导数及其应用 -2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练（解析版）

专题5导数及其应用

第一部分真题分类

一、单选题

1.(2021.全国高考真题)若过点(名。)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.e<aB.e[,<b

C.0<a<elD.0<b<ea

【答案】D

【解析】在曲线y=e*上任取一点对函数y=e*求导得y'=e，,

所以，曲线y=/在点p处的切线方程为y-e'=d(x-t),即y=e'x+(l-r)e',

由题意可知，点(a,8)在直线>=e'x+(l-r)e'上，可得匕=ad+(l-r)e'=(a+l-f)e',

令/«)=(a+l_r)e',则=

当时，/'(，)>0,此时函数/«)单调递增，

当，>a时，//(r)<0,此时函数单调递减，

所以，“Lx"，』"，

由题意可知，直线y=b与曲线>=/'")的图象有两个交点，则匕</(f)gx=e",

当r<a+l时，/(r)>0,当r>a+l时，/«)<0,作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当0<b<e〃时，直线y=〃与曲线y=/(r)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e”的图象如图所示，根据直观即可判定点(。力)在曲线下方和％轴上方时才可

以作出两条切线.由此可知0<b<e".

故选：D.

2.(2021•全国高考真题(理))设arO,若x=。为函数〃x)=a(x—a)2(x—。)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ah<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】若a=。，则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故Mb.

依题意，％=。为函数〃力=〃(》—。)2(%—3的极大值点，

当”0时，由尤>6/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故ab〉/.

3>0时，由X〉匕时，/（x）>0,画出/（X）的图象如下图所示:

由图可知Z?>。，a>0<故ah〉/.

综上所述，R>>/成立.

故选：D

3.（2020•全国高考真题（理））若直线/与曲线y=4和/+产（都相切，则/的方程为（）

A.y=2x+\B.y=2x+；C..尸;x+1D.）=gx+g

【答案】D

【解析】

设直线/在曲线y=、&上的切点为（玉），衣），则%>0，

函数y=«的导数为>'=-U，则直线I的斜率k

27x

设直线/的方程为丁一直=3上（工一工0）,即x—2j£y+Xo=O，

rc1XA1

由于直线/与圆Y+y==相切，则二）一=—,

-5V1+4xoV5

两边平方并整理得5片,—4x0—1=0,解得%=1,毛=一1不（舍），

贝IJ直线/的方程为x—2y+l=0,即y=

22

故选：D.

4.（2020•全国高考真题（理））函数/（》）=/-2x3的图像在点（1,/（I））处的切线方程为（）

A.y=-2x-\B.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】

•.•/(X)=X4-2X\.-./,(X)=4X3-6X2,.­,/(l)=-l,/,(l)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x—l),即y=-2x+l.

故选：B.

5.已知曲在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+b,贝ij()

A.a=e,b=-1B.a=e,b=\C.a=e-',b=\D.a=e~',b=-\

【答案】D

【解析】

解析：y'=aex+Inx+1,

k=y'3=ae+l=2,x

a=e~

将(1』)代入丁=2%+8得2+8=1,。=一1,故选D.

-2

0,、x~-2ax+2a,%,1,“、八

6.已知aeR,设函数/(%)=,若关于x的不等式/(x)..O在R上恒成立，则a的

x-am,x,x>1,

取值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]C.[o,e]D.[l,e]

【答案】C

【解析】

V/(0)>0,即a?0,

(1)当0WaV1时，f(x)———2(vc+2a=(x—o)"+2a—ci~22a—ct~=a(2—a)>0,

当a>l时，/(I)=1>0,

故当a20时，f-2ax+2a20在(Y°』]匕恒成立；

Y

若x-alnxN0在(1,+°0)上恒成立，即—在(L+0°)上恒成立，

Inx

,,x，/、lnx-1

令g(x)=­：—，则g(x)=~~~3-，

Inx(Inx)

当x>e,函数单增，当0<x<e,函数单减，

故g(x)max=g(e)=e，所以当。之0时，f-2ax+2aNO在“上恒成立;

综上可知，。的取值范围是[0,e],

故选C.

