导数在函数中的应用(导数好题解析版)

第十讲导数的应用教学目标掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法教学重点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.教学难点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.掌握典型例题的典型方法.教学方法建议在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类〔3〕道〔3〕道〔10〕道B类〔5〕道〔3〕道〔10〕道C类〔3〕道〔3〕道〔10〕道知识梳理1.函数的单调性：在某个区间〔a,b〕内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在〔a,b〕内单调递增，那么，是在〔a,b〕内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数在点处连续时，判断是极大〔小〕值的方法是：〔1〕如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．〔2〕如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间〔a,b〕内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在〔a,b〕内单调递增，那么，是在〔a,b〕内单调递增的充分不必要条件.【例1】〔B类〕〔2023·朝阳期末〕函数的图象过点，且在点处的切线方程为.〔Ⅰ〕求函数的解析式；〔Ⅱ〕求函数的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.【解析】〔Ⅰ〕由的图象经过，知，所以.所以.由在处的切线方程是，知，即，.所以即解得.故所求的解析式是.〔Ⅱ〕因为，令，即，解得，.当或时，，当时，，故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.【例2】〔A类〕假设在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】又在区间[－1,1]上单调递增在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]时恒成立.故的取值范围为【例3】〔B类〕函数,,设．〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；【解题思路】注意函数的求导法那么.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】〔I〕，∵，由，∴在上单调递增. 由，∴在上单调递减.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.〔II〕，恒成立当时，取得最大值.∴，∴amin=.【课堂练习】1.〔B类〕〔山东省烟台市2023届高三上学期期末考试试题〔数学文〕〕函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.〔Ⅰ〕求实数的值；〔Ⅱ〕假设函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间上单调递增，即为函数的递增区间的子集.【解析】〔Ⅰ〕的图象经过点∴∵，∴由条件知即∴解得：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，令那么或∵函数在区间上单调递增∴∴或即或2．〔B类〕设函数，在其图象上一点P〔x，y〕处的切线的斜率记为〔1〕假设方程的表达式；〔2〕假设的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】〔1〕根据导数的几何意义知由-2、4是方程的两个实根由韦达定理，〔2〕在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有其中点〔—2，3〕距离原点最近，所以当有最小值133.〔A类〕函数，．当时，讨论函数的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】∵，∴〔1〕当时，假设为增函数；为减函数；为增函数．〔2〕当时，为增函数；为减函数；为增函数．知识点二:导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数.(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成假设干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：〔1〕求出在上的极值.〔2〕求出端点函数值.〔3〕比拟极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】〔A类〕假设函数在处取得极值,那么.【解题思路】假设在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；假设在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.【解析】因为可导,且,所以,解得.经验证当时,函数在处取得极大值.【注】假设是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.【例5】〔B类〕〔2023北京文18〕函数，〔I〕求的单调区间；〔II〕求在区间上的最小值.【解题思路】注意求导的四那么运算；注意分类讨论.【解析】〔I〕，令；所以在上递减，在上递增；〔II〕当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由〔I〕知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.【例6】〔B类〕设是函数的两个极值点.〔1〕试确定常数a和b的值；〔2〕试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】〔1〕由得：〔2〕变化时.的变化情况如表：〔0，1〕1〔1，2〕2—0+0—极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值.【课堂练习】4.〔A类〕〔2023江西理19〕设.假设在上存在单调递增区间，求的取值范围.【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.【解析】在上存在单调递增区间，即存在某个子区间使得.由，在区间上单调递减，那么只需即可.由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.5.〔B类〕〔2023陕西文21〕设，．〔1〕求的单调区间和最小值；〔2〕讨论与的大小关系；【解题思路】〔1〕先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性〔单调区间〕，并求出最小值；〔2〕作差法比拟，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；〔3〕对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．【解】〔1〕由题设知，∴令0得=1，当∈〔0，1〕时，＜0，是减函数，故〔0，1〕是的单调减区间.当∈〔1，+∞〕时，＞0，是增函数，故〔1，+∞〕是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，那么，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减，当时，，即6.〔C类〕〔2023全国Ⅱ文20〕函数(Ⅰ)证明：曲线〔Ⅱ〕假设,求的取值范围.【解题思路】在某点处取得极值可得.【解析】(Ⅰ)，，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得.