第十四章整式乘法与因式分解（解析版）-2020-2021学年八年级数学上册期末复习考点强化训练（人教版）

专题04整式乘法与因式分解考点强化训练

考点1整式乘法

1.下列运算正确的是()

A.2a3*a4=2a12B.(-3a2)3=-9a6C.a24-ax—=a2D.a»a3+a2*a2=2a4

a

【答案】D

【解析】

【分析】

根据合并同类项、幕的乘方与积的乘方、同底数基的除法以及分式的混合运算法则依次计算即可.

【详解】

解:A:2a3»a4=2a,故本选项错误;

B：(-3a2)3=-27a6,故本选项错误；

C：a2+axL=axL=i,故本选项错误；

aa

D:a»a3+a2»a2=a4+a4=2a。故本选项正确;

故选D.

【点睛】

本题考查了合并同类项、哥的乘方与积的乘方、同底数幕的除法以及分式的混合运算法则，牢记法则是关键.

2.如图的面积关系，可以得到的恒等式是()

ab

A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2—a2+2ab+b2

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出两个图形的面积，再根据两图形的面积相等即可得到恒等式.

【详解】

甲ZJ

图甲面积=(a+b)(a-b)

22

图乙面积=2(a-b+b)-bxb=a，b,

•••两图形的面积相等，

关于a、b的恒等式为:(a+b)(a-b)=a2.b2.

故选B.

【点睛】

点评：本题考查/平方差公式的几何解释，根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键.

3.计算(xy3)2的结果是()

A.xy6B.x2y3C.x2y6D.x2y5

【答案】C

【解析】

试题分析：原式=(xy3)2=x2y3x2=x2y6»故选C.

考点：某的乘方；积的乘方.

4.下列运算正确的是()

A.。2,“3="6B.{ab}2=ab~C.(«2)3=a^D.a4a2=a2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同底数基的乘法，积的乘方，塞的乘方以及同底数球的除法公式即可得出答案.

【详解】

2

A：a/="+3=炉，故此选项错误；

B：(ab)2=a%2,故此选项错误；

C：(a2)3=«2x3=«6,故此选项错误；

D：a4-i-a2=a,'~-cr>故此选项正确.

故答案选择D.

【点睛】

本题考查了塞的运算的四个公式：同底数事的乘法，积的乘方，嘉的乘方和同底数塞的除法，熟练掌握公式解决本

题的关键.

5.如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b(a>b),则这两个图形能验证的式

子是()

A.(a+b)2-(a-b)2=4abB.(a2+b2)-(a-b)2=2ab

C.(a+b)2-2ab=a2+b2D.(a+b)(a-b)=a2-b2

【答案】B

【解析】

前一个图阴影部分的面积：(a2+b2)-(a-b)2=2ab

后一个图形面积：|abx4=2ab

故选B.

6.已知(x-2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x?和x项，则m,"的值分别为()

A.m=2,n=4B.m—3,n—6C.m--2,n--4D.m--3,n--6

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含X2和X项可得这两项的系数为0,进一步即可求出

答案.

【详解】

解：原式=x?+(m-2)x?+(n-2m)x-2",

:乘积项中不含x2和x项，

.".m-2—0,n-2m—0,

解得：m=2,n=4.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.

7.长方形的面积是9a2-3ab+6a3,一边长是3a,则它的另一边长是()

A.3a2-b+2a2B.b+3a+2a2C.2a2+3o-bD.3a2-b+2a

【答案】C

【解析】

【分析】

根据长方形面积公式"长、宽=面积"，列出式子后进行化简计算即可。

【详解】

长方形的面积=长、宽，由此列出式子(9a2-3ab+6a3)+3a=3a-b+2az.

解：(902-3ab+6a3)+30=3a-b+2a2,

故选：C.

【点睛】

本题考查了用代数式表示相应的量，解决本题的关键是熟练掌握整式除法的运算法则。

8.如果(nx+1)(x2+x)的结果不含x2的项("为常数)，那么。=.

【答案】-L

【解析】

【分析】

根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有x的二次项并让其系数为0,即可求Hln的值.

