高中数学人教A版选修2-1模块综合测试及高中数学试卷

厚德教育第第页高中数学人教A版选修2-1模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋eq\f(1,4)<0”；命题q：“存在x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2)成立”．则下列判断正确的是()A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．綈p∧q为真命题D．綈p∨綈q是假命题解析：易知p假，q真，从而可判断得C正确．答案：C2．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵lna>lnb⇔a>b>0，(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b⇔a>b.而a>b>0是a>b的充分而不必要条件．∴“lna>lnb”是“(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b”的充分而不必要条件．答案：A3．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：B4．以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1解析：由eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1，得eq\f(y2,12)－eq\f(x2,4)＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)、(0，－4)，顶点坐标为(0,2eq\r(3))、(0，－2eq\r(3))．∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：D5．以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：由eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故eq\f(p,2)＝3.∴抛物线方程为y2＝12x.答案：A6．已知椭圆eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±eq\f(\r(15),2)yB．y＝±eq\f(\r(15),2)xC．x＝±eq\f(\r(3),4)yD．y＝±eq\f(\r(3),4)x解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2.而由双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1，得渐近线为y＝±eq\r(\f(3n2,2m2))x＝±eq\f(\r(3),4)x.答案：D7．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则()A．四点O、A、B、C必共面B．四点P、A、B、C必共面C．四点O、P、B、C必共面D．五点O、P、A、B、C必共面解析：由已知得＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)，而eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，∴四点P、A、B、C共面．答案：B图18．如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(A．{eq\f(π,2)}B．{α|eq\f(π,6)≤α≤eq\f(π,2)}C．{α|eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)}D．{α|eq\f(π,3)≤α≤eq\f(π,2)}解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM上，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A图29．如图2，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋，则||2的值为()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(10－\r(2),4)D.eq\f(9,4)解析：由题可知||＝1，||＝1，||＝eq\r(2).〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.∴||2＝(eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋)2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋－eq\f(1,2)·＋·－·＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋2－eq\f(1,2)×1×1×eq\f(1,2)＋1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(9,4).答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为(A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)解析：建立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)．∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0.))令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，图3∴cos〈n，〉＝＝eq\f(－2,\r(3)·\r(2))＝eq\f(－\r(6),3).∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3).∴直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).答案：C11．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)图4解析：由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图4.又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3又∵c>a，∴a<c≤3a∴1<eq\f(c,a)≤3，即1<e≤3.答案：B12．(2011·全国高考)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A．7πB．9πC．11πD．13π图5解析：由圆M的面积知圆M的半径为2，|OM|＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).|ON|＝|OM|·sin30°＝eq\r(3).从而圆N的半径r＝eq\r(42－3)＝eq\r(13)，所以圆N的面积S＝πr2＝13π.故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)图613．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)解析：＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c14．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－eq\f(b,a)}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p∧q”“p∨q”及“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．解析：p为假命题，因为a符号不定，q为假命题，因为a、b大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，綈p真．答案：綈p15．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．图7解析：如图7，根据定义，d1即为P到焦点(1,0)的距离，∴d1＋d2的最小值也就是焦点到直线的距离．∴(d1＋d2)min＝eq\f(|1＋2×0－12|,\r(5))＝eq\f(11\r(5),5).答案：eq\f(11\r(5),5)16．有下列命题：①双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1与椭圆eq\f(x2,35)＋y2＝1有相同的焦点；②“－eq\f(1,2)<x<0”是“2x2－5x－3<0”的必要不充分条件；③若a与b共线，则a，b所在直线平行；④若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；⑤∀x∈R，x2－3x＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你认为正确的命题的序号填在横线上)解析：①中，双曲线ceq\o\al(2,1)＝25＋9＝34，椭圆ceq\o\al(2,2)＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x2－5x－3<0，∴－eq\f(1,2)<x<3.