专题05 整式的加减运算与应用（专项培优训练）（教师版）

专题05整式的加减运算与应用（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学七年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2022秋·四川成都·七年级校联考期中）若，且，则的值是（

）A．和 B．39和 C．和33 D．和33【答案】D【分析】根据绝对值的性质可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案.【详解】解：由题意可知：，，或，当时，，当时，，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算，绝对值，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算，本题属于基础题型.2．（本题2分）（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）已知，，则下列说法：①若，，则；②若的值与x的取值无关，则，；③当，时，若，则或；④当，，有最小值为7，此时．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】代入，直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，根据，则有：，解方程即可求解；④代入，，可得，即有，再分类讨论去绝对值即可作答．【详解】①若，，∵，，∴，，则，正确；②∵，，∴，∵的值与x的取值无关，∴，，则，，正确；③当，时，∵，，∴，，即：，若，则有：，则或，正确；④当，，∵，，∴，，即：，∴，当时，；当时，；当时，；即有最小值为7，此时，正确．即正确的有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．3．（本题2分）（2020秋·广东阳江·七年级统考期末）小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一下，他至少需买多少平方米的木地板?（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】结合图形可知卧室和客厅均为矩形，且客厅的一边长为、另一边长为，卧室的长为、宽为，结合矩形的面积公式即可分别得到卧室和客厅的面积，求出二者面积的总和，问题也就迎刃而解了.【详解】解：观察图形可知卧室和客厅均为矩形且客厅的一边长为、另一边长为，卧室的长为、宽为，∴客厅的面积为，卧室的面积为(矩形的面积公式)，∴至少需要买木地板，故选：A．【点睛】本题考查了根据几何图形列代数式，解答此类题目的关键是将所给几何图形分割成一些面积可求的基本几何图形,进而结合这些基本几何图形的面积公式进行解答.本题即是通过观察题目信息得到卧室和客厅均为矩形，由图形确定卧室、客厅的相邻两边的长，进而结合矩形的面积公式进行计算.4．（本题2分）（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知矩形，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为l，若要知道l的值，只需测量（

）

A．a B．b C． D．【答案】D【分析】根据周长的定义，列出图1、图2中阴影部分的周长，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解．【详解】图1中阴影部分的周长为：，图2中阴影部分的周长为：，∴故若要知道l的值，只要测量图中线段的长．故选：D．【点睛】本题考查了整式加减的应用，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．5．（本题2分）（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）关于x的多项式：，其中n为正整数．各项系数各不相同且均不为．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲密多项式”．当时，．①多项式共有个不同的“亲密多项式”；②多项式共有个不同的“亲密多项式”；③若多项式，则的所有系数之和为；④若多项式，则．以上说法正确的有（）A．① B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】由“亲密多项式”，多项式展开式，可以解决问题．【详解】解：①多项式共有个不同的“亲密多项式”，故①符合题意；②多项式共有个不同的“亲密多项式”，故②符合题意；③若多项式，则的所有系数之和为，当为偶数时，，当为奇数时，，故③不符合题意；④多项式，当时，（Ⅰ），当时，（Ⅱ），（Ⅰ）＋（Ⅱ），得：，∴，故④符合题意．故选：C．【点睛】本题考查“亲密多项式”的概念，求代数式的值，解题的关键是明白“亲密多项式”的定义，以及多项式的展开形式．运用了恒等变换、赋值的思想．6．（本题2分）（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）有自左向右依次排列的三个整式，，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和等于在两个整式中间，可以产生一个整式串；，，，，，这称为第1次“加法操作”；将第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串；…，以此类推，下列说法：①当时，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为负数；②第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为；③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和为．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】当，可得，，，，再根据乘法的特点即可判断①；整式串中倒数第二个整式是前1个操作后倒数第一个和倒数第二个整式的和，由此可得第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为，即可判断②；根据题意求出第4次操作后的整式串，然后求和即可判断③．【详解】解：∵，∴，，，，∴，∴第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为正数，故①错误；∵整式串中倒数第二个整式是前1个操作后倒数第一个和倒数第二个整式的和，∴第1次操作后倒数第二个整式为，第2次操作后倒数第二个整式为，第3次操作后倒数第二个整式为，…∴第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为，故②正确；第2次“加法操作”后的整式串为，，，，，，，，，第3次“加法操作”后的整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，第4次“加法操作”后的整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；；；；；；，故③错误，故选B．【点睛】本题考查整式的加减计算，正确理解题意并掌握整式的加减运算法则是解题的关键．7．（本题2分）（2023秋·浙江台州·七年级统考期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（）A．m B． C． D．【答案】C【分析】设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，表示出、、、之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．【详解】解：设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，由图（1）得；由图（2）得，；，，图（1）中阴影部分的周长为：，图（2）中阴影部分的周长为：，阴影部分的周长之差为：，故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．8．（本题2分）（2022秋·全国·七年级期末）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（