【详解】

解：原式unx'+nx^+xZ+x

=nx3+(n+l)x2+x,

乘积中不含X2的项，

0+1=0,

n=-l.

故答案为:-1.

【点睛】

本题主要考查了多项式的乘法运算法则及合并同类项.

9.82018x(-0.125)2019=_.

【答案】-0.125

【解析】

【分析】

直接利用积的乘方运算法则进行化简得出答案.

【详解】

原式=82。叫(-0.125)2018x(-0.125)

=(-1)2018x(-0.125)

=-0.125

【点睛】

主要考察积的乘方逆运算来解答.

10.若""=4,""=8,则优""=.

【答案】32

【解析】

【分析】

根据同底数基的乘法的逆运算即可得出答案.

【详解】

"""=""=4x8=32

故答案为：32.

【点睛】

本题主要考查的是求代数式的值，熟练掌握同底数幕的乘法公式是解决本题的关键.

11.若x"=4，x"=3，xc=8.则x2-的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】

逆用同底数耗的运算法则即可求出答案.

【详解】

X2""Y=针.％*-xh=42x3+8=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了同底数幕的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型.

12.计算：一22°i7x(-0.5)2018.

【答案】-0.5

【解析】

【分析】

首先把(-0.5)2。18=(-0.5)2。人(-0.5),然后再利用积的乘方进行计算即可.

【详解】

原式=-22017x(-0.5)2018=-22017x(-0.5)2017x(-0.5)=[-2x(-0.5)]2017x(-().5)=lx(-0.5)=-0.5.

故答案为-0.5.

【点睛】

本题考查了积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.（ab）（。是正整数）.

13.已知：3m=2,9"=5,则33"2"=.

Q

【答案】一

5

【解析】

【分析】

先利用同底数塞的除法运算法则以及事的乘方运算法则的逆运算将33m3进行变形，再将已知式子的值代入即可得

出结果.

【详解】

V3m=2,9n=32n=5,

As3m'2n=（3m）3v32n

=23+5

8

5,

o

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了同底数基的除法运算法则以及基的乘方运算法则的逆运算，掌握基本运算法则是解题的关键.

14.233、418、8工。的大小关系是（用〉号连接）.

【答案】418>233>810

【解析】

【分析】

直接利用基的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案.

【详解】

,82，836,O3IO30

V4=（2）=2）8=（2）=2,

236>233>230,

.*.418>233>810.

故答案为：418>233>810

【点睛】

比较不同底数的幕的大小，当无法直接计算或计算过程比较麻烦时，可以转化为同底数幕，比较指数大小或同指数

幕，比较底数大小进行.能熟练运用事的乘方进行变形是解题关键.

15.已知5m=2,5n=3,则53m+n-l的值为.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

直接利用同底数基的乘除运算法则计算得出答案.

【详解】

解：V5m=2,5n=3,

A53m+n-1=(5m)3x5n-r5

=8x34-5

24

24

故答案为：.

【点睛】

本题考查同底案的乘除法，熟记同底幕的乘除法则并灵活应用是解题关键.

16.计算(。—2吹。2+2ab+4/)的结果是.

【答案】a3-8b3

【解析】

【分析】

利用多项式乘以多项式就是用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，然后将所得的积相加即可.

【详解】

解：原式="+2a2b+4加-201b-Aab2-8/="-8必，

故答案为：a3-Sb3.

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式的知识，属于基础运算，必须掌握.

17.如图，图中的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：.

【答案】答案不惟一，如：(x+6f)(x+Z?)=x2+ax+bx+ab

【解析】根据大矩形的面积的表示法写出正确的等式即可，例如(x+a)(x+/?)=d+G：+法+〃〃，答案不唯一,

正确即可.

x+2y=1-。

18.己知关于x、y的方程组,则代数式22，・型=___.

2x+y=。-7

【答案】

【解析】

【分析】

将方程组中的两个方程相加求出x+y=-2,利用塞的乘方的逆运算及同底数事乘法的逆运算将原式变形，即可求出

答案.

