专题5.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型）（解析版）

专题5.8二次函数重难点应用题归纳（六大题型）重难点题型归纳【题型1运动类-落地类型】【题型2运动类-最值类型】【题型3经济类问题-与一次函数综合问题】【题型4经济类问题-每每问题】【题型5面积类问题】【题型6拱桥类问题】【模型1：运动类】（1）落地模型最值模型【模型2：经济类】销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；【模型3：面积类】【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1运动类-落地类型】【典例1】（2023秋•台江区校级月考）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．​（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【答案】（1）y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）该男生在此项考试中不能得满分．【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，解得：a＝﹣，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）该男生在此项考试中不能得满分，理由：令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），∵9＜11，∴该男生在此项考试中不能得满分．【变式1-1】（2023秋•姑苏区校级月考）2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（）A．1米 B．3米 C．4米 D．米【答案】C【解答】解：令y＝0，则﹣x2+x+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴球落地点A到O点的距离是4米，故选：C．【变式1-2】（2023•南关区校级四模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（）A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5【答案】B【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝2，∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣2）2+k，代入原点坐标得0＝a（0﹣2）2+k，解得k＝﹣4a，∴h＝a（t﹣2）2﹣4a，令h＝0得a（t﹣2）2﹣4a＝0，解得t1＝0，t2＝4，∴一个球从出发到落地用时4秒，∵整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），∴，解得2≤t＜4，故选：B．【变式1-3】（2022秋•高邑县期末）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【答案】B【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，由题意，得10＝a+，a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．OB＝3m．故选：B．【变式1-4】（2022秋•开封期末）如图，当某运动员以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列结论不正确的是（）A．小球从飞出到落地要用4s B．小球飞行的最大高度为20m C．当小球飞出时间从1s到2s时，飞行的高度随时间的增大而减小 D．当小球飞出时间从3s到3.8s时，飞行的高度随时间的增大而减小【答案】C【解答】解：当h＝0时，20t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝4，∴小球从飞出到落地要用4s，故A选项正确，符合题意；∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值，即小球飞行的最大高度为20m，故B选项正确，符合题意；∵a＝﹣5＜0，∴当0＜t＜2时，h随t的增大而增大，故C选项错误，符合题意；当2＜t＜4时，h随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；故选：C．【变式1-5】（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A．1 B． C． D．4【答案】B【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，当x＝4时，y有最大值，y最大值＝，因此，板球运行中离地面的最大高度为．故选：B．【变式1-6】（2022秋•韩城市校级月考）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（）A．85米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米．故选：B．【变式1-7】（2023秋•海淀区期中）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m01234竖直高度y/m1.62.12.42.52.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为2.5m；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小（填“大”或“小”）．【答案】（1）①2.5；②8m；（2）小．【解答】解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x＝＝3，当x＝3时，y＝2.5，故答案为：2.5；②设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2.5，∵当x＝0时，y＝1.6，∴1.6＝a×32+2.5，解得a＝，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2.5，当y＝0时，0＝（x﹣3）2+2.5，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，答：小刚第一次的投掷距离为8m；（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【题型2运动类-最值类型】【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．【变式2-1】（2022秋•沧州期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为（）米．A．51 B．50 C．20 D．1【答案】A【解答】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴礼炮升到最高点的高度是51米．故选：A．【变式2-2】（2022秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t＝﹣＝﹣＝6，∴从点火升空到引爆需要的时间为6s，故选：D．【变式2-3】（2021秋•纳溪区期末）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（）A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s【答案】D【解答】解：当刹车距离为4m时，即可得y＝4，代入二次函数解析式得：4＝x2．解得x＝±10，（x＝﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选：D．【变式2-4】（2021秋•费县期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定【答案】C【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，∴当t＝时，S取得最大值，即汽车刹车后到停下来前进了秒，故选：C．【变式2-5】（2020秋•锡山区校级月考）汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车就刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是（）A．6米 B．12米 C．96米 D．108米【答案】B【解答】解：y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∴x＝6（秒）时，汽车静止，此时滑行了108（米），故当x＝4（秒）时，y＝﹣3x2+36x＝96（米），故汽车静止前2秒内滑行的距离是108﹣96＝12（米），故选：B．【题型3经济类问题-与一次函数综合】【典例3】（2023秋•南宁月考）南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）【答案】（1）y＝﹣x+20；（2）30吨；（3）24吨，65.2万元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；（2）依题可得6.2x≤248，解得x≤40设销售收入为P万元，∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x+20）x＝﹣x2+16π，，解得x1＝30，x2＝50（舍去），∴原料的质量为30吨时，销售收入为300万元；（3）设销售总利润为W（万元），∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，W＝﹣（x﹣24）2+65.2，∵﹣＜0，∴当x＝24时，W有最大值为65.2，∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．【变式3-1】（2023•青山区模拟）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．注：销售利润＝售价﹣成本．【答案】（1）日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；（2）在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；（3）a的值为6．【解答】解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入得：，解得：，即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；（2）设日销售利润为w元，w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；∵﹣＜0，1≤x≤20，且x为整数，∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；（3）∵日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x为整数），∴前20天最高日销售量为x＝1时，即p＝78（盏），∵销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．∴前20天最高日销售价格为当x＝20时，即y＝30元，由题意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），∴a的值为6．【变式3-2】（2023秋•琅琊区校级月考）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x（元/件）130140销售量y（件/天）8060（1）直接写出y关于售价x的函数关系式；（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？