八年级数学~因式分解的学案

课题：分解因式班级姓名评价

学习1.通过学习、合作、交流了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是整式变形过程

目标中的一种相反关系、互逆过程；2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养和

增强观察能力和语言概括能力。

学习过程学习心得

【我预习、我快乐】

【情景问题，拓展知识】

1、讨论993—99能被100整除吗？你是怎样想的？运用了什么知识点？

2、你能计算：223。-22儆?你运用了什么方法？

3、你可以把48、51、75、72分解为质因数吗？

【合作交流，互动展示】

(1)计算下列各式：

①(m+4)(m—4)-__________；②(y—3)2-__________；

③3x(x-1)=__________；④m(a+b+c)=__________；

⑤a(a+1)(a-1)=__________°

(2)根据上面的算式填空：

①3/一3卡()()；②m2—16-()()；

(3)ma+mb+mc=()();④y2—6y+9=()2«

你能分析一下以上两个题中的形式变换关系吗？

从上可以归纳：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形过程

叫做把这个多项式分解因式

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

(1)4a(a+2£>)-4a2+8ab;(2)6ax—3ax1-3ax(2—x);

(3)a2—4=(a+2)(a—2);(4)x2~3x+2=x(x-3)+2.

思考：因式分解的意义和作用是什么？因式分解的目的是什么？

【我疑惑、我思考】

【我探究、我敢试】

1.8、6、12的最大公约数是_______,2、3、5的最小公倍数是____________.

2.下列说法不正确的是()

A.。一人是〃之一〃2的一个因式B.孙是212,一3孙的一个因式

C./一2_yy+y2的因式是x+y和尤一yD.片的一个因式是。十匕

3.等式/一25/=(。+5加(。-5切从左到右的变形叫做___________，从

右到左的变形叫做___________________它们是互逆过程.

4.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是()

A.(x+l)(x-l)=x2-1B.X2-2x+l=x(x-2)+1

C.a2-b2=(a-i-b)(a-b)D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y)

5.已知多项式f一/做+15可分解成(x—3)(x-5),则加的值为________.

6.(2x+a)(2x—a)是多项式__________________因式分解的结果.

7.若f+mx-15=(x+3)(x+〃)，则〃2的值为________.

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1.因式分解的结果为(x+2)(x—5)的多项式为_______________________。

2.如果关于x的二次多项式3/—“沈+〃分解因式的结果为(3x+2)(x—1).

求列〃的值.

3.若多项式侬+A可分解因式为m(x—y),则A为一.

4.如果(x+a)(x+O)的积中不含x的一次项，那么。、人一定是()

A.互为倒数B.互为相反数C.a=0或匕=0D.ab=Q

5.下列等式成立的是()

A.a2-b1--(a2+b2)B.(x-y)2=-(y-x)2

C.(m-1)3=-(l-m)3D.a-b=-(b+a)

6.下列各式从左到右的变形是因式分解的是()

A.a(a-b)=a2-abB.a2-2a+\=a(a-2)+1

C.x2-x=x(x-l)D.x2-^-=(x+-)(x--)

yyy

7.当a=3,a―8=1时,代数式a2-ab的值是___________.

8.观察下列算式：

2?—F=4—1=3;32—22=9—4=5;42-32=16-9=7;

52-42=25-16=9;•••

(1)根据你发现的规律，表示出第〃个算式；(2)用多项式乘法证实你发现的

规律；

(3)你能用因式分解的知识证实你发现的规律吗？

课题：提公因式法(1)班级姓名评价

学习1：了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.2：通过找公因式，培养观察能

目标力.3：在用提公因式法分解因式时，先找公因式，然后讨论结果的正确性，养成独立思考的

习惯，同时培养合作交流意识，初步感受因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.

可S学习心得

【我预习'我快乐】

a+b+c

【情景问题，探究知识】

1、如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长

am+bm+cm

为a+b+c,宽为多少呢？

2,如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，

被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？

3、比较上述两题的结果有何关系？

4、写出下列各式的共同点：m

⑴代数式12必c,-9//,3/c2的共同点是4----------------

aDc

都含有一个因式；

(2)代数式16fy,12肛2,一24.的共同点是都含有一个因式.