二、填空题

2r-1

7.(2021•全国高考真题(理))曲线y=----在点(T-3)处的切线方程为___________

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】由题，当x=—1时，y=-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(21)_5

求导得:所以：/LT=5.

-(x+2)12(x+2)2

故切线方程为5x—y+2=0.

故答案为：5%-y+2=0.

8.(2021.全国高考真题)函数〃x)=|2元-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】由题设知：/(x)=|2x—1|-21nx定义域为(0,+8),

.•.当0<x41时，/(x)=l—2x—21nx,此时/(x)单调递减；

2

1?

当时，/(x)=2x-l—21nx,有/'(x)=2--<0,此时单调递减；

2x

2

当x>l时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2-->0.此时/(幻单调递增：

x

又/(X)在各分段的界点处连续，

...综上有：()<x«l时，/(X)单调递减，X>1时，/(X)单调递增；

/./(x)>/(l)=l

故答案为：1.

9.(2020・江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知尸(手,0),4,8是圆C：x2+(y-l)2=36±

的两个动点，满足=则△布B面积的最大值是.

【答案】10小

【解析】

QPA=PB:.PC±AB

设圆心C到宜线AB距离为d，

所以Sv啰«1-2436-储(d+1)='(36-42)s+1产

令y=(36-a?)(d+1)2(0<J<6)/=2(4+1)(-2J2-J+36)=O.\J=4(负值舍去)

当0Wd<4时，/>0;当4Kd<6时，y<0,因此当d=4时，y取最大值，即S^AB取最大值为10后，

故答案为：10有

10.(2020•全国高考真题(文))设函数f(x)=/L.若尸(1)=£,贝ija=_________

x+a4

【答案】I

,、e'(x+a)—e*e*(x+a—1)

【解析】由函数的解析式可得：f(%)=—;——不一=———「，

[x+a)[x+a)

/，/八3x(l+a_l)aeaee

则：/(1)=Y_L=T一U，据此可得：771尸=五，

(l+a)(a+1)(。+1)4

整理可得：储_2。+1=0,解得：a=l.

故答案为：1.

11.(202。全国高考真题(文))曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

【答案】y=2x

【解析】设切线的切点坐标为(Xo，yo)，y=inx+x+i,y'=L+i,

X

y'=—+l=2,x0=l,y0=2,所以切点坐标为(1,2),

所求的切线方程为丁-2=21),即y=2x.

故答案为：y=2x.

4

12.在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=x+-(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+)=0的距离的

X

最小值是.

【答案】4.

4

【解析】当直线x+y=。平移到与曲线y=x+—相切位置时，切点。即为点P到直线x+y=。的距离最

X

小.

由y'=l—^=-1,得x=舍），y=35/2,

x

即切点〈（虚,3立）,

则切点Q到直线X+y=0的距离为1&+3"1=4，

故答案为4.

三、解答题

13.（2021.北京高考真题）已知函数

（1）若a=0,求y=/（x）在处切线方程；

（2）若函数"X）在x=-1处取得极值，求/（x）的单调区间，以及最大值和最小值.

【答案】（1）4x+y—5=0；（2）函数“X）的增区间为（一8,-1）、（4,物）,单调递减区间为（一1,4）,

最大值为1，最小值为一9.

4

【解析】（I）当a=o时，〃尤）=^^,则/（[）=变曰,r⑴=-4,

XX

此时，曲线y=/（x）在点（1,7（1））处的切线方程为yT=T（x-l）,即4x+y-5=0；

2

□9r—2（/+Q）—2x（3—2x）2（x—3x—

（2）因为/（n）=受，则raxi1~~-片J，

x-+a（x2+a）（x2+a）

,、2（4—a]

由题意可得/（T）=/,、2=。，解得a=4,

（a+1）

,/、3-2xm_2（x+l）（x_4）

故/（x）=7TT'（）-1+4）2，列表如下：

x（-00,-1）-1（-1,4）4（4,-K»）

/'(X)+0—0+

“X)增极大值减极小值增

所以，函数/(X)的增区间为(—8,T)、(4,+8),单调递减区间为(一1,4).