（3）若某天的利润不低于2000元，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）y＝﹣2x+340；（2）W＝﹣2x2+540x﹣34000；当销售单价定为135时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为2450；（3）120≤x≤140．【解答】解：（1）设y关于售价x的函数关系式为y＝kx+b，将（130，80）、（140，60）代入y＝kx+b得，解得，∴y关于售价x的函数关系式为y＝﹣2x+340；（2）由（1）知，每天的销售量为y＝﹣2x+340，∵商品进价为100元/件，∴W与x之间的函数关系式为W＝（﹣2x+340）（x﹣100）＝﹣2x2+540x﹣34000；∵100＜x≤140，∴W＝﹣2x2+540x﹣34000＝﹣2（x﹣135）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝135时，W有最大值，为2450，答：当销售单价定为135时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为2450；（3）由（2）知，W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+540x﹣34000，∴当某天的利润不低于2000元时，令﹣2x2+540x﹣34000＝2000，即（x﹣135）2＝225，解得x＝120或x＝150，∵100＜x≤140，∴120≤x≤140．【变式3-3】（2022秋•池州期末）某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供的信息如图：（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）3月份每千克的售价是﹣×3+7＝5（元），3月份每千克的成本是×（3﹣6）2+1＝4（元），则每千克的收益是5﹣4＝1（元）；（2）这种蔬菜的收益w＝（﹣x+7）﹣[（x﹣6）2+1]，即w＝﹣x2+x﹣6＝﹣（x2﹣10x+25﹣25）﹣6＝﹣（x﹣5）2+，则5月份收益最大．【题型4经济类问题-每每问题】【典例4】（2022秋•莘县校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得2x2﹣60x+400＝0解得x1＝20，x2＝10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]＝﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【变式4-1】（2023•广西模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+550；（2）70元；（3）80元．【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【变式4-2】（2023•鄂伦春自治旗一模）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得：x1＝60，x2＝80，当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，又∵﹣10＜0．当x＝70时，w取最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．【变式4-3】（2022秋•定远县期末）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．（1）请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；（2）设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？（3）请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得y＝（140﹣60+x）（90﹣•5）即y＝﹣x2+50x+7200；（2）8000元的利润不是为该天的最大利润，∵y＝﹣（x2﹣100x+2500）+1250+7200＝﹣（x﹣50）2+8450，∴当x＝50即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元；（3）由﹣x2+50x+7200＞0得x2﹣100x﹣14400＜0，即（x﹣180）（x+80）＜0，解得﹣80＜x＜180，故60＜x+140＜320，由题意可知当客房的定价为：大于60元而小于320元时，宾馆就可获得利润．【题型5面积类问题】【典例5】（2022秋•蒙城县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8；（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m．【变式5-1】（2022秋•庄河市期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：y＝x＝﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，∵20＜25，∴当x＝20时，y有最大值200平方米即当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大．【变式5-2】（2023•汶上县一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】（1）x的值为2m；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【解答】解：（1）如图：∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD＝2x，∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，依题意得：3x（8﹣x）＝36，解得：x1＝2，x2＝6（不合题意，舍去），答：此时x的值为2m．（2）设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵﹣3＜0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x＝时，S有最大值，最大值为（m2）．答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为30﹣3x米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案为：30﹣3x；（2）∵墙最大可用长度为12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值为7；（3）设矩形的面积为S平方米，则S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【变式5-5】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为（21﹣3x）m，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．【变式5-6】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一边长为90cm，∴矩形的另一边为3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值为12cm．②S侧＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，当x＝时，S最大＝，答：纸盒的侧面积最大为平方厘米．（2）设EF＝2m，则EH＝7m，则侧面积为2（7mx+2mx）＝18mx，底面积为7m×2m＝14m2，由题意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，则AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x•9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值为10．【变式5-7】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为（21﹣3x）m，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．【变式5-9】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一边长为90cm，∴矩形的另一边为3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值为12cm．②S侧＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，当x＝时，S最大＝，答：纸盒的侧面积最大为平方厘米．（2）设EF＝2m，则EH＝7m，则侧面积为2（7mx+2mx）＝18mx，底面积为7m×2m＝14m2，由题意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，则AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x•9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值为10．【题型6拱桥类问题】【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的表达式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+5；（2）“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【解答】解：（1）根据已知可得，A（﹣10，0），抛物线顶点C（0，5），设抛物线的表达式为y＝ax2+5，把A（﹣10，0）代入得：100a+5＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+5；（2）设点G的坐标为（t，﹣t2+5），根据题意得HG＝2t，GF＝﹣t2+5，∵EH+HG+GF＝18.4m，∴2t+2（﹣t2+5）＝18.4，解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去），∴HG＝12m，GF＝3.2m，∴EO＝HG＝6（m），∴AE＝AO﹣EO＝4（m）．答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．【变式6-1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【答案】A【解答】解：∵AB＝30米，∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，当水位上升5米时，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此时水面宽CD＝20米，故选：A．【变式6-2】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【答案】A【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣3，﹣3）点，故﹣3＝9a，a＝﹣，故y＝﹣x2，故选：A．【变式6-3】（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【答案】A【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴点B与点D关于对称轴对称，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，故选：A．【变式6-4】（2023•榆阳区二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：由于两盏警