新疆维吾尔自治区和田地区民丰县2023届高三上学期期中考试数学（文）试题（ 含答案解析 ）

2022~2023学年度第一学期和田地区民丰县期中教学情况调研高三数学文科注意事项：1.本试卷包含选择题和非选择题两部分.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.本次考试时间为120分钟，满分值为150分.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号（考试号）用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的数字标号涂黑.3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效.一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵z，∴复数z的虚部为．故选：D【点睛】本题考查的是复数的运算及其概念，较简单.2.已知，集合，，记，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出即可得解.【详解】由题：已知，集合，，记，，则.故选：A【点睛】此题考查根据已知条件求解集合中的元素，再求集合的交集.3.已知等比数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】解：设等比数列的公比为，，，化为，解得，解得．则．故选：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质可求得的值，再利用等比中项的性质可求得所求代数式的值.【详解】由题意可知，对任意的，，由等比中项的性质可得，则.因此，.故选：C.5.已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真的是（）A.p∧q B.p∨q C.¬p D.(¬p)∧(¬q)【答案】B【解析】【分析】判断p，q的真假，根据复合命题真假判断即可.【详解】因为命题p：2是偶数是真命题，命题q：2是3的约数是假命题，所以p∨q为真命题.故选：B【点睛】本题主要考查了复合命题的真假的判定，属于容易题.6.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是A.1 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据循环语句，依次执行，并判断是否结束循环，直到结束循环得结果.【详解】执行循环得：；；；；结束循环，输出.故选：D.7.某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图的数据，由正四棱锥体性质，根据勾股定理可得结果.【详解】由三视图可知该正四棱锥，底面正方形对角线长是，可得底面边长为2，高为3，所以正四棱锥侧棱长为，故选：B.8.定义在上的函数对于任意两个不相等的实数，恒有成立，在直线的左上方的动点满足不等式组，设动点所在的平面区域为，点，若区域内存在点M，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先找出动点满足不等式组，然后画出其表示的平面区域，再数形结合转化斜率问题求解.【详解】由条件知在上是增函数,则由,得,即又动点在直线的左上方,所以则动点满足不等式组为，画出其表示的平面区域如图阴影部分所示.由题意,得,则不等式等价于由平面区域知,所以,则由题意知不大于的最大值,此时只须求的最大值而表示平面区域内的动与定点所在直线的斜率，其最大值为,即的最大值为，所以故选：B【点睛】关键点点睛：本题有四个关键，第一，就是利用单调性把动点满足不等式组表示出来；第二，就是准确作出可行域；第三，就是直译，然后分离变量转化为最值问题；第四，就是数形结合，转化为斜率问题.9.函数的最小正周期为，其图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数周期以及平移后函数是奇函数，求得参数；再求函数在区间上的值域即可.【详解】因为的最小正周期为，故可得，又，解得；故，将其向右平移个单位，可得，又因为其是奇函数，故可得，又，故可得.综上所述，，又，则，故在区间上的最大值为.故选：.【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求参数值，以及求正弦型函数在区间上的值域，属综合基础题.10.若且，则的最小值是A.6 B.12 C.24 D.16【答案】D【解析】【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值11.方程的根的情况是（）A.有两个大于3的根 B.有两个小于3的根C.有一个大于3根一个小于3的根 D.仅有一个实数根【答案】C【解析】【分析】将方程根的情况转化为的图像交点情况，观察图像即可得结果.【详解】解：由得，设，作出图像如图：由图像可得的图像有个交点，则方程有两个根，有一个大于3的根一个小于3的根.故选：C.【点睛】本题考查方程根的分布问题，最主要的方法就是转化为函数交点问题来解决，是基础题.12.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可【详解】由可知，该函数为偶函数，不对；可考虑的情况，，因为，又.函数在上为增函数，故选：A.二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数___________.【答案】(答案不唯—)【解析】【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式【详解】解：因为是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，所以，或，或等（答案不唯—)，故答案为：（答案不唯一）14.已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】是的充分条件得到，列不等式组得解.【详解】由，∴，即∴.故答案为：【点睛】本题考查命题的充分必要条件，利用集合子集关系是解题关键.15.