3/、3

当x<］时，/(x)>0：当x>2时，/(x)<0.

所以，〃耳皿=〃-1)=1，/(4―/(4)=一

14.(2021•全国高考真题)已知函数"x)=x(l-lnx).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设a,b为两个不相等的正数，且从na-alnb=a-证明：2<’+'<e.

ab

【答案】(I)/(X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8);(2)证明见解析.

【解析】(I)函数的定义域为(0,+8)，

又//(x)=l-lnx-l=-lnx,

当尤e(O,l)时，/'(£)>0,当XG(1,+QO)时,/(无)<0,

故/(X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8).

(2)因为61na-alnb=a-b,故人(1114+1)=0(111/?+1),即加"+1=卜”1,

ab

故小TJ

设,=%，!=%2，由(I)可知不妨设0<玉<1，工2>1.

ab

因为xe((),l)时，,f(x)=x(l-lnx)>0,xw(e,+oo)时，f(x)=x(l—Inx)<0,

故1<々<e.

先证：x,+x2>2,

若々22,玉+々>2必成立.

若々<2,要证：玉+々〉2,即证%>2-々，而0<2-无2<1,

故即证/(%)>/(2—々)，即证：/(%)>/(2—X2)，其中1<工2<2.

设g(x)=/(x)-/(2-x),l<x<2,

则g'(x)=/'(x)+/'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因为1cx<2,故0<x(2-x)<l,故-lnx(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)>g⑴=0,

故〃x)>/(2-x),即/(毛)〉/。-々)成立，所以玉+尤2>2成立,

综上，玉+々>2成立.

设x,=4，则，>1,

11

jzIn。+1/7+

结人=In力-=-：石(lTn%)=%2(lTnN),

〃X。可得

。

t-\-t\nt

即：1-In%^zfl-lnr-lnxj,故In%二

t-\

要证：x1+x2<ef即证«+l)玉<e,即证ln(f+l)+lnx<1,

即证：In(，+1)4---------<1,即证：(，-1)In(，+1)—rInr<0,

，一1

则S〈f)=ln(^+l)+--^-1-lnf=ln(l

先证明一个不等式：ln(x+l)<x.

]—x

设〃(x)=ln(x+l)-x,则/(x)=-----1-——,

x+1x+1

当一1cxe0时，H，(X)>O；当X>0时，M，(X)<O,

故“(X)在(TO)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故“(％)3=〃(0)=0,

故ln(x+l)«x成立

由上述不等式可得当£>1时，In1+；卜;<告，故S'(/)<0恒成立，

故s(f)在(1,+8)上为减函数，故S«)<S(l)=0,

故(r-l)ln(r+l)-Hnt<0成立，即％+x2<e成立.

综上所述，2<L+』<e.

ab

15.(2021•全国高考真题(文))设函数/(x)=+Qx-3]nx+l,其中。>0.

(1)讨论“X)的单调性；

(2)若丫=/(力的图像与工轴没有公共点，求。的取值范围.

【答案】⑴"X)的减区间为[。,()，增区间为+8)；(2)a>|.

【解析】⑴函数的定义域为(0,+")，

又八用=(2奴+3)⑷-1),

x

因为。>0,x>0,故2，zx+3>0,

当o<x<，n寸，f'(x)<0；当x〉L时，f'(x)>0；

cia

所以〃X)的减区间为(o，：)，增区间为+8).

(2)因为〃1)=。2+4+1>0且〉=/(力的图与“轴没有公共点,

所以>=/(x)的图象在X轴的上方，

由(1)中函数的单调性可得〃x)min=/(£|=3_31n：=3+31na,

故3+31na>0即a>~.

e

16.(2021•浙江高考真题)设a,b为实数,且。>1,函数/(x)=a'—Zzx+e2(xeR)

(1)求函数,f(x)的单调区间；

(2)若对任意6>2/,函数/(X)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意力寺3函数“X)有两个不同的零点不当，满足X2>2"玉+S.

