2+Z-3

一132(1-z-1)3(1-少3T

2。一z-1)3G(z)

采样周期T=ls

输入：单位速度

求：最少拍数字控制器

求解步骤：1.求广义对象等效脉冲传递函数G(Z)

2.设计误差脉冲传递函数①0⑶

3.计算求取最少拍控制器。⑶

4.输出Y(Z)和误差E(Z)的验证

*

例9.1解

解:被控对象“零阶保」i器的等效脉冲传递函数为

,（；“（£）［11（）

6（二）二（1三"）Z4—=（1-z-1«-------

S?（S+1）

Mka

3.6X二」（1+0.718二」）

（I二"）（1（）.363）

根据最少拍藕崎断的要求，对单/"工段瑜入应选叫⑶=(l-zT)

例9.1解（续）

〜、1-此时输出1（2）=①（2）尺（Z）二［1一①e（Z）］火（Z），

Mz)=------：-----

6(二)中,(二)

Z」

二(2z-1-z-2)—-T=2z~2+3z-3+4z~4+

1(1-z-1)2

0.36X7(1+0.718二“):

二」）2

(11-0.368

二")(二」)z~l

误差E⑶=①0(Z)K(Z)=(1-Z-1)2i~~7=Z

(I)?

0：43(l0.5二」)(1U.36X二

(1z-1MI+O.718Z-1)

5

4

3

2

1

0A

T3T5T7T

单位遂度输入下输出和误差变化/形

从图中可以看出，系统经过了两个采样周期以后，输出完全跟

入，稳态误差为零。

“9.1讨论

该系统是针对单位速度输入设计的最少拍系统，那么这个系统

对其它输入是否还能成为最少拍呢？

单位阶跃输入时

火-1_1-2-3

y(z)=①(z)(z)=(2z—z1)•—1—?=2z+z+z+

\—z~

单位加速度输入时

丫⑶二

g2

A

1

0

2.最少拍控制器D(Z)设计的限制条件

m

心-『口(1-z/T)

被控对象一般形式

G(z)=—--------------

则最少拍控制器Z，①(Z)立(1-P/T)

1=1

当对象存在单位圆上和单位圆外的不稳定零点时，避免控

制器不稳定，必须能把对象中k®(除z，=l夕卜)的零点

作为①⑶的零点。但这样修会使调节时间加长。

◎

------------

考虑控制器的可实现性和系统的稳定性，

设计最少拍控制器必须考虑以下几个条

言:为实现无静差调节，选择叫⑶时，必须针

对不同的输入选择不同的形式，通式为：

1N

d>e(z)=(l-z-)F(z)

2)为保证系统的稳定性，叫“)的零点应包含G")

的所有不稳定极点。

3）为保证控制器物理上的可实现性,G（z）的

所有不稳定零点和滞后因子均应包含在中。

4）为实现最少拍控制fz）应尽可能简单，F（z）

的选择要满足恒等式：

①e（Z）+①（Z）三1

例9.2

图9・15所示单位反馈线性离散系统中:

10

被控对象Gp(s)=

5(0.15+1)(0.055+1)

米样周期T-0.2s

输入：单位阶跃

求：最少拍数字控制器

例9.2解

解：被控对象与零阶保持器的等效脉况传

<,口=u.二」忆炉］=（1啦02：；（）.05、山

（）.76二」（1+（）.05三口）（I+1.065二」）

（1二"）（1（）.135二"）（10.（）115二」）

式中,有一个零点（z=-l.Q65）在单位圆外糖二个滞后露不

根据设计最少拍系统的限制条件,川假设

中/二）=（1z'］）F（z）

①（二）=4二-1（1+1965二」）

例9.2解（续）

由牝（二）=1中（二）川知,中j二）、①（二）成"i是同阶次多项式.H尽川能简洋

F(z)=(l+bz~l)

a和人为待定系数

分别代入恒等式①。)+中⑶三I.川得

az~l(I+1.065z-1)+(1z~l)(1+h二八)=1

a=0.4X4

解得

/>=0,516

①（二）=0.4N4二」（1+1.（小二」）

①，(二)=(1二」)(1I().516z-1)

例9.2解（续）

①（Z）

G(Z)①<Z)

（）.4X4二」（I+1.065二」）

0.7()二/(1+0.05二」)(1+1()65二-I)

二」)(1+0.516Z-1)

(1二")(1().135--1)(1O.O185Z-1)

0.636(10.01X5二」)(1().13”、

(I+0.05z-|)(I+0.516z_|)

-，1-111

y(z)=①(z)K(z)=0.484z(l+1.065Z)------r

1-z~

=0.484zT+z-2+z-3+……

E(z)==(I二*1»().516J*1)-------y

=l+0.516z-1

该式说明输出响应火后），经两拍后，完全跟踪输入，稳态误差为零。

显然，由于有单位圆外的零点，响应时间与表9-4相比，增加了一拍

3.最少拍无纹波控制器的设计

最少拍控制器的设计方法虽然简单，但也存在一

定的问题：一是对输入信号的变化适应性差；二是通

过扩展z变换方法可以证明，最少拍系统虽然在采样点

处可以实现无静差，但在采样点之间却有偏差，通常

称之为纹波。这种纹波不但影响系统的控制质量，还

会给系统带来功率损耗和机械磨损。

通过一个例子分析最少拍系统中纹波产生的原

因和解决办法。

V〉

例9.3

图9・15所示单位反馈线性离散系统中：

被控对象Gp(s)=-1-—

s(s+1)

采样周期T=1s

输入：单位阶跃

求：1)设计普通最少拍控制器

2)分析纹波产生原因及解决办法

3)设计无纹波最少拍控制器

例9.3解

解：被控对象与零阶保持器的等效脉冲传递函数为

,G(s),10

G(z)=(l-z-1)Z0—=(l-z-1)Z

ss2(s+1)

111

:10(l-z-1)Z

3.68ZT(1+0.718Z7)

(l-z-1)(l-0.368z-1)

例9.3解(续)

-1

⑴设闭环脉冲传递函数O(Z)=ZF2(Z)

设误差脉冲传递函数①「⑶=(1-Z-l)尸i(Z)

由①e(z)=l-①(z)且取F](z)=lG(z)=l

—1

①(Z)Z

Q(z)=

G(z)①°(z)3.68z-i(l+0.718z-i)

(l-z-1)(l-0.368z-1)(%

0.272(1-0.368zT)

(l+0.718z-1)

例9.3解（续）

输出y(z)=①(z)&(z)=Z-'——p=Z-1+z-2+z"+z-4+…

1-Z-

误差£(z)=①(z)R(z)=(1—z-1)-------一-]=1=z°+0-z-1+0.z一之+…

e1I-Z

系统经过一拍以后就进入了稳定。

<]

例9.3解(续)

⑵分析纹波产生原因及解决办法

0.272(1-0.368Z-1)

U(z);D(z)E(z);--------------------------1

1+0.718Z-1

=0.272+0.295Z-1-0.27z-2+0.248Z-3-0.227Z-4+•••

一般地，U(Z)=。⑶①《(2)火⑶中的。(Z)①,⑶

是关于小有限项多项式，那么在三种典型输入下，

一定能在有限拍内结束过渡过程，实现无纹波。

7,例9.3解（续）

勒当输入为单创盼魄味即K侈=7」7T，如果。㈤中0）=%=%二一1〃2二,々

仃限坝屹尔式，则U（二）=/）（二）①J二）〃（二）='%+'：:二

_2_7-4

=〃o+(%+%)二-I(〃o+“i+%)(二“+二-+二+•,•)

即从第二个采样周期开始，〃（口就稳定于一个