又－eq\f(1,2)<x<0⇒－eq\f(1,2)<x<3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；③中，a和b所在直线可能重合，故③错；④中，a，b，c可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x∈R，x2－3x＋3≠0成立．答案：①⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p∨q为真，綈p为真，求m的取值范围．解：对p：∵直线与圆相交，∴d＝eq\f(|1－m|,\r(2))<1.∴－eq\r(2)＋1<m<eq\r(2)＋1.对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,f(0)<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,f(0)>0.))解得0<m<4.又∵綈p为真，∴p假．又∵p∨q为真，∴q为真．由数轴可得eq\r(2)＋1≤m<4.故m的取值范围是eq\r(2)＋1≤m<4.18．(12分)已知椭圆D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－m)2＝9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．当m＝5时，求双曲线G的方程．解：椭圆D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1的两焦点为F1(－5,0)、F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.当m＝5时，圆心为(0,5)，半径为r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(a2＋b2))＝3⇒a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.19．(12分)已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体，(1)化简eq\f(1,2)＋＋eq\f(2,3)，并在图中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的eq\f(3,4)分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．图8解：(1)如图8，取AA′的中点E，D′F＝2FC′，＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(2,3).(2)＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)＝eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(3,4)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)，∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).20．(12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对一切实数x均成立？解：假设存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对一切实数x均成立，∵f(x)的图象过点(－1,0)，∴a－b＋c＝0.①∵x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对一切x∈R均成立，∴当x＝1时，也成立，即1≤f(1)≤1，∴f(1)＝a＋b＋c＝1，②由①②得b＝eq\f(1,2)，故原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,2)x＋\f(1,2)－a≥0，,(1－2a)x2－x＋2a≥0))恒成立．当a＝0或1－2a＝0∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1≤0，,Δ2≤0，,a>0，,1－2a>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－4a(\f(1,2)－a)≤0，,1－8a(1－2a)≤0，,a>0，,1－2a>0.))∴a＝eq\f(1,4).∴c＝eq\f(1,2)－a＝eq\f(1,4).∴存在一组常数：a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,4)，使不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)对一切实数x均成立．图921．(12分)(2011·辽宁高考)如图9，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．图10解：如图10，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以·＝0，·＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQDC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－x＋2y－z＝0.))因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－eq\f(\r(15),5).故二面角Q－BP－C的余弦值为－eq\f(\r(15),5).22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－即3＋4k2－m2>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(8mk,3＋4k2)，,x1·x2＝\f(4(m2－3),3＋4k2).))又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3(m2－4k2),3＋4k2)，∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴kAD·kBD＝－1，即eq\f(y1,x1－2)·eq\f(y2,x2－2)＝－1.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴eq\f(3(m2－4k2),3＋4k2)＋eq\f(4(m2－3),3＋4k2)＋eq\f(16mk,3＋4k2)＋4＝0.∴7m2＋16mk＋4k2解得m1＝－2k，m2＝－eq\f(2k,7)，且均满足3＋4k2－m2>0.当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m2＝－eq\f(2,7)k时，l的方程为y＝k(x－eq\f(2,7))，直线过定点(eq\f(2,7)，0)．∴直线l过定点，定点坐标为(eq\f(2,7)，0)．厚德教育高中数学考试卷第Ⅰ卷（选择题，共12分）一、选择题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知角为第三象限角，且，则A． B． C． D．(图4－1)(图4－1)2．已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一A． B． C． D．3．已知点在二面角的棱上,点在半平面内,且．若对于半平面的任意一点,都有,则二面角的取值范围是A． B． C． D．4．已知且，，则的最小值是A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题部分，共38分）二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分.5．若展开式中项的系数为，则▲；常数项是▲.6．在中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则边▲；▲.7．已知直线：，直线：，圆：.若上任意一点到两直线，的距离之和为定值，则实数▲.8．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有▲种不同的选法.三、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．(本小题满分10分)已知函数．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的单调递增区间．(第10题图)10．(本小题满分10分)已知,是椭圆：的左右焦点，是椭圆上的两点，且都在轴上方，，设的交点为．(第10题图)（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．厚德教育高中数学答题卷选择题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分1、___________2、_____________3、______________4、_____________二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分．________，______； 6._________，__________；________________；8.__________________；