2008年第三章《分式》专题专练

《分式》专题专练河北刘新民专题一：分式有意义、无意义、值为零的条件考查分式有意义、无意义以及值为零的条件，是中考中考查分式概念的重要题型．分式的分母是一个含有字母的式子，分母的值随着式子中字母取值不同而变化，字母所取的值很可能使分母的值为零，这时分式就无意义了，所以分式有意义的条件是分母不等于零;分式的值为零的条件是分子为零并且分母不等于零．例1．若分式的值为零，则x的值为（）A．0B．1C．1D．±1分析：分式的值为零，必须同时满足两个条件①分式的分子等于0；②分式的分母不等于0．解：因为，所以x=±1．代入分母，当x=1时，分母≠0；当x=-1时，分母=0．所以当x=1时，分式的值为零．故应选B．评注：对于此题切不可将分式进行约分，否则就会引起字母的取值范围发生变化．例2．（2007，山东淄博）写出一个含有字母的分式（要求：不论取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负）_____________.分析：本题是列代数式的开放题，通过审题明确本题列代数式的要求：①是含有字母的分式；②不论取任何实数，该分式的分母不等于零；③分式的值恒为负．解：本题的答案不唯一，如、等．评注：当遇到代数式的值恒为正或恒为负时，应将问题转化为非负数或非正数问题．相关练习：1．若的值为零，则x的值是（）A、B、1C、2．当时，分式的值（）A．没有意义B．等于零C．等于1D．等于3．写出一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时有意义的分式__________．4．若分式不论取何实数时总有意义，求的取值范围．5．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案．题目：当x为何值，分式有意义？解：=，由x-2≠0，得x≠2．所以当x≠2时，分式有意义．专题二：分式的基本性质分式的基本性质是分式的重要内容，分式的基本性质与分数的基本性质类似，是分式变形、通分、约分的依据，因而是中考中常考的知识点，涉及到的题型有约分、通分、分式的变形以及化简求值等．分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质．例3．下列各式从左到右的变形正确的是（）A、B、C、D、分析：本题主要考查分式的基本性．分式的基本性质是解决分式运算的原则，应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”与“同”两个字的含义，避免出现只乘分子或分母一项的错误．解：对于A，由分式的基本性质知；对于B，由分式的基本性质知；对于C，由变号法则知；对于D，由变号法则知．综上所述，变形正确的应为A．评注：在应用分式的基本性质解题时，要特别注意性质中都和同这两个字的含义，有不少同学解这类问题时，忽视这一点，犯了不该犯的错误，望引起重视．例4．（2007，安徽芜湖）如果，则=()A．B．1C．D．2分析：对于此题，可以用含有其中的一个字母的代数式表示出另一个字母，再代入、约分即可．解：因为，所以，则，故选B．评注：“主元法”是含条件分式求值的常用方法，它可以有效地起到消元、降次的作用．相关练习：1．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A．不变B．是原来的3倍C．是原来的D．是原来的2．将约分的结果为（）A. B.a6y2C.a2y2 D.axy(2)÷=×==．∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．评注：（1）中对分母用了比差的方法，其中有a>1的隐含条件，是通过题意反映出来的．由“A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下部分”，可知边长a米一定要大于1米，才能留出蓄水池后还有剩余．在解题时，对隐含条件的挖掘，往往在关键时刻显示出重要作用．此外将数学应用问题赋予实际生活背景，考查应用数学知识解决实际问题的能力，是近年来中考命题的思路之一．相关练习：1．化简的结果是（）A． B． C． D．2．下列算式中，你认为错误的是（）A、B、C、D、3．已知两个分式：，，其中，则A与B的关系是（）A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．A大于B4．对于试题：“先化简，再求值：，其中．”某同学写出了如下解答：解：.当时，原式．她的解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答．5．甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米，两次大米的价格有变化，但他们两人购买的方式不一样，其中甲每次总是购买相同重量的大米，乙每次只能拿出相同数量的钱来买米，而不管能买多少，问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由．专题四：分式方程的解法分式方程的解法是分式方程应用的基础，在近两年中考中，关于分式方程解法的题目日益增多．