【详解】

x+2y=l-a

解：将方程组《°,「中的两个方程相加得x+y=-2,

2x+y=a-7

22x*4y-22x,22y—22x+2y—24——

16，

故答案为：—.

16

【点睛】

此题考查加减法解二元一次方程组，募的乘方的逆运算，同底数基乘法的逆运算，正确计算是解题的关键.

19.多项式犬-5丁+11父+如+”能被》?-2x+l整除，则加=,〃=.

【答案】-114

【解析】

【分析】

设多项式》4-51+112+,小+”和多项式—2x+l的商为/+6x+C，通过X?—2x+l和f+"+,乘积与原多项

式各项系数对比可求出b和c的值，从而得到m和n.

【详解】

解：；多项式-5x'+1lx2+侬+"能被X2—2x+l整除，

设(X4-5^+11X2+/nx+n)+(X2—2%+1)=X2+bx+C'

则(x2+bx+c>(J_2x+1)=x"+(/?—2)/+(c-2/?+l)x2+(8-2c)x+c,

b-2=-5

可得《

c-2/?+l=ll

b=-3

解得：＜

c-4

/.m=-3-2c=-ll,n=c=4,

故答案为：-11,4.

【点睛】

本题考查了多项式的乘除法，解题的关键是掌握运算法则.

20.计算：(3an+2+6an+i-9an)-=-3anl.

【答案】a3+2a2-3a

【解析】

试题分析：根据整式的除法法则即可得到结果.

(3an+2+6an+1-9an)4-3anl=a3+2a2-3a.

考点：本题考查了整式的除法

点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加计算.

21.计算:

(1)a3»o2«a4+(-a)2；

(2)(x2-2xy+x)4-x

【答案】(1)a9+a2；(2)x-2y+l.

【解析】

【分析】

(1)先根据同底数基相乘，底数不变指数相加;嘉的乘方，底数不变指数相乘计算,然后再根据合并同类项法则计算即

可.

(2)把多项式的每一项都分别除以这个单项式，再把所得的商相加可得答案.

【详解】

解：(1)a3»a2»a4+(-a)2=a9+a2；

(2)(x2-2xy+x)-rx—x-2y+l.

【点睛】

(1)考查了积的乘方与同底数基的乘法的运算性质.同底数的基相乘，底数不变，指数相加•积的乘方，等于把积中的每一

个因式分别乘方,再把所得的事相乘；

(2)考查多项式除以单项式运算.多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式,再把所得的商相加.

22.已知""=2,a"=3,求：

(1)求a"*"的值；

(1)求的值.

4

【答案】(1)6；(2)-

【解析】

【分析】

(1)先将屋'+"变形为amxan,再代入求解；

(2)将。2所"变形为(""『十"，，代入求解即可.

【详解】

(1)原式=amxaL

=2x3

=6.

(2)原式=(a"'『+a",

=22+3

_4

—.

3

4

故答案为：(1)6；(2)一.

3

【点睛】

本题考查了同底数幕的除法、同底数幕的乘法，慕的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识

点的概念和运算法则.

23.先化简，再求值：[(3a-b)(a-2b)-b(o+2b)-a]+2a,其中a=；,b--1.

311

【答案】-a-4h--,原式=4：.

224

【解析】

【分析】

根据整式的加减乘除运算法则即可求解，其中包含多项式乘多项式，单项式乘多项式及整式的除法，注意去括号时

符号的改变.

【详解】

原式=(3/-lab+2b2-ab-2〃一a)+2a

=(3。~-8ab—a)+2a

-ci—4b—

22

1311

当。=—,人=—理寸，原式=—+4——=4-.

2424

【点睛】

本题主要考查了多项式的加减乘除，需要注意去括号时符号的改变原则，同时也需要注意多项式乘多项式，单项式

乘单项式的运算法则，以及在计算整式的除法时要注意同底数幕的除法运算公式，熟练掌握以上几点是解决本题的

关键.

24.小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材

料，形状为四个相同的正方形）.