2eb

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)A40时，/(x)在R上单调递增；/?>()[1寸，函数的单调减区间为-oo,log,,,单调增区

；(3)证明见解析.

【解析】(1)f(x)=ax-bx+e2,f(x)=ax\na-b,

①若8W0,则/'(x)=aUna—〃20,所以/0)在R上单调递增;

②若匕>0,

当xe18,log。言｝寸，/'(%)<0J(x)单调递减，

当xe(log,,备,+oo)时，尸(x)>0J(x)单调递增.

综上可得，8W0时，f(x)在及上单调递增；

0>0时，函数的单调减区间为(一叫log〃3],单调增区间为hog“3，+s].

IInaJ\InaJ

(2)/(X)有2个不同零点=优—法+e2=0有2个不同解=e'M"-/zx+e2=0有2个不同的解,

令r=xlna,则d---+e2=0=>-^-=£+e,t>Q>

In。In。t

记g(r)=午,g⑺=.“广)=一”.

记h(t)=ef(t-l)-e2,h(t)=d«_l)+e'1=d•/>0,

又/i(2)=0,所以「£(0,2)时，h(t)<0,，E(2,+8)时，h(t)>0,

bh

则gQ)在(0,2)单调递减，(2,+oo)单调递增，一>g(2)=/,.•.In。〈二，

Intze

h

•/b>2e~9,>2,In«<2=>1<6?<9.

e

即实数。的取值范围是(I"?].

闭。=%/(幻=/一区+02有2个不同零点，则e*+e2=bx,故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为马，较小者为引，

x2x2

,e'+ee-+e4

b=-------=------->e,

%x2

x2

注意到函数y=三七-在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增,

X

故玉<2<工2，又由^-----</知w>5,

什*<生=%<才,

%]x{b

由、「blnbe~.e1

女iikx?>22"i+，八而X)>In/?+-j—>

+C12*>

b=-------<——且关于》的函数g/)=lnb+J在上单调递增,

x2x.h

2c与2

所以只需证x,>ln—+一ex>5),

赴2e'2'_7

只需证彳一黄>°'

只需证1口1一^^—1112>0，

2ex

pJO.Y

——<4,只需证〃(x)=lnx---In2在x>5时为正，

2/

由于h(%)=-+4xe-v-4e-x=g+4e-x(x-l)>0,故函数〃(x)单调递增，

又h(5)=In5-与-In2=In*-当>0,故/z(x)=Inx-与一In2在x>5时为正,

e2ee

从而题中的不等式得证.

Ya

17.(2021•全国高考真题(理))已知。>0且QW1,函数f(x)=—U>0).

(1)当。=2时，求/(x)的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求〃的取值范围.

2

【答案】⑴上单调递增;不工,+8上单调递减；(2)(l,e)u(e,+8).

In2

22x62'—f，2'in2_x❷2'(2—xln2)

【解析】(1)当a=2时，/(x)=W，r(x)

4V

709

令ra)=o得1=三.当。<彳<三时，r(x)>o,当%>三时，r(x)<o.

m2m2m2

函数/(x)在(o,记5总+8上单调递减:

上单调递增:

(2)f(x)=—=1<=>ax=xa。工1114=〃111不<=>^^=^^,设函数且(*)=^^,

axxax

则g，(x)=与詈，令g，(x)=o,得x=e,

在(O,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(无)单调递减;

••・g(x)〃m=g(e)=J

又g⑴=0,当X趋近于+00时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=r(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=会有两个交点的充分

必要条件是0<等<|，这即是0<g(a)<g(e),

所以”的取值范围是(l,e)u(e,+s).

18.(2021.全国高考真题(理))设函数〃x)=ln(4—x),已知x=0是函数y=犷(力的极值点.