所以曲线〔Ⅱ〕由得，〔i〕当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是.【例7】〔A类〕当时，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0【解析】设函数当时，，故在递增，当时，,又，，即，故.【注】假设要证的不等式两边是两类不同的根本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【例8】〔C类〕〔2023辽宁文〕函数.〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕设，证明：对任意，.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在〔0,〕单调增加，在〔，+〕单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在〔0，+〕单调减少.所以等价于,即令,那么+4＝.于是≤＝≤0.从而在〔0，+〕单调减少，故，故对任意x1,x2∈(0,+)，.【例9】〔C类〕设函数.(Ⅰ)假设为函数的极值点，求实数；〔Ⅱ〕求实数的取值范围，使得对任意的∈，恒有≤4成立.【解析】(Ⅰ)或，检验知符合题意〔Ⅱ〕在∈时恒成立当时，显然恒成立当时由得在∈时恒成立在∈时恒成立令，在单调递增∴时，单调递减，时单调递增∴∴【课堂练习】7．〔C类〕函数〔〕求f(x)的单调区间；证明：<【解题思路】注意求导时的定义域；先移项,再证左边恒大于0【解析】〔1〕函数f(x)的定义域为，=1\*GB3①当时，>0，f(x)在上递增=2\*GB3②当时，令得解得：，因〔舍去〕，故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.〔2〕由〔1〕知在内递减，在内递增.故，又因故，得8.〔C类〕〔全国Ⅰ卷理20〕函数.〔Ⅰ〕假设，求的取值范围；〔Ⅱ〕证明：.【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】〔Ⅰ〕，,题设等价于.令，那么当，；当时，，是的最大值点，，综上，的取值范围是.(Ⅱ)有〔Ⅰ〕知，即.当时，；当时，所以9.〔C类〕设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)假设当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.【解题思路】此题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.【解析】〔I〕由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数.综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.〔II〕由〔I〕知，当时，在或处取得最小值.由假设知即解得1<a<6故的取值范围是〔1，6〕【例11】〔C类〕(两县城A和B相距20km，现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查说明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.〔1〕将y表示成x的函数；〔11〕讨论〔1〕中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？假设存在，求出该点到城A的距离;假设不存在，说明理由.【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】ABABCxAC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为〔2〕,,令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.【课堂练习】10．某企业拟建造如下图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其外表积有关．圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．〔Ⅰ〕写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的．【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】〔I〕设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此〔II〕由〔I〕得由于当令所以〔1〕当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点.〔2〕当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时稳固练习根底训练〔A类〕1.曲线在点处的切线方程为〔〕【答案】D【解析】，，∴切线方程为，即.2.曲线在点〔-1，-1〕处的切线方程为〔〕〔A〕y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2【答案】A【解析】，所以，故切线方程为．3.假设曲线在点处的切线方程是，那么〔〕〔A〕(B)(C)(D)【答案】A【解析】此题考查了导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率.∵，∴，在切线，∴4．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是．【答案】【解析】由可得,答案:.5.假设函数在处取极值，那么【答案】3【解析】＝，f′(1)＝＝0a＝36.设函数.〔1〕假设的两个极值点为，且，求实数的值；〔2〕是否存在实数，使得是上的单调函数？假设存在,求出的值；假设不存在，说明理由.【解析】〔1〕由有，从而，所以；〔2〕由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.7.设函数，求函数的单调区间与极值.【解析】从而当x变化时，变化情况如下表：8．设函数,〔I〕假设当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；〔II〕假设存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．【解析】〔Ⅰ〕，依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．〔Ⅱ〕的定义域为，．方程的判别式．〔ⅰ〕假设，即，在的定义域内，故的极值．〔ⅱ〕假设，那么或．假设，，．当时，，当时，，所以无极值．假设，，，也无极值．〔ⅲ〕假设，即或，那么有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．9．设函数，其中． 证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．【解析】因为，所以的定义域为．． 当时，如果在上单调递增； 如果在上单调递减． 所以当，函数没有极值点． 当时， 令， 得〔舍去〕，， 当时，随的变化情况如下表：0↘极小值↗从上表可看出， 函数有且只有一个极小值点，极小值为． 当时，随的变化情况如下表：0↘极大值↗ 从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为． 综上所述， 当时，函数没有极值点； 当时， 假设时，函数有且只有一个极小值点，极小值为． 假设时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．10.设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；〔Ⅱ〕求函数f(x)的极值点；〔Ⅲ〕证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.【解析】(I)函数的定义域为.，令，那么在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增.〔II〕分以下几种情形讨论：〔1〕由〔I〕知当时函数无极值点.