（1）这块白铁皮的总面积是多少？

（2）这个长方体盒子的表面积是多少？

（3）这个长方体盒子的体积是多少？

「3abr

【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3.

【解析】

【分析】

（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面枳公式列出算式，计算可得；

（2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运

算法则计算可得；

（3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得.

【详解】

解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2x，

ab)=3abx2ab=6a2b2；

2

(2)这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4X(—ab)2=6a2b2-a2b2=5a2b2：

2

(3)这个氏方体盒子的体积是(3ab-2x,ab)・ab・Lab

22

1

=2ab»ab»­ab

2

=a3b3.

【点睛】

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序

和运算法则.

25.(1)已知2x+5y-3=0,求4、-32丫的值.

(2)已知2x8、X16=2?3,求x的值.

【答案】(1)8;(2)6.

【解析】

【分析】

(1)由2x+5y-3=0可得2x+5=3,根据幕的乘方及同底数幕乘法法则把4*・32丫变形为22X+5Y,把2x+5=3代入求值即

可；(2)根据同底数靠乘法法则把2、8仅16变形为23*+5,可得3X+5=23,解方程求出x的值即可.

【详解】

(1)2x+5y-3=0,

2x+5y=3,

:.4X132*=(22)X'(25)V=22X-25v=22x+5*=23=8.

(2)V2X8XX16=2X23XX24=23X+5=223,

:.3x+5=23,

x=6.

【点睛】

本题考查整式的混合运算，同底数系相乘，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘.熟练掌握运算法则是

解题关键.

26.(-3o3)2»o3+(-4a2)•a1-(5a3)3

【答案】-120。9

【解析】

【分析】

根据题意，按整式的运算顺序先乘方再加减进行运算即可得解.

【详解】

解:原式=9。6七3一444一125。9

9，一4a§一⑵,

=一120。9.

【点睛】

本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握靠运算的公式及整式的加减运算是解决本题的关键.

27.有足够多的长方形和正方形卡片，如下图:

（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长

方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.

这个长方形的代数意义是________________________________

（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2,那么需用2号卡片张，3号卡片

__________张.

【答案】解：（1）图见详解

a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),

（2）3,7.

【解析】

a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)；

(2)1号正方形的面积为a?,2号正方形的面积为b2,3号长方形的面积为ab,所以需用2号卡片3张，3号卡片

7张.

考点2乘法公式-平方差公式

1.下列各式中，不能用平方差公式计算的是()

A.(x+2a)(x-2a)B.(l-2a)(-l+2a)c.(Z?+5c)(5c-Z?)D.(x+2y)(—x+2y)

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意根据平方差公式即a2-b2=(a+b)(a-b)逐个进行判断即可.

【详解】

解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

B、(l-2a)(-l+2a)=-(l-2a)2,不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；

C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

D,能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解答此题的关键.

2.如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为()

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+lab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(tz-1)2=(Z>+1)2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图中边的关系，可求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式.

【详解】

如图，拼成的等腰梯形如下：

上图阴影的面积S=a2-b2,下图等腰梯形的面积s=2(a+b)(a-b)+2=(a+b)(a-b),

两面积相等所以等式成立a?-b2=(a+b)(a-b).这是平方差公式.

故选：A.

bb

aa

【点睛】

本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的

公式.

3.2x(3+l)(3?+1)(3,+1)(38+1)06+1)的计算结果的个位数字是()

A.8B.6C.2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

先将2变形为(3-1),再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可.

【详解】

解：(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)...(3'6+1)

=(32-1)(32+1)(34+1)...(316+1)

=(34-1)(34+1)...(3,6+1)

31=3.3?=9,33=27，3,=81，35=243-36=729-37=2187，3'=6561，一

3"的个位是以指数1到4为一个周期，’幕的个位数字重复出现，

32+4=8,故332与3"的个位数字相同即为1,

/.332-1的个位数字为0,

.-.2x(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键.

4.式子(尤+8)2-6)2(其中x为整数)一定能被()整除.

A.48B.28C.8D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平方差公式进行计算，然后求解.

