高中数学离散型随机变量复习课件新人教版选修

2.1.1离散型随机变量

1.理解随机变量的意义.2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散型随机变量的例子.3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量.1.本课重点是随机变量的概念、离散型随机变量的概念.2.本课难点是对随机变量的概念的理解.1.随机变量(1)定义:随着_________变化而变化的变量.(2)表示:随机变量常用字母___,___,____,____表示.2.离散型随机变量离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能_____________.试验结果XYξ

η一一列举出来1.是否所有的随机变量的取值均可以一一列出？提示：不是.2.随机变量与函数的区别与联系是什么?提示：区别随机变量是把试验结果映射为实数,函数是两个非空数集之间的映射.联系随机变量与函数都是特殊的映射.3.同时抛掷3枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．【解析】同时抛掷3枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3.答案：{0,1,2,3}4.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ=3表示的试验结果是_______．【解析】ξ=3表示的试验结果是共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品1.对随机变量的两点认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量,由试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量,随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果,试验的结果对应着随机变量的值.(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ=0表示正面向上，ξ=1表示反面向上.2.对离散型随机变量的两点认识(1)判断依据：随机变量的取值能一一列出,这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键.(2)取值特点：离散型随机变量的取值可以是有限个,如取值1,2,3,…,n;也可以是无限个,如取值为1,2,…,n,….

随机变量的概念【技法点拨】随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.【典例训练】1.下列变量中，不是随机变量的是()(A)一射击手射击一次命中的环数(B)标准状态下，水沸腾时的温度(C)抛掷两枚骰子，所得点数之和(D)某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()(A)取到产品的件数(B)取到正品的概率(C)取到次品的件数(D)取到次品的概率【解析】1.选B.B中水沸腾时的温度是一个确定值．2.选C.A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B,D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．【思考】(1)随机变量的判断依据是什么？(2)若变量x对应一个值，则该变量是否为随机变量？提示：(1)随机变量的判断依据是变量的取值是否具有可变性.(2)不是.若变量x对应一个值，则该变量是常量，如题1中的选项B,题2中的选项B,D.【变式训练】抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为()(A)掷骰子的次数(B)骰子出现的点数(C)出现1点或2点(D)以上都不正确【解析】选B.由于抛掷一枚均匀骰子一次，骰子出现的点数是随机的，结合随机变量的概念可知，骰子出现的点数可以作为随机变量.

随机变量的取值【技法点拨】解答此类问题的关键及注意点(1)关键：关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值对应随机试验的结果.(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.【典例训练】1.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()(A)5(B)9(C)10(D)252.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ；(2)某网站在单位时间内被点击的次数η．【解析】1.选B.两个球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个结果．2.(1)ξ可取3，4，5．ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4;ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．(2)η可取0，1，2，…，n，…．η=i，表示该网站在单位时间内被点击i次，其中i=0，1，2，…．【互动探究】把题1中的“有放回”换成“不放回”，结果如何？【解析】两个球号码之和可能为3,4,5,6,7,8,9.【思考】随机变量的一个取值只能对应一个试验结果吗？反之呢？提示：(1)随机变量的一个取值不一定只对应一个试验结果，如本题2中的“ξ=5”.(2)随机试验的一个结果只能对应随机变量的一个取值.【变式训练】(2012·天水高二检测)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是()(A)第一枚6点，第二枚2点(B)第一枚5点，第二枚1点(C)第一枚2点，第二枚6点(D)第一枚6点，第二枚1点【解题指南】先分析两枚骰子的所有可能的取值，再计算ξ的值，进而指出“ξ>4”表示的试验结果.【解析】选D.因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ＞4”即“ξ=5”．所以，“ξ＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．应选D.

离散型随机变量的判断【技法点拨】“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值能否被一一列举出来,若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.【典例训练】1.下列变量中，不是离散型随机变量的是()(A)从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张，被取出的号数ξ(B)连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η(C)某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1(D)电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1

2.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值．(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.【解析】1.选C.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张，被取出的号数ξ的可能取值为1，2，3，4，5，故A是离散型随机变量；连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η的可能取值为1，2，3，4，5，…，故B是离散型随机变量;某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1，其取值不能够一一列出，故C不是离散型随机变量;电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1的可能取值为1，2，3，4，5，…，故D是离散型随机变量，所以答案选C.2.(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球2个黑球取得2个白球1个黑球取得3个白球(2)由题意可得：η=5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21．显然，η为离散型随机变量．

【想一想】离散型随机变量的取值是否一定有有限个？若ξ是随机变量，η=aξ+b,a,b是常数，则η也是随机变量吗？提示：(1)不一定，如本题1中B选项中射击次数η的取值.(2)是随机变量，因为η是ξ的一次函数.【变式训练】随机变量X是某城市1天之中发生的火灾次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度,随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数，这三个随机变量中不是离散型随机变量的是()(A)只有X和ξ(B)只有Y(C)只有Y和ξ(D)只有ξ【解题指南】分析三个变量的取值哪一个不具有一一列举性.【解析】选B.某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B.【规范解答】离散型随机变量的应用【典例】(12分)某校为学生做校服，规定凡身高不超过160cm的学生交校服费80元，凡身高超过160cm的学生，身高每超出1cm，多交5元钱(身高不足1cm时按1cm计).若学生应交的校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？【解题指导】【规范解答】由于该校的每一个学生对应唯一的身高，并且取整数值(不足1cm时按1cm计①)，...........4分因此ξ是一个离散型随机变量...............6分由题意，得②........10分所以η是一个离散型随机变量..............12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)失分警示

①在求解过程中，若注意不到①处的规定，则在实际解答过程中可能会导致“随机变量ξ”判断错误，进而导致“随机变量η”判断错误.

②在求解过程中，若“ξ是一个离散型随机变量”判断无误，但②处求解错误，则在实际考试中，得分不可能超过6分，这是基本的函数问题，求解时只要细心完全可以避免.

解题启示(1)对于具有实际情景的随机变量的类型判别问题，求解时务必结合实际意义求解，切勿依据常规思维随便下结论.(2)离散型随机变量的取值特点为：可以一一列出.【规范训练】(12分)(2012·天水高二检测)某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费.若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费).这位司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？【解题设问】(1)租车费η是行车路程ξ的分段函数吗？______

(2)要求“因故停车累计的时间”，关键要求什么？________________.不是行车路程ξ的值【规范答题】(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2..............................6分(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，................8分所以5×(18-15)=15．.....................10分即出租车在途中因故停车累计最多15分钟．.......................................12分1.袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()(A)取到的球的个数(B)取到红球的个数(C)至少取到一个红球(D)至少取到一个红球的概率【解析】选B.A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．2.抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是()(A)一颗是3点，一颗是1点(B)两颗都是2点(C)两颗都是4点(D)一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点【解析】选D.A，B中表示的是随机试验的某一种结果，随机变量均取值4，而D是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它对应的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．3.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X