(3)代数式中各项都含有因式叫公因式

5、确定公因式时应注意：①公因式的系数取各项系数的公约数；②字母

取各项—的字母，而且各字母的指数取最—的；③先定系数再定字母和指数

【我疑惑'我思考】

【我探究、我敢试】

1.写出下列多项式各项的公因式.

(1)ma+mb()(2)4fcv—8Ay()

(3)5y3+20y2()(4)a2b~2ab2+ab()

2.你能指出下面多项式中各项的公因式吗？

(1)2«2+4片,(2)24个+16^2⑶36/4〃+48/7加

(4)-12x2^+18xy-15y(5)本1”+整本尸

3.把ma+mb+mc分解成:ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解

有什么特点？

4.把下列各式分解因式

(1)8x-72=；(2)a2b-5ab=；

(3)4m3-6m2=；(4)a2b-5ab+9b=。

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1.把5/-3孙+工因式分解

2.把因式分解

3.把8fy4_]2孙2z因式分解

4.把3x2~6xy+x分解因式

5.分解因式：12。2〃-18。加+24。62=6。伏___________________).

6.若。+Z?=8,。力=12,则一ab?—a2b的值是______________.

7.计算：(_；)2项+(_g)2(no=____________.

8.已知x,y互为相反数，则3x2+3砂=________________.

9.多项式18炉用-24x”的公因式是—，提取公因式后另一个因式是____.

10.分解因式:-6xyz+3xy2-9x2y-___________________________

11.把下列多项式分解因式：

(1)2a1be+8a3b;(2)3a3—6a2h-^-12a;

(3)14m3/:2+7//?〃-28帆3力3.(4)-3x3+6x2—12x;

(5)—15dy2-21盯2+42/y2.(6)-3々〃+2+2优+i-7优

12.已知2x-y=,，xy=4f求2/;/-x与，的值.

16

299-?98

13.计算.2ioi_2i°°

14.已知1+X+V+V+…+/009+产。=0,求%20!1的值.

15.计算：2-22-23-----218-219+220.

课题：用提公因式分解因式（2）班级姓名评价

学习1、进一步掌握公因式为多项式的因式分解；

目标2、渗透类比、转化的思想，公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解。

学习过程学习心得

【我预习'我快乐】

【情景问题，导入课题】

1、a(x-2)+b(x-2中的公因式是什么?

2,(2b-3)(x-2)+b(x-2)公因式是什么？

3、a(a-b^+b(a-b^,公因式是什么？

4、(a+c)(a-b1+(。一。)(4一匕)2公因式是什么？

5、你知道下面各组多项式有什么关系吗？如何用式子表达它们的数量关系？

①a+b与b+a②a-b与b-a③(a—匕)一与(b—a?

④(a-/?)'与(匕-。),

6、下面各组多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？

①a(x-2)+b(2-x)②a(a-b)~+b③a(a-/?)3-b(/>-a)3

【我疑惑、我思考】

【我探究'我敢试】

1、把多项式-12肛2(》+»+18-〉(％+丁)分解因式。

2、把多项式(a+b-c)(a-b+c)-(b+c-a)(c-a-b)分解因式

3、把多项式2q(y—刀丫分解因式

4、已知x,y都是正整数，且x(x-y)-y(y-x)=12,求x和y

5、解方程：2x(3x-l)+(2x-2)(l-3x)=28

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1、在下列各横线上填上“+”或使等式成立.(1)y—x=____(x—y);

(2)(x-y)2=____(y-x~)2；(3)(x-y)3=______(y-x)3.

2、把下列各式因分解：

(1)6q(p+q)-4p(p+q)；(2)4a(a+h)(a-b)-6a(a-^h)2；

(3)cr(x-y)2-2a(y-x)3；(4)a{x-a)-b{a-x)-c{x-ci)；

232

(5)(x+y)(x-l)-xy-y；(6)4^(1-/?)+2(/?-l)o

3、设a+〃=l,a〃=—,，求代数式a(a+b\a-b)-a(a+的值。

2

4、已知Q-2=Z?+C,求代数式。(。一/?一。)一伙。一〃一。)+以/?一。+。)的值。

¥

5、不解方程组「•+、=6,求代数式73;(彳一3w2一2(3,-为3的值.