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，求出外接球的半径，取的中点，当截面时，截面的面积最小，利用勾股定理求出截面圆的半径，即可得解；【详解】解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，∴，∴，取的中点，∴为的外接圆圆心，∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小，∵，此时截面圆的半径为，∴截面面积为，当截面过球心时，截面圆的面积最大为，故截面面积的取值范围是.故答案为：16.已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】由，当时，无解，适合题意；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得，综上知，故填.三、解答题；本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最值.【答案】（1）（2）函数最大值，最小值.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换公式化简后求解（2）由三角函数性质求解【小问1详解】.【小问2详解】当时，，则当，即时，函数取到最大值；当，即时，函数取到最小值.所以，函数最大值，最小值.18.如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线和所成的角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知该四面体为以为底面，以为高的四面体，可得四面体体积；（2）连接，，可得即为异面直线和所成的角的平面角，根据余弦定理可得角的大小.【小问1详解】解：连接，，，以，，，为顶点的四面体即为三棱锥，底面的面积，高，则其体积；【小问2详解】解：连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角，在中，，，，则，故，即和所成的角的的大小为.19.“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．（1）求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：（2）设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）求出A学生每轮得一分概率，进而求出经过2轮抢答A赢得比赛的概率；（2）求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望.【小问1详解】记事件C为“经过2轮抢答A赢得比赛”A学生每轮得一分的概率，B学生每轮得一分的概率，，所以经过2轮抢答A赢得比赛的概率为．【小问2详解】X的可能取值为2，4，5．2轮比赛甲赢或乙赢的概率为，4轮比赛甲赢或乙赢的概率为，5轮比赛甲赢或乙赢的概率为．X的分布列为：X245P，数学期望为．20.已知椭圆的右焦点为F.（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【答案】（1）焦点，离心率（2）是过x轴上的定点；定点【解析】【分析】（1）由椭圆的标准方程即可得出；（2）直线过点F，可得，代入椭圆的标准方程可得：.（依题意）.设，，可得根与系数的关系，点P关于x轴的对称点为，则.可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出.【详解】（1）椭圆，，解得，焦点，离心率.（2）直线过点F，，.由，得.（依题意）.设，，则，.点P关于x轴的对称点为，则.直线的方程可以设为，令，.直线过x轴上定点.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.21.如图．已知抛物线，直线过点与抛物线C相交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线相交于点T，过A，B分别作x轴的平行线与直线上交于M，N两点．（1）证明：点T在直线l上，且；（2）记，的面积分别为和．求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，设直线AB：，，利用导数的几何意义，分别求得过点A、B的切线方程，联立可求得点T，再将直线AB与抛物线C联立，根据韦达定理，可得表达式，代入即可得T点坐标，经检验满足直线l方程，又，可得T为M、N中点，即可得证.（2）由（1）可得，表达式，进而可得表达式，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案.【详解】（1）因为AB不平行x轴，设直线AB：，，因为，不妨令，则，所以，所以，所以过点A的切线方程，整理得同理，过点B的切线方程为，两方程联立，解得，又，联立可得，所以，代入可得，满足，所以点T在直线上.又，所以，所以T为M、N的中点，即.（2）由（1）可得，所以，同理，所以，当时，有最小值【点睛】解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，并灵活应用，难点在于计算难度大，对于抛物，过点抛的切线，可利用导数求切线，也可以直接代入公式，可简化计算，属中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于､两点(在轴上方)，求的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数即可得出直线的普通方程；根据可得曲线的直角坐标方程.（2）写出直线参数方程的标准形式，再将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数的几何意义即可得出结果.【详解】（1），两式作差可得；，所以（2）直线的一个参数方程为(为参数)代入到中得设､对应的参数分别为､则，【选修4-5：不等式选讲】23.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．如果按照街道的垂直和平行方