分式方程是转化为一元一次方程来求解的，它是通过去分母实现转化的．此外，分式方程的增根也应引起同学们的注意．分式方程的增根须满足的以下两个条件：（1）是由分式方程化成的整式方程的根；（2）使分式方程中的最简公分母为零．例7．（2007，甘肃陇南）解方程：．分析：因为与互为相反数，所以可提取负号，先变为同分母分式，再去分母，将分式方程化为整式方程．解：原方程即，方程两边都乘以()，得．经检验是原方程的增根，∴原方程无解．评注：去分母的关键是找出最简公分母，将分式方程转化为整式方程，但还应注意：（1）灵活运用分式符号法则，有时将能使最简分母更简单，（2）方程两边同乘以最简公分母时，别忘了常数项相乘（3）当去分母时，分数线消失，应在分子部分添上括号，并且要特别注意符号．例8．（2007，湖北娄底）若方程无解，则m的值为（）A．B．3C．或3D．或分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解．解：去分母，得(3-2x)-(2+mx)=3-x,整理,得(m+1)x=-2．若m+1=0，则m=，此时方程无解；若m+1≠0，则x=是增根．因为=3，所以m=．所以m的值为或，故应选D．评注：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到．相关练习：1．分式方程的解为（）A.B.C.D.2．解分式方程时，去分母后得()A.B.C.D.3．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．或4．解方程：．5．已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围．专题五：分式方程的应用在近两年的中考中，分式方程应用的题目一直不少，小到选择、填空，大到解答题，都有分式方程应用的题目，所以作为一种方程类型，分式方程的应用一定要引起同学们的高度重视，掌握解题的方法和步骤．列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，解题的关键是，认真审题，找出题中的等量关系．列分式方程解应用题时必须验根，一是检验求出的根是不是原分式方程的根；二是检验求出的根是否符合实际问题．例9．（2007，山东威海）甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．分析：本题可以根据以下两种数量关系列方程求解：⑴列车提速前的时间－提速后的时间＝11小时；⑵列车提速前的速度×3.2＝列车提速后的速度．解：解法一：设列车提速前的速度为千米/时，则提速后的速度为千米/时，根据题意，得．解这个方程，得．经检验，是所列方程的根．（千米/时）．所以列车提速后的速度为256千米/时．解法二：设列车提速后从甲站到乙站所需时间为小时，则提速前列车从甲站到乙站所需时间为小时，根据题意，得．解这个方程，得．经检验，是所列方程的根．所以列车提速后的速度为＝＝256千米/时．评注：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系．设好末知数，列出方程，不同之处是，所列方程是分式方程，最后要进行检验，既要检验是否为所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意．相关练习：1．某化肥厂原计划每天生产化肥吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合的方程是（）A.B.C.D.2．甲乙两地相距135千米，两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，小汽车和大汽车的速度之比为5：2，则小汽车的速度是_____千米/时．3．某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m34．某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？5．为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，我校组织了捐款活动．小华对七年级八年级两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息：信息一：七年级共捐款300元，八年级共捐款232元．信息二：八年级平均每人捐款钱数是八年级平均每人捐款钱数的．信息三：七年级比八年级多2人．请你根据以上三条信息，求出七年级平均每人捐款多少元．相关练习参考答案专题一1．C2．A3．不唯一，如4．，根据题意可知，由于，所以，即．5．在分式的分子、分母同除以(x+1)可能为零的代数式，扩大了x的取值范围．正解:由(x+1)(x-2)≠0，得x+1≠0，且x-2≠0，所以x≠-1且x≠2．当x≠-1且x≠2时，分式有意义．专题二1．A2．B3．A4．（1）原式；（2）原式．5．把的分子分母同时除以，得，把代入，原式＝.专题三1．A2．B3．C4．正确；．5.设两次大米的单价分别为元/千克、元/千克（），则甲平均每千克花了元，乙平均每