卜一3y=1

6、因式分解：(2x-y)-a(y-2x)=(2x-y)(____________).

7、若代数式x(x—l)(x-2)-3(x-l)(x-2)的值为0,则x=_

8、x(x-y)2-a(y—x)2的公因式是________________

教与学反思

课题：公式法（1）班级姓名评价

学习1、掌握用平方差公式分解因式；2、理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实

目标数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

学习过程学习心得

【我预习、我快乐】

【情景问题，探究新知】

1、(1)分解因式：(l)5x(x—3»—(3x+2y)(3y

(2)(a+b)(a-b)=___________，这是什么运算？

(3)怎样分解因式：a2-b2?

2、把"2中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？又怎样

将其分解因式？

3、把一〃中的字母a改为5x字母b改为得到什么样的多项式？又怎

样将其分解因式？

4、把〃一〃中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项式？又怎

样将其分解因式？

5、把〃一户中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多项式？又

怎样、其分解因式？

6、下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？说说理由，你一定可行！

(1)-+从，(2)CL"—,(3)

【我疑惑'我思考】

【我探究、我敢试】

1、分解因式：(1)X4-/,(2)9(x-y)2—4(x+y)2

(3)4x2-(y2-2y+l)(4)16(a-b)2-9(a+b)2

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

2

1.25a2=(1.=(_______y.009a2/=(/

16

0.49(x+y)2=[________]2；^-(m-n)2=[_____________]2.

36

2.分解因式：16f—9y2=________.

3.分解因式：—l+9tz2=_________________________________.

4

4.分解因式：m2-l=-a2-0.01b2=

9

169X2/-1=(____________)(13孙-1)x2-25y2=(x+5y)(__________);

5.下列多项式中：①一f一丁；②2f+4y2；③(_旭)2一(_〃)2；

@-4b2+a2;⑤一144/769y2,能用平方差公式进行因式分解的有

()个.A.1B.2C.3D.4

5.分解因式：(。+匕)2-4=__________;x4-y4=_________________;

16z2y2-9z2=______；l-0_a)2=_；(X+1)2-9(X-1)2=____.

6.计算：20102—20002=_______;20082-2007x2009=________;

1000211I1I

2522.2482022)(132)('42)**(12009川20102)-

7.已知x,y互为相反数且(x+2)2-(y+2>=4,试求x,y的值.

8.已知x+y=5,求代数式f—V+iOy的值.

课题：公式法（2）班级姓名评价

学习1、掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；

目标2、培养逆向思维能力。

学习过程学习心得

【我预习、我快乐】

【情景问题，提升知识】

12

1、分解因式：(1)--%24-y2；(2)4(加一力一(，％+〃)2

2、(«+。)2=____________,(a—6)2=_______________这叫什么运算？

3、(1)把式子〃一2出?+〃中的字母a改为x,字母b改为2,得到的多项式

是什么？怎样把得到的多项式分解因式？

(2)把式子标一2出?+〃中的字母把a改为x,字母b改为士，得到的多项

2

式是什么？怎样把得到的多项式分解因式呢？

(3)把式子/一2出?+〃中的字母a改为2x,字母b改为2,得到什么样的多

项式？怎样把得到的多项式分解因式？

(4)把式子〃一2出?+〃中的字母a改为/,字母b不变，得到什么样的多

项式？怎样把得到的多项式分解因式？

(5)把式子〃一2,活+〃中的字母a改为(x+y)，字母b改为6得到什么样

的多项式？怎样把得到的多项式分解因式？

【我疑惑、我思考】

【我探究、我敢试】

(1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？

(1)x2+2x+4,(2)m1+2m-l

(3)-a1+2a2b-b2(4)m2-mn+—n2

4

(2)填空：

①a2+2or+(____>=(____)2②4a2+4ax+(____)2=(____)2

③x2+(_)+4=(—)2④(—)+2x+l=(—)2

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1、把下面多项式分解因式

(1)x2-6%+9(2)-4/+12町-9yn,

(3)X4-2X2+\(4)(/+2y)2+2(/+2^)+1

2、把多项式3o?+6叼:+3分2分解因式

3、若一个三角形的三条边a、b、c满足/+2^+。2—2。8—如c=()试判

断这个三角形的形状

4、若〃-4a+机是完全平方式，则加=______；若X?+av+9是完全平方

式,贝iJa-_____.

