模型D01 斜中半（解析版）

中点问题一--中点问题一--斜中半模型讲解模型讲解【定理：斜中半】已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC的中线，则：BC＝2AD．【证明】：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE∴△ADB≌△EDC（SAS）∴AB＝CE，∠B＝∠DCE∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC＝EA∵AE＝2AD∴BC＝2AD．【逆定理】如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．则△ABC为直角三角形．【证明】：∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．【模型一】在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：，且．则：（1）BM＝DM（2）BM⊥DM【证明】：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵点M是CE的中点，∴BM＝CE，DM＝CE，∴BM＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∴∠BMD＝2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM．【模型二】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AB的长度恒定，CD是斜边AB的中线，P为平面内一定点（在C运动轨迹之外），连接PC，则：PC+CD的最小值为PD．【证明】：∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD=AD，且长度一定∴C的运动轨迹为：以D为圆心，CD为半径的圆上。∵当P、C、D三点不共线时，PC+CD＞PD∴当P、C、D三点共线时，PC+CD=PD∴PC+CD的最小值=PD例题演练例题演练1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CH＝BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B．2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（）A． B．4 C． D．2【解答】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，由折叠的性质可得：BD＝DE，CB＝CE，则CG为BE的中垂线，故BG＝，∵D为AB中点，∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，即2∠DEB+2∠DEA＝180°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，即∠BEA＝90°，在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：BE＝＝＝，∴BG＝，∵S△ABC＝2S△BDC，∴2×＝，∴CH＝＝＝．故选：C．3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（）A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3【解答】解：如图取AB的中点E，连接EF、EC．∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝3，∵∠AFB＝90°，AE＝EB，∴EF＝AB＝3，∴CF≥EC﹣EF，∴当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为3﹣3，故选：D．强化训练强化训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为AC的中点，∠DBE＝30°，BD＝2，则BC的长为4．【解答】解：∵BD⊥AC，∠DBE＝30°，BD＝2，∴DE＝2，BE＝4，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，∴EC＝AE＝BE＝4，∴CD＝CE+DE＝6，∴BC＝，故答案为：4．2．如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是8．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB＝90°，又D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，∵DF＝3FE，∴EF＝1，∴DE＝4，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE＝8，故答案为：8．二．选择题（共6小题）3．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CH＝BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B．4．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2 B． C．8 D．9【解答】解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．8 B．8 C．4 D．6【解答】解：如图，连接BO，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠DCB＝90°∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，OA＝OC，∵BF＝BE，∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，∴∠EAO＝∠EOA，∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，在RT△BFO和RT△BFC中，，∴RT△BFO≌RT△BFC，∴BO＝BC，在RT△ABC中，∵AO＝OC，∴BO＝AO＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EB＝EF＝4，∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．2+2 B．2 C．2 D．6【解答】解：取AC的中点D，连接OD、DB，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵D是AC中点，∴OD＝AC＝2，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，OD＝AC＝2，∴点B到原点O的最大距离为2+2，故选：A．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（）A．6 B．9 C．3 D．6【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，∵DE⊥DF，G为EF的中点，∴DG＝GE，∴点G在线段DE的垂直平分线上，∵△AED为等边三角形，∴AD＝AE，∴点A在线段DE的垂直平分线上，∴AG为线段DE的垂直平分线，∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，则在△BAC和△BAG'中，，∴△BAC≌△BAG'（AAS）．∴BG'＝BC＝6，故选：D．8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：D．三．解答题（共3小题）9．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．【解答】解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC＝CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．10．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），求证：BM＝DM，且BM⊥DM；（2）如果将图（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图（2），那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明．【解答】解：（1）△BMD是等腰三角形，理由是：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵点M是CE的中点，∴BM＝CE，DM＝CE，∴BM＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∴∠BMD＝2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM；故答案为：BM＝DM且BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．1．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝4，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠EAG＝∠GAF＝30°，∴EG＝GF，∵AE＝2，∴DE＝AE＝2，∴BE＝＝＝2，∵△ABC，△AEF是等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴CF＝BE＝2，∵EN＝CN，EG＝FG，∴GN＝CF＝．（2）结论：∠DNM＝120°是定值．理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，∵EN＝NC，EM＝MF，∴MN∥CF，∴∠ENM＝∠ECF，∵BD＝DC，EN＝NC，∴DN∥BE，∴∠CDN＝∠EBC，∵∠END＝∠NDC+∠