(1)求

(2)设函数g(x)=・；、.证明:g(x)<L

xf(x)

【答案】1;证明见详解

1X

【解析】⑴由/(x)=ln(a—x)n/'(x)=,y==>^'=ln(6z-x)+

x-ax-a

又x=0是函数y=4(x)的极值点，所以y'(0)=lna=0,解得a=l；

,、/、x+f(x)x+ln(l-x)

⑵由⑴得〃x)=ln(17),g(x)=~^-=[n(l二x)，%<1且"°，

/、x+ln(l—x),、，、

当x«O,l)时，要证g(x)=——---/<1，vx>0,ln(l-x)<0,.*.xln(l-x)<0,即证

xln(1—xj

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得工+(1-力141-力>0；

/、x+ln(l-x),、，、

同理，当了£(—0,。)时，要证g(x)=--7----S<1，vx<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-A：)<0,即证

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l_x)ln(l_x)>0；

令〃(x)=x+(l—x)ln(l—x),再令r二1一%,则f£(O,l)U(l,y)，x=\-t,

令g(f)=1T+"n，,g'(。=-1+Inf+1=Inf,

当fe(O,l)时,g'(x)<0,g(x)单减,假设g(l)能取到，则g(l)=O,故g«)>g(l)=O；

当fe(l,+8)时，g〈x)>0,g(x)单增,假设g(l)能取到，则g(l)=O,故g(f)>g(l)=O；

x+ln(l-x)

综上所述，g(x)<1在xe(-oo,0)U(。,1)恒成立

,rln(l-x)

19.(2021•全国高考真题(理))已知抛物线。：/=2外(〃>0)的焦点为尸，且尸与圆

M:/+(y+4)2=l上点的距离的最小值为4.

(1)求〃；

(2)若点P在“上，PAPB是C的两条切线，AB是切点，求△PAB面积的最大值.

【答案】⑴。=2；(2)20亚.

【解析】(1)抛物线C的焦点为F((用，怛M/+4,

所以，F与圆“：炉+(丁+4)2=1上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得P=2；

2

(2)抛物线C的方程为V=4y,即y=、，对该函数求导得了=2，

设点A(X，y)、8(孙％)、「(用,先)，

直线24的方程为y-x=5(x-%),即工替一y,即X|X—2,，］一2y=0,

同理可知，直线形的方程为马龙―2%—2>=0,

X拓-2乂-2%=0

由于点P为这两条直线的公共点，贝联

『_2%-2%=0'

所以，点A、8的坐标满足方程飞》一2丁一2%=0,

所以，直线AB的方程为入0X一2丫-2%=0,

2y-2%=0

联立《x2,可得Y-2犬0》+4%=0,

由韦达定理可得玉+%2=2〜），%9=4%,

所以，［4却=、|+TJ（再+外,_4%々+•也1一⑹加=，（r+4）国-4,），

忖一4)o|

点P到直线AB的距离为d

&+4

所以,S^PAB=（J（X；+4）（片一4y（J-I；2闻=g（X；_4%）2，

--，x（）+4

X；-4%=1-(%+4)--4y0=-yl-12y0-15=-(y0+6)'+21,

12

由已知可得-54%4-3,所以，当先=-5时，的面积取最大值一X203=206.

2

20.（2020•全国高考真题（理））设函数f（x）=x3+fev+c,曲线y=/（x）在点（g,*））处的切线与y

轴垂直.

（1）求瓦

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：“X）所有零点的绝对值都不大于1.