5、若-2Ax+16=(x+4)2，则左=________；若V—8x+c2是完全平方

式，则c=_____.

2

6、已知9%之-6x+l=(ax+b)1则。=_____,h=_____.

7、把4/+1再加上一个单项式,使其成为一个完全平方式,请你写出符合条

件的所有单项式______________________________________.

8、若炉+2(机-3)x+16是完全平方式,则加的值为________________.

课题：公式法(3)班级姓名评价

学习1、掌握立方和差公式因式分解;

目标2、灵活运用知识解决实际问题

学习过程学习心得

【我预习、我快乐】

【情景问题，探究知识】

1、利用多项式的乘法法则进行计算：

(。+b)(a2-ab+b2)=_______________;

(Q-b)(a2+"+〃)=___________________.

2、根据以上结果可得因式分解的方法：

立方和公式：/+83=.

立方差公式：/一。3=

【我疑惑'我思考】

【我探究、我敢试】

1、分解因式：/一y3=

2、分解因式：8疗+27〃3=.

3、分解因式：一二-/一/=

64

4、分解因式：a6-bb=.

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1、分解下列多项式的因式：

(1)1—8(。+”(2)-(2x-l)3+x3

(3)3X9-192X3/(4)a3+3a2-4

(5)«2(x3-^3)+b2(y3-x3)(6)x5-x3+x2-l

2、已知a+/?=3,〃〃=一2,求a'+/的值.

3、补充几个公式：

(1)a2+/+/+2。力+2儿+2。。=(。+。+。)2

(2)a3+3a2b+3ab2+h3=(a+b)3

(3)a3-3a2b+3加一/=(。一力p

(4)〃+〃3+。3—3abc=(Q+〃+c)(〃+b2+c2-ah-hc-ac)

课题：分组分解法班级姓名评价

学习1.当一个多项式没有公因式可提，也不能够用公式因式分解时,可尝试分组分解法；2.

目标分组分解法的关键是对一个多项式正确分组；3.分组后的两种情况:一是分组后可提公

因式，二是分组后可运用公式.

学习过程学习心得

【我预习'我快乐】

【情景问题，探究知识】

L你是如何把下列多项式分解因式:

(1)a1-ab+ac-bc;(2)2ax-10ay+5by-hx;

(3)3ax+4by+4ay+3bx;(4)m2+5n-mn-5m;

2.你能把下列多项式分解因式：

(1)x2-y2-\-ax+ay;⑵46r—+6。—3b；

(3)a?—2ab+b~-c~\(4)9m2—6m+2n—rr；

【我疑惑'我思考】

【我探究、我敢试】

把下列多项式分解因式：

(1)x2-y2-z2+2yz；(2)x3-x2y-xy2+j3；

(3)4x2-4xy+y2-a2(4)1一苏—〃2+2加2.

【我归纳我明了】

【我自测我提高】

1、把下列各式分解因式：

(1)x2-y2-6x+9;(2)4/72一。2-25+10。；

(3)ah2-lah-h1+a+2h-i;(4)x2-2xy+y2-2x+2y+1;

(5)a~-2abc+c?-4〃Z?+4c+4；(6)——1

2、拆、添项分组分解法：把下列各式分解因式：

(1)%4+4;(2)a3b+ab+30h.

教与学反思

课题：十字相乘法班级姓名评价

学习1、掌握十字相乘法的特点，并会用十字相乘法对二次项系数为1的二次三项式分解因式。

目标

2、会运用十字相乘法来分解因式，培养逆向思维以及合作的意识。

学习过程学习心得

【我预习'我快乐】

情景问题，导入课题

1、计算：

(x+5)(x+9)=___________(x-12)(x+5)=___________

(x+a)(x+b)=__________

2、分解因式：X2+14x+45=____________x2-7x-60=______________

X2+(a+b)x+ab=________________

【我疑惑、我思考】

【我探究、我敢试】

1、根据上面第2