【详解】

解：(x+8)~—(%—6)~

=[(%+8)+(x-6)][(x+8)—(x-6)]

=(x+8+x—6)(x+8—x+6)

=28(x+1)

...式子(x+8)2—(x—6)2(其中x为整数)一定能被28整除

故选：B.

【点睛】

本题考查平方差公式的计算，掌握公式结构正确计算是解题关键.

5.92a2+31)2)()=4a4-9b4,括号内应填()

A.2a2+3b2B.2a2-3b2C.-2a2-3b2D.-2a2+3b2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平方差公式求解即可.

【详解】

（-2a2+3b2）（-2a2-3b2）=4a4-9b4,

故选c.

【点睛】

本题主要考查平方差公式，平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另

一项互为相反数.相乘的结果是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.

6.（2+1）（22+1）（24+1）……p+l）=（）

A.24"-1B.24"+1C.44"-1D.44"+1

【答案】A

【解析】

【分析】

先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.

【详解】

（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+l）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+l）

=24n-l.

故选A.

【点睛】

本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.

7.利用平方差公式计算（2x-5）（-2x—5）的结果是（）

A.4X2-5B.4X2-25c.25-4/D.4x2+25

【答案】C

【解析】

【分析】

平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2.

【详解】

解：（2X-5）（-2X-5）=-（2X-5）（2X+5）=-（4X2-25）=25-4X2,

故选择C.

【点睛】

本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.

8.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为.

【答案】±4

【解析】•/(2a+2b+l)(2o+2fa-l)=63,

(2a+2勿2-1=63,

(2a+2b)2=64,

2a+2b=±8,

a+b=±4.

故答案为：±4.

7番2019

9.计算：-----5---------------------=.

20192-2020x2018

【答案】2019.

【解析】

【分析】

原式利用数的变形化为平方差公式2020x2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1,计算即可求出值.

【详解】

解：,?2020x2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1

201920192019

•_________________=--------------------------=-------=2019

■,20192-2020x2018-20192-(20192-1)1-

故答案是：2019.

【点睛】

此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键.

10.已知长方形的面积为4aAb)如果它的一边长为a+b,则它的周长为.

【答案】10a-6b

【解析】

【分析】

直接利用多项式除法运算法计算得出其边长，进而得出答案.

【详解】

由题意得,长方形的另一边长为:(4a2-4b2)+(a+b)=4a-4b,

该长方形的周长为：(4a-4b+a+b)x2=10a-6b,

故：应填10a-6b

【点睛】

本题主要考查多项式的除法运算，解题关键是正确掌握运算法则.

11.计算.

1

(1)(0.25x--)(0.25x+0.25)；(2)(x-2y)(-2y-x)-(3x+4y)(-3x+4y)；

4

(3)(2a+b-c-3d)(2a-b-c+3d)；(4)(x-2)(16+x4)(2+x)(4+x2).

【答案](1)—x2-—(2)8x2-l2y2(3)(2a-c)2-(b-3d)2(4)x8-256

1616

【解析】

试题分析：

(1)把小数化为分数，提公因式后用平方差公式计算；

(2)先用平方差公式进行计算，再去括号，合并同类项；

(3)先分组[(2a-c)+(b-3d)][(2a-cMc-3d)],再用平方差公式运算；

(4)将原式化为仅-2)仅+2心2+4心4+16),再用平方差公式运算.

试题解析：

⑴原式如-/

2222

(2)原式=(-2y+x)(-2y-x)-(4y+3x)(4y-3x)=(-2y)2-x-(4y『4-(3x)=8x-12y：

(3)原Ml=[(2a-c)+(b-3d)][(2a・c)・(b-3d)]=(2a-c)2一(6_3dJ:

(4)JM^=(X-2)(X+2)(X2+4)(X4+16)=X8-256.

12.先化简，再求值：(x+2〉)(x-2y)-2)(％-2〉),其中》=一1,y=g.