）A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4【答案】B【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，∴大长方形ABCD的周长为为定值，∴，，，，∵①是正方形，∴∴，∴，，，∴为定值，故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．9．（本题2分）（2022秋·广东河源·七年级校考开学考试）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，∴AB+BC，JI+HI=，延长FG交AD于M，正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，∴AK+JF+KJ+FC=AB+BC=，∵AM+GL=AD=BC，∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL，∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH=GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，∵EH=DL，∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+n+EH=m+n．故选：A．．【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．10．（本题2分）（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果为，第次输出的结果为，第次输出的结果为，…，第次输出的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由输出的结果依次为8，4，2，1，4，2，1，4，2，1，……，得出规律从第2次结果开始三次是一个循环，据此可解决问题．【详解】解：当x=5时，输出的结果依次为8，4，2，1，4，2，1，4，2，1，……，∴从第2次结果开始三次是一个循环，∵（2019-1）÷3=672…2，∴第2019次输出的结果是2，故选：B．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，注意观察总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2022秋·湖北荆门·七年级校考期中）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为．【答案】【分析】将化简得，从而可求，再将化简，代值计算即可．【详解】解：；因为值与字母的取值无关，所以，解得：，；当，时，原式；故答案：．【点睛】本题主要考查了整式化简求值及多项式的值与某个字母无关的意义，理解多项式的值与某个字母无关的意义是解题的关键．12．（本题2分）（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的的长方形中．则没有覆盖的阴影部分的周长为．

【答案】20【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，由图2求得，根据图C中长方形的周长为求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案．【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，由图1中长方形的周长为，可得，，解得，，如图，

，∵图2中长方形的周长为，∴∴∴∴没有覆盖的阴影部分的周长为．故答案为：20．【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．13．（本题2分）（2022秋·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）已知，，且，则代数式的值为．【答案】1或7/7或1【分析】根据，可得；再由，可得；然后根据，可得，由此分别求出、的值，再求出代数式的值即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，或，，当，时，,当，时，∴代数式的值为1或7．故答案为：1或7．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．14．（本题2分）（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数，则．【答案】3【分析】根据与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数得到代入计算即可．【详解】∵与互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数即乘积为1的两个数；绝对值的性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．（本题2分）（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）若，则代数式的值是．【答案】【分析】将代数式进行适当的变形后，将代入即可求出答案．【详解】∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，涉及整体的思想．16．（本题2分）（2021秋·四川绵阳·七年级校考期中）当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为．【答案】1998【分析】先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解．【详解】解：把，代入得，整理得，把，代入得．故答案为：1998【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键．17．（本题2分）（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）如图，长方形长为a，宽为b，若，则等于．（用含a、b的代数式表示）【答案】【分析】根据和图形，可以求得，然后再根据三角形面积的关系，可以得到和的长，从而可以得到，然后即可得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，连接，如图所示，则，∴，∴，同理可得，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（本题2分）（2022秋·七年级课时练习）若，则．【答案】【分析】由变形可得，，把化为整理化简即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴故答案为：2022【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键．19．（本题2分）（2023秋·七年级单元测试）下列说法中，正确的数是．①若，则；②若，则有是正数；③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则；④若代数式的值与x无关，则该代数式值为2021；⑤，，则的值为±1．【答案】②【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．【详解】解：若，则，故①错误；若，则或或或，当时，则有是正数，当时，则有是正数，当时，则有是正数，当时，则有是正数，由上可得，是正数，故②正确；三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，若，则，解得（不合题意，舍去）或；若，则，解得（不合题意，舍去）或；若，则，解得；综上可得或−10或14，故③错误；若代数式的值与x无关，则，故④错误；∵，，∴中一定是一负两正，不妨设，∴，故⑤错误；∴正确的是②，故答案为：②【点睛】本题考查有理数的混合运算、整式的乘除、平方差公式，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．20．（本题2分）（2022秋·全国·七年级期末）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：题目：已知，，求代数式的值．小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便．通过你的运算，代数式的值为．【答案】【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可．【详解】∵，∴，∴∴①∵，∴②把②代入①得，∴，∴∴．故答案是：-2．【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共60分．21．（本题8分）（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．【答案】，1【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；【详解】解：原式，∴当，时，原式．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键22．（本题8分）（2022秋·江苏盐城·七年级校联考期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图

