阶跃函数和冲激函数97341

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阶跃函数

冲激函数是两个典型的奇异函数。阶跃函数和冲激函数

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。一、单位阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。1.定义2.延迟单位阶跃信号3.阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号

f(t)=2ε(t)-

3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分

二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。

狄拉克(Dirac)定义

函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系

冲激函数的性质1.狄拉克(Dirac)定义函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

2.函数序列定义δ(t)对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。

求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。3.δ(t)与ε(t)的关系求导n→∞求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导三．

冲激函数的性质

取样性冲激偶

尺度变换复合函数形式的冲激函数1.取样性(筛选性)对于平移情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

证明举例冲激函数取样性质证明分t=0和t≠0两种情况讨论

当t≠0时，δ(t)=0，f(t)δ(t)=0，(注意：当t≠0时)积分结果为0

当t=0时，δ(t)≠0，f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

，(注意：当t=0时)取样性质举例0ε(t)2.冲激偶τ↓冲激偶的性质

①

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明②证明δ(n)(t)的定义：δ’(t)的平移：③例冲激偶积分证明利用分部积分运算3.对

(t)的尺度变换证明推论:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)当a=–1时所以，δ(–t)=δ(t)为偶函数，

δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数举例冲激信号尺度变换的证明从定义看：

p(t)面积为1，强度为1

p(at)面积为

，强度为

举例已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)

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