【答案】2

【解析】

(x+2y)(x-2y)-2y(x-2y)=x2-4y2-2xy+4y2=x2—2xy

当x=-l,y=；时，x2=(-l)2-2x(-l)x-i=2

考点3乘法公式•完全平方公式

1.用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为〃+2力的正方形，需要8类卡片的张数为（）

a

~□ab

a八类|B类|bH]b

A.6B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为(。+2b)2,根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、

C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数.

【详解】

大正方形的面积为：(a+»)2=a2+4ab+4〃

其中/为A类卡片的面积，.•.需要A类卡片一张；

同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张.

故选D.

【点睛】

本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识,

然后再求解.

2.若4a2-2ka+9是一个完全平方式，则k=()

A.12B.±12C.±6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据两平方项确定这两个数，再求完全平方公式的乘积二倍项，即可确定k的值.

【详解】

V4a2+2ka+9是一个完全平方式，

2ka=2x2ax3,或2ka=-2x2ax3,

k=6或k=-6.

故答案为：+6

【点睛】

本题主要考查了完全平方式，解题时注意：完全平方式分两种，一种是和的完全平方公式，就是两个整式的和的平

方；另一种是差的完全平方公式，就是两个整式的差的平方.

3.若9a2+24ab+k是一个完全平方式，则k的值可能为（）

A.2b2B.4b2C.8b2D.16b2

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据平方项与乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式即可确定k的值.

【详解】

解：9a2+24ab+k=（3a）2+2x3ax4b+k,

k=（4b）2=16b2

所以D选项是正确的.

【点睛】

本题主要考查了完全平方式，根据平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点,熟记完全平方公式对

解题非常重要.

4.下列各式中，与仅一2）2相等的是（）

A.X2—4B.X2—4x+4

C.X2—4x—4D.x2+4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据完全平方公式将（X—2产展开可得答案.

【详解】

解：根据完全平方公式有：（X—2）2=x2—4x+4,

故选B.

【点睛】

本题主要考查完全平方公式.

5.已知（x-2015）2+（X—2017）2=34,则（x-2016）2的值是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【解析】

(X-2015)2+(X-2017)2

=(x—2016+l)2+(x-2016-l)2

=(X-2016)2+2(X-2016)+1+(X-2016)2-2(X-2016)+1

=2(X-2016)2+2=34

A(X-2016)2=16

故选D.

点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把仅一2015)2+仅一2017)2化为(x-2016+l)2+(x-2016-l)2,利用完

全平方公式展开，化简后即可求得仅一2016产的值，注意要把x-2016当作一个整体.

6.已知x+1=6,则x2+^-=()

XX

A.38B.36C.34D.32

【答案】C

【解析】

【分析】把x+^=6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求.

X

【详解】把x+^=6两边平方得：(x+L)2=X2+2+2=36,

XXX

则x2+-^-=34,

故选：C.

【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

7.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=()

A.10B.6C.5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方公式可得(加一〃了=加2-2加〃+〃2=8,(加+〃)2=>+2〃"?+“2=2，再把两式相加即可求得结

果.

【详解】

2

解：由题意得(机-n)-=机2-2/7W2+”？=8,(m+H)-=nr+2mn+n=2

把两式相加可得2加？+2M=10>则/+”2=5

故选c.

考点：完全平方公式

点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

3

8.已知实数a、b满足a+b=2,ab=—,则a-b=()

4

55

A.1B.--C.+1D.±-

22

【答案】c

【解析】

分析：利用完全平方公式解答即可.

3

详解：Va+b=2,ab=—,

4

:.(a+b)2=4=a2+2ab+b2,

、5

a2+b2=—>

2

(a-b)2=a2-2ab+b2=l,

a-b=±l,

故选C.

点睛：本题考查J'完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键.

9.计算：(1)(2+3x)(—2+3x)=；

(2)(―a—b)z=.

【答案】9x2-4a2+b2+2ab

【解析】

【分析】

分别利用平方差公式以及完全平方公式进行计算即可得.

【详解】

(2+3x)(-2+3x)

=(3x+2)(3x-2)

=9x2-4；

(-a-b)2

=a2+b2+2ab,

故答案为9x2-4；a2+b2+2ab.