(1)填空：a________0，________0，________0，________0（填“＞”，“＜”，或“＝”）(2)化简．【答案】(1)<，<，>，<(2)【分析】（1）由数轴得，，且，即可得到答案；（2）根据题意得到，，，根据绝对值性质化简合并即可．【详解】（1）解：由数轴得，，且，∴，，，，故答案为：<，<，>，<；（2）由题意得：，，∴．【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，绝对值的化简，整式的加减法，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．23．（本题8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下：一次性购物低于200元低于500元但不低于200元大于或等于500元优惠方法不予优惠九折优惠其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠(1)李老师一次性购物800元，他实际付款______元？(2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元；当大于或等于500元时，他实际付款______元．(3)如果李老师两次购物合计900元，第一次购物为元（），用含的式子分别表示李老师两次购物实际付款多少元？【答案】(1)690(2)，(3)第一次元，第二次元【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的300元按8折付款即可；（2）等量关系为：当小于500元但不小于200元时，实际付款购物款折；当大于或等于500元时，实际付款折超过500的购物款折；（3）第一次购物李老师实际付款第一次购物款折，第二次购物李老师实际付款折（总购物款第一次购物款第二次购物款折，把相关数值代入即可求解．【详解】（1）解：根据题意得，李老师一次性购物800元，他实际付款：（元）．故答案为：690；（2）若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200时，他实际付款元；当大于或等于500元时，他实际付款元．故答案为：，；（3）第一次购物实际付款元；第二次购物实际付款元．【点睛】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．24．（本题8分）（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）探索发现：①当、取不同数值时，计算代数式与代数式的值，请同学们将正确结果填入下表：、的取值当，时当，时当，时②根据上表计算，对于任意给、各取一个数值计算，与代数式的值时，蕴含着一个规律，写出你的发现：．③用你发现的规律计算：【答案】①见解析；②；③．【分析】①分别代入求值即可；②根据前边的计算，总结出与的大小关系即可；③利用②中的关系，计算即可．【详解】①填表为：、的取值当，时当，时当，时5

24

-21

5

24

-21②蕴含着一个规律，写出你的发现：③．【点睛】考查了代数式求值，代数式，本题主要是通过实例探究了平方差公式，正确理解题目每部提出的要求是解决本题的关键．25．（本题8分）（2023秋·湖南湘潭·七年级统考期末）已知x，y为有理数，现规定一种新运算*，满足(1)求的值；(2)对于任意两个有理数x，y，是否都有成立？如果成立，请证明，如果不成立，请举反例说明；(3)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以6个单位长度每秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度每秒的速度向左匀速运动．问运动多少秒时，（单位长度）？此时点B在数轴上表示的数是多少．【答案】(1)1(2)不成立，见解析(3)或，4或16【分析】(1)根据新定义运算法则计算即可．(2)根据新定义运算法则计算，举反例说明即可．(3)根据新定义运算法则计算，确定A，C表示的数，结合线段的长度，确定B，D表示的数，再根据运动的规律分类计算即可．【详解】（1）∵，∴．（2）不成立．理由如下：∵，，∴不成立．（3）∵点A在数轴上表示的数是，∵，∴点B在数轴上表示的数是：，∵点C在数轴上表示的数是，设运动t秒时，（单位长度），此时点B表示的数为，点C表示的数为，①当点B在点C的左侧时，由题意得：，解得，故点B表示的数为；②当点B在点C的右侧时，由题意得：，解得，故点B表示的数为．【点睛】本题考查了新定义运算，数轴上的两点间的距离，分类思想，熟练掌握定义，灵活运用数轴上两点间的距离公式是解题的关键．26．（本题10分）（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割