3

【答案】（1）b=一二；（2）证明见解析

【解析】⑴因为，（外=3/+从

由题意，八；)=°，即3x(；)+人=0

3

则b=—；

4

3

(2)由(1)可得f(x)=x3--x+c,

31I

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令/(工)＞。,得元＞'或1＜一,；令f(x)v。,得一

2222

所以/(力在(-L一)上单调递减，在(70,-3，(L,+8)上单调递增,

2222

且—二

若f(x)所有零点中存在•个绝对值大于1的零点为,则/(-1)>0或f(D<0,

即c>一或c<-L

44

当c>；时，/(-l)=c-i>0,/(-1)=c+l>0,/(1)=c-l>0,/(l)=c+i>0I

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4C(1-16C2)<0,

由零点存在性定理知fix)在(Tc,-1)上存在唯一一个零点%,

即广(X)在(-8,-1)上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当c<一:时，=；)=c+；<0,/(g)=c_：<0,/(l)=c+；<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0,

由零点存在性定理知fM在(1，-4c)上存在唯一一个零点x；,

即“X)在(1,”)上存在唯一一个零点，在(F,D上不存在零点，

此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，/(X)所有零点的绝对值都不大于1.

21.(2020•全国高考真题(文))已知函数/(x)=x3-fcv+产.

(1)讨论了(幻的单调性；

(2)若有三个零点，求左的取值范围.

4

【答案】(1)详见解析；(2)(0,五).

【解析】(1)由题，/(x)=3x2-k,

当女<0时，/(x)20恒成立，所以/(%)在(F,+8)上单调递增；

当女>()时，令/(x)=0,得x=±J^,令/(x)<0,得

令f(x)>0,得x<—心或x>*,所以/(x)在(-上匕上单调递减,在

VJV3V3V3

(4,+8)上单调递增.

f(-百〉。

(2)由(1)知1,〃X)有三个零点，则攵>0,且，

喑＜0

22[~k

kH—kA—>0

3V34

即《L,解得0〈左〈一，

公二半〈027

13V3

41-[kf-

当。〈氏〈二时.，&>J—,且/(〃)=公>0,

Z/Y3

所以八幻在；)上有唯一一个零点，

同理_,f(-k-l)=-k3-(k+l)2<0,

所以.f(x)在(-1,上有唯一一个零点，

又〃x)在上有唯一•个零点，所以f(x)有三个零点,

4

综上可知k的取值范围为(0,工7).

22.(2020•全国高考真题(理))已知函数/(x)=e'+ox2_x.

(1)当〃=1时，讨论/a)的单调性;

(2)当它0时，f(x)>^-x3+l,求a的取值范围.

【答案】⑴当xe(-8,0)时，尸(x)<o,〃x)单调递减,当x«0,+8)时,尸(x)>0,〃龙)单调递

[7-e2}

增.⑵——,+00

L4)

【解析】(1)当a=l时，f(x)=ex+x2-x,f'(x)^ex+2x-l,

由于」"(x)=e、+2>0,故/(x)单调递增,注意到了'(0)=0,故：

当x«-oo,0)时,/'(x)<0J(x)单调递减，

当xe(O,+8)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

⑵由f(X)>—x3+1e'+ux~-x..x3+1.其中x■0,

①.当40时，不等式为：121，显然成立，符合题意；

px-1-%3―Y—1

②.当x>0时，分离参数。得，eX,

a...---------------

.e，—%3—%—1(*-2)-X—1

g(上一^5g'(x)=-一

令=e*—_*_1(彳20),

则〃'(x)=e*-x-l,/z"(x)=e*-120,

故/“x)单调递增，”(x)N厅⑼=0,

故函数网力单调递增，A(x)>A(O)=O,

由/?(x)N0可得：e'—万厂一x—1..0恒成立，

故当x«0,2)时，g(x)单调递增;

当xe(2,+oo)时，g<x)<0,g(x)单调递减;

因此，卜(叨,「8出=工

-7-e2)

综上可得，实数〃的取值范围是^—,+oo

23.(2020•全国高考真题(理))已知函数/(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论/(x)在区间(0,乃)的单调性；

(2)证明：|〃x)K半；

V

(3)设〃£N*,证明：sin2xsin22xsin24x...sin22nA<—.

4〃

【答案】⑴当时，尸(》)>0"(》)单调递增，当/(x)<0J(x)单调

递减，当xe(年，万)时，f(x)>0,/(x)单调递增.(2)证明见解析；⑶证明见解析.