【点睛】

本题考查了平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握这两个公式的结构特征是解题的关键.

10.若4/-kx+25是一个完全平方式，则k=.

【答案】±20

【解析】

【分析】

先根据两平方项确定出公式中的a与b,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值.

【详解】

V4x2-fcx+25是一个完全平方式

4%2—fcx+25=(2x)2+2x2xx5+52

/.k=±20

故答案为：±20

【点睛】

本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出公式中的a与b是解题的关键，也是难点，要注意完全平方公式有

两个，一个是两数和的平方，一个是两数差的平方.

11.已知xy=9,x-y=-3,则％2+》？=.

【答案】27

【解析】

【分析】

把x-y=-3等号两边分别平方后，再把xy=9整体代入即可求解.

【详解】

解：把己知条件x-y=-3等号两边分别平方得(％—y『=9,等号的左边利用完全平方公式得，x2-2xy+y2=9,

再把xy=9代入到尤2-2孙+丁=9中，得f+/=9+18=27.

故答案为27.

【点睛】

此题考查完全平方公式，关键是把=等号左右两边分别平方后，将xy=9整体代入计算，其次掌握整体代入

的思想也是本题中应该注意的地方.

12.m+—=3,贝！Jm2+—.

m"

【答案】7

【解析】

分析•：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案.

详解：把m+'=3两边平方得：（m+，）2=m2+，~+2=9,

mmnr

则m2+=7,

m

故答案为：7

点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

13.如果实数a,b满足a+b=6,ab=8,那么a2+b』.

【答案】20

【解析】

【分析】

【详解】

a+b=6,

（a+b）2=a2+2ab+。？=36,

Vab=8,

・•.c^+b2=36-2ab=36-2x8=20.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.

14.已知。+〃=3,ab=-2,（1）则/十从二.（2）则〃一〃=___.

【答案】13；±V17

【解析】

试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b?+2ab=9,

把ab=-2代入得：a2+b2-4=9,即a2+b2=13；

222；

（a-b）=a+b-2ab=13+4=17,B|Ja-b=±-s/l7.

15.若a-b—8,ah—19,贝！］a2+tr=.

【答案】46

【解析】

【分析】

根据完全平方公式：/+〃=3一。）2+2.。可求得结果

【详解】

a2+b2=(a-bf+2ab=64-l8=46

故答案为：46

【点睛】

22

本题考查了完全平方公式的应用，在完全平方公式中，我们要注意有3个模块：(a土b)、ab、a+b,已知其中的

任意2个模块，通过公式变形，都可求得第三个模块.

16.先化简，再求值：x(x+2)—(x+l)(x—1),其中x=一;.

【答案】2x+l,0.

【解析】

【分析】

根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可.

【详解】

解：x(x+2)—(x+l)(x—1)=X2+2X-(X2-1)=X2+2X-X2+1=2X+1.

当*=-工时候，原式-2x(-1)+l=0.

22

【点睛】

本题考查了整式的混合运算.主要考查了整式的乘法、合并同类项的知识点，注意运算顺序以及符号的处理.

17.先化简后求值：(X—3)2—X(X-4)+(X+3)(X—3),其中X=-1.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x=-l代入化简后的式子即可

解答本题.

【详解】

解：原式=x2—6x+9—x?+4x+x2—9=x2—2x

将x=-l代入

原式=(-1)2—2x(—1)=3

【点睛】

掌握完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项是解答本题的关键.

18.计算：20162-4034x2016+20172

【答案】1

【解析】

【分析】

仔细观察待求式，可将待求式变形为20162-2X2016X2017+20172利用完全平方差公式可得答案.

【详解】

解：原式=20162-4034x2016+20172

=20162-2x2016x2017+20172

=(2016-2017)2=1

【点睛】

本题是一道整数的简便运算题目，需结合题中的算式，根据完全平方公式求解.

19.先化简，再求值：[(x+y)2+(x+y)(x-y)]+2x,其中x=l,y=-l.

【答案】％+原式=0.

【解析】

【分析】

首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值.