〔2〕当时，，时，时，时，函数在上无极值点.〔3〕当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.〔III〕当时，令那么在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得.提高训练〔B类〕曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】D【解析】曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为那么切线与坐标轴交点为所以：2.设函数那么〔〕A在区间内均有零点.B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.【答案】D【解析】由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择D.3.假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意该函数的定义域，由.因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点.解法1〔图像法〕再将之转化为与存在交点.当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是.解法2〔别离变量法〕上述问题也可等价于方程在内有解，显然可得4.定义在正实数集上的函数，其中.设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.〔1〕假设，求的值；〔2〕用表示，并求的最大值.【解析】〔1〕设与在公共点处的切线相同由题意知 ，∴由得，，或〔舍去〕 那么有〔2〕设与在公共点处的切线相同由题意知 ，∴由得，，或〔舍去〕即有令，那么，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为5.〔山东济南2023届高三二模数学〔文〕〕函数的减区间是．⑴试求m、n的值；⑵求过点且与曲线相切的切线方程；⑶过点A〔1，t〕是否存在与曲线相切的3条切线，假设存在求实数t的取值范围；假设不存在，请说明理由．【解析】⑴由题意知：的解集为，所以，-2和2为方程的根，由韦达定理知，即m=1，n=0．⑵∵，∴，∵当A为切点时，切线的斜率，∴切线为，即；当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即因为过点A〔1，-11〕，，∴，∴或，而为A点，即另一个切点为，∴，切线方程为，即所以，过点的切线为或．⑶存在满足条件的三条切线．设点是曲线的切点，那么在P点处的切线的方程为即因为其过点A〔1，t〕，所以，，由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设，只要使曲线有3个零点即可．设=0，∴分别为的极值点，当时，在和上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得.6.函数图像上的点处的切线方程为．〔1〕假设函数在时有极值，求的表达式〔2〕函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解析】，因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，又得.〔1〕函数在时有极值，所以，解得，所以．〔2〕因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，那么得，所以实数的取值范围为7．设函数，和为的极值点．〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕讨论的单调性；〔Ⅲ〕设，试比拟与的大小．【解析】〔Ⅰ〕因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．〔Ⅱ〕因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕可知，故，令，那么．令，得，因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．8.函数〔Ⅰ〕如果，求的单调区间；(Ⅱ)假设在单调增加，在单调减少，证明＜6.【解析】〔Ⅰ〕当时，，故当当从而单调减少.(Ⅱ)由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比拟系数得，故又由此可得于是9.设函数，曲线在点处的切线方程为.〔Ⅰ〕求的解析式：〔Ⅱ〕证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；〔Ⅲ〕证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.解析：〔Ⅰ〕，于是解得或因为，所以．〔II〕证明：函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数.可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.〔III〕证明：在曲线上任一点.由知，过此点的切线方程为.令得，切线与直线交点为.令得，切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以,所围三角形的面积为定值2.综合迁移〔C类〕1．函数其中为常数.〔I〕当时，求函数的极值；〔II〕当时，证明：对任意的正整数，当时，有【解析】〔Ⅰ〕解：由得函数的定义域为，当时，，所以．〔1〕当时，由得，，此时．当时，，单调递减；当时，，单调递增．〔2〕当时，恒成立，所以无极值．综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．当时，无极值．〔Ⅱ〕当时，．当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．令，，那么，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．故当时，有．即．2.函数,，其中R．〔Ⅰ〕讨论的单调性；〔Ⅱ〕假设在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；【解析】〔Ⅰ〕的定义域为，且，①当时，，在上单调递增；②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增．〔Ⅱ〕，的定义域为因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以3．设〔1〕假设，求过点〔2，〕的直线方程；〔2〕假设在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.【解析】〔1〕由得∵过点〔2，〕的直线方程为，即〔2〕由令在其定义域〔0，+〕上单调递增.只需恒成立由上恒成立∵，∴，∴，∴综上k的取值范围为4.(山东省淄博一中2023届高三上学期阶段检测〔一〕数学〔文〕试题19．)函数，x∈R．〔其中m为常数〕〔I〕当m=4时，求函数的极值点和极值；〔II〕假设函数在区间〔0，+∞〕上有两个极值点，求实数m的取值范围.【解析】函数的定义域为R〔Ⅰ〕当m＝4时，f〔x〕＝x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或．令，解得,

列表0-0↗↘↗所以函数的极大值点是，极大值是；函数的极小值点是，极小值是.〔Ⅱ〕＝x2－〔m＋3〕x＋m＋6,要使函数在〔0，＋∞〕有两个极值点,那么，解得m＞3.5.〔山东省潍坊市三县2023届高三10月联合考试数学〔文〕试题22.〕函数．(Ⅰ)假设,令函数,求函数在上的极大值、极小值；(Ⅱ)假设函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.【解析】(Ⅰ)，所以由得或↘↗↘所以函数在处取得极小值；在处取得极大值(Ⅱ)因为的对称轴为〔1〕假设即时，要使函数在上恒为单调递增函数，那么有，解得：，所以；〔2〕假设即时，要使函数在上恒为单调递增函数，那么有，解得：，所以；综上，实数的