【解析】⑴由函数的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,则：

/1(%)=2(3sin2xcos2x-sin4%)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-l)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

/,(尤)=0在％£(0,4)上的根为：x,=~»

当时，/'(x)>0J(x)单调递增，

当x£[寸彳)时，./(%)<°J(x)单调递减，

当时，尸(x)>0J(x)单调递增.

(2)注意到/(x+乃)=sin2(x+乃)sin[2(x+%)]=sin2xsin2x=/(x),

故函数/(x)是周期为万的函数，

结合(1)的结论，计算可得：/(0)=/(")=0,

据此可得：m切苧，[〃明疝「挈

叩(小哈

(3)结合(2)的结论有:

sin2xsin22xsin24x---sin22nx

2

=[sin3xsin32xsin34x---sin32〃％，

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)…卜in?2n_1xsin2"xjsin22〃x]5

2

sinxx地x空…地xsin-3

<

888

第二部分模拟训练

一、单选题

Inr3(lnA-as)若方程/(x)=g(x)有2不同的实数解，则实数〃的

1.已知函数/*)=———a,g(x)=

xInx

取值范围是()

A.S,e)B.(0,—)C.(-oo,())u(e,-Ko)D.(e,+8)

e

【答案】B

【解析】由/(x)=g(%)得比一"3(lnX奴),去分母整理得(111%-3%)(111]-0¥)=。有2不同的实

xInx

1nxx

数解，所以lnx-3尤=0或lnx-ar=(),所以---=3或----=a,

xx

设//(外=匣(％>0)所以〃'。)=上辛，当0<x<e时，h'(x)>0,函数力。)单调递增，当x>e时，

XX

h'(x)<0,函数人(x)单调递减.

所以/zCOm”=//(e)=,<3,所以生二=3没有实数解.

ex

Inx

所以方程——=。有两个不同的实数解."(1)=0

x

当x-0时，A(x)<0；当x—+8时，Kx)>0

故选：B

2.已知/(X)是定义在(-8,+00)上的函数，/'(X)为"X)的导函数，且满足/(x)+(x-l)/'(x)>0,

则下列结论中正确的是()

A./(x)>0恒成立B./(x)<0恒成立

C./(l)=oD.当X€(-oo,l)时，/(x)<。；当xw(l,+oo)时，/(x)>。

【答案】A

【解析】设g)=、1)B),所以8'(幻=/@)+3-1)/'(幻>0,所以函数83)在区上单调递增，又因为

g⑴=0,所以x>l时，g(x)>0,x<l时,g(x)V0,所以x>l时,(x-l)f(x)>0,所以f(x)>0;所以x<l时，(x-l)f(x)<0,

所以f(x)>0.所以〃X)>0恒成立.

故答案为A

3.已知定义在(0,+刃)上的函数/")满足4'(x)>/(x)恒成立(其中/'(x)为函数/*)的导函数),对

于任意实数玉>0,々>0,下列不等式一定正确的是()

A.7(%)"(>2)2/(中2)B./(%)"02)4/(中2)

C./(%))+/(%2)>/(%,+x2)D./(%)+/(々)</(玉+工2)

【答案】D

【解析】

由题意，定义在(0,+8)上的函数/(x)满足W'(x)>/(x)恒成立，即/(x)-

设函数/X)=/3,则〃(%)=,(幻一/3>0,所以函数〃(x)为单调递增函数，

Xx

不妨设0〈玉〈尤2,则且“l+X2)>Zfel,

X,

x2xy+x2x2

即/a+々)>/(/)=/(%)+%/(々)>/(/)+为=/a)+/(々),

故选D.

4.设函数/'(X)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，当x>0时,^nx-/'(x)<-/(%),则使得

卜2_4)/(力>0成立的x的取值范围是(〉

A.(-2,O)D(O,2)B.(-00,-2)52,问c.(-2,0)u(2,+oo)

D.y,-2)u(O,2)

【答案】D