【详解】

解原式=(x)+2xy+y"+x2—+

=(2f+2xy^4-lx

=x+y

当x=l,y=-l时，原式=0.

故答案为：原式=x+y,值为0.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的利用，要先对原式进行化简，不要直接带入求解，熟记公式并能灵活

运用是解题的关键.

20.已知。一人=7,ab=-\2.

(1)求a2b-a/的值；

(2)求/+〃的值；

(3)求4+3的值；

【答案】(1)-84：(2)25：(3)±1

【解析】

分析：(I)提取公因式附，把原式变形为。b(b—a)；(2)用完全平方差公式，把原式变形为(a—匕尸+2岫；(3)用平

方根的定义和完全平方公式，把原式变形为土—〃)2+4时.

详解：因为a—b=7,所以b—a=-7.则：

⑴a2b-ab1

=ob(b—a)

=-12X7=-84；

⑵a2~^~b2

—(a—b)2+2ab

=(-7)2+2X(-12)

=25；

(3)a~\~h

=±J(a+b)-

=±+4"

=±J(-7)2+4x(72)

=±1.

点睛：本题考查了完全平方公式，平方根及提公因式法分解因式，解题的关键是要熟悉“一b,ab,a+b,

标+〃，/一按之间的关系.

考点4因式分解

1.已知a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a2+b2+c2—ab-bc-ca的值等于()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

首先把a2+b2+c2-ab-be-ac两两结合为a2-ab+b2-bc+c2-ac,利用提取公因式法因式分解，再把o、b、c代入

求值即可.

【详解】

a2+b2+c2-ab-be-ac

=a2-ab+b2-bc+c2-ac

—a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

当a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013时，a-b=~l,b~c=—l,c一。=2,原式=(2012x+2011)x(

1)+(2012X+2012)x(-1)+(2012X+2013)x2

=-2012x-2011-2012x-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故选D.

【点睛】

本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目.

2.已知xy=-3,x+y=2,则代数式x2y+xy2的值是()

A.-6B.6C.-5D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】

将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.

【详解】

解：xy=-3,x+y=2,

x2y+xy2-xy(x+y)--3x2=6

故答案：A.

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

3.下列从左到右的变形属于因式分解的是()

A.2a(a+1)=2a2+2aB.a2-6a+9=a(a-6)+9

C.a2+3a+2=(a+1)(a+2)D.a2-l=a(a-，)

a

【答案】c

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义判断即可.

【详解】

A.2a(a+1)=2a?+2a是整式的乘法；

B.a2-6a+9=a(a-6)+9不是因式分解;

C.a2+3a+2=(a+1)(a+2)是因式分解；

D.a2-l=a(a-D含有分式不是因式分解.

a

故选c.

【点睛】

本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这

个多项式分解因式。

4.9(m—n)2—25(m+n)2因式分解的结果是()

A.(8m+2n)(―2m—8n)B.—4(4m+n)(m+4n)

C.—4(4m+n)(m—4n)D.4(4m+n)(m+4n)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用平方差公式分解因式进而求出答案.

【详解】

原式-(3加一3〃尸一(5/71+5〃)2

=[(3m-3〃)-(5m+5n)][(3m—3n)+(5m+5n)]

=(—2m—8。)(8m+2n)

=—4(m+4n)(4m+n).

故选B.

【点睛】

本题考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键.

5.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是()

A.-a2-4b2B.-l+25a2C.--9a2D.-a4+l

16

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平方差公式的结构特征逐一进行判断即可.

【详解】

A.-a2-4b2,不符合平方差公式的结构特征，符合题意；

B.-l+25a2=(5a+l)(5a-l),能用平方差公式因式分解，故不符合题意;

C.焉-9a2=（；+3a]（；-3a],能用平方差公式因式分解，故不符合题意；

D.7+1=（1+a2）（1+a）（1-a）,能用平方差公式因式分解，故不符合题意,

故选A.

【点睛】

本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.

6.下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（）

2222

A.16X+4X+1B.16X-8%+1C.4X+4X+4