复数问题的类型与解法

复数问题的类型与解法大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷必有一个五分小题。从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数的概念问题；②复数的运算问题；③复数几何意义的问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：1、 复数Z=（2+i）（1+i）的共轭复数为（）A3-3iB3+3iC1+3iD1-3i【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。【解题思路】运用复数运算的法则和方法对圆锥复数进行运算，根据共轭复数的定义与性质就可作出选择。【详细解答】QZ=（2+i）（1+i）=2+2i+i+i2=1+3i，Z=1-3i，nD正确，..•选D。2、 已知复数Z=2+i，则Z.Z=（）A <；3 B<5C3D5【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。【解题思路】运用共轭复数的性质，得到共轭复数，根据复数的运算法则和方法通过运算就可作出选择。【详细解答】QZ=2+i，二Z=2-i，nZ.Z=（2+i）（2-i）=4-i2=4+1=5，nD正确，二选D。，3、 设复数Z满足i（Z+1）=-3+2i（i是虚数单位），则Z的实部；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法。【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。【详细解答】设Z=a+bi,Qi（Z+1）=i（a+bi+1）=ai+bi2+i=-b+（a+1）i=-3+2i，•-b=-3，a+1=2，na=1，b=3，••Z=1+3i,nZ的实部是1。aiTOC\o"1-5"\h\z4、（1）右复数Z=（其中aER，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ；1+i…， 2i（2）复数Z=―；（i为虚数单位）的虚部为 ；1+i【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数虚部的定义与确定方法；③一元一次方程的定义与解法。

【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数虚部的定义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式，根据分式虚部的定义就可得出结果。-ai【详细解答】⑴Q-ai【详细解答】⑴Q车房=ai(1-i)

(1+i)(1-i)ai-ai21-i2aa a—+—i的虚部为-1，…^=-1，八2i 2i(1-i) 2i-2i2na=-2；②QZ=K=(1+i)(1-i)=PTmi'复数Z的虚部为1。5、（1）设有下列四个命题:p:若复数z满足!剥，则ZER":若复数Z满足z2eR，则ZER；P,:若复数4P:若复数ZeR，则Z弟其中的真命题为（）APAP，PBP，PC1 3 1 4DP，P4（2）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）Ai(1+i)2 Bi2(1-i)C (1+i)2 Di(1+i)【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质；③纯虚数的定义与性质；④命题真假判断的基本方法。【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，结合命题真假判断的基本方法，分别对各命题的真假进行判断就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法对各选项通过运算，结合纯虚数的定义就可得出结果。a-bia-bia【详细解答】⑴对P1，设Z=a+bi,a-bia-bia【详细解答】⑴对P1，设Z=a+bi,Qz=a+bi(a+bi).(a-bi)a2+b2-a2+b2b ieR，a2+b2b =0，nb=0，a2+b2ZeR，q是真命题，可以排除C，D；对P3，Q复数Z1，z2满足Z1Z2ER，•复数Z，Z互为共轭复数，nZ=Z正确，P为真命1 2 1 2 3题，nA正确，..•选A。(2)Qi(1+i)2=i(1+2i+i2)=2i2=-2是实数，二A错误；Qi2(1-i)=i2+i=-1+i不是纯虚数，B错误；Q(1+i)2=1+2i+i2=2i是纯虚数，二C正确，n选c。6、设复数Z满足（1+i）Z=2i，则|Z|=（）【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数模的定义与求法。【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算结果与条件的结果比较求出a，b的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的运算方法通过运算就可作出选择。【详细解答】设Z=a+bi,Q(1+i)Z=(1+i)(a+bi)=a+bi+i+bi2=(a-b)+(1+b)i=2i,•.•a-b=0,1+b=2,na=b=1,二Z=1+i,n|Z|=J1+1=、互,nC正确，二选C。7、i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法；③复数的运算法则和方法。【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a,b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。【详细解答】设Z=a+bi,Q（1+i）z=（1+i）z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+bi2=（a-b）+（1+b）i=2,•a-b=2,1+b=0,na=3,b=-1,•Z=3-i,••复数Z的实部为3。8、 若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a,bER,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）A3,-2B3,2C3,-3D-1,4【解析】【知识点】①复数运算的法则和方法；②两个复数相等的充分必要条件；③二元一次方程组的定义与解法。【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到关于a,b的方程组，求解方程组就可得出结果。【详细解答】Q（1+i）+（2-3i）=3-2i=a+bi, a=3,b=-2,nA正确，..•选A。9、 若复数Z满足：（3-4i）Z=|4+3i|,则Z的虚部为（）A-4B-4C4D4【解析】【知识点】①复数运算法则和方法;②复数虚部的定义与确定方法；③复数模的定义与求法。【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a,b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数虚部的定义得到该复数的虚部就可得出结果。【详细解答】设Z=a+bi,Q(3-4i)Z=(3-4i)(a+bi)=3a+3bi-4ai-4bi2=(3a+4b)+(-4a+3b)i=|4+3ii；16+9=5,二3a+4b=5,-4a+3b=0,na=3,b=|,•Z=3+|i,••复数Z的虚4部为5，nd正确，.••选D。『思考问题1J（1） 【典例1】是与复数的概念相关的问题，主要涉及复数的实部、虚部的定义，复数的分类，复数相等的充要条件，复数的模和共轭复数等问题，解决这类问题应该弄清如下问题：①复数实部与虚部的定义；②复数的分类；③复数相等的充要条件；④复数模的定义与计算方法；⑤共轭复数的定义与性质；（2） 处理有关复数概念的问题，首先要注意复数标准的代数表示形式，如果复数不是标准的代数形式，则应通过代数运算把复数化成标准的代数形式，再根据定义解题。〔练习1〕解答下列问题：

1、C充分必要条件D既不充分也不必要条件若Z]=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(mER),Z2=3-2i,则“m=1”是“Z]=Z2”的1、C充分必要条件D既不充分也不必要条件2、已知aER,复数Z1=2+ai，Z2=1-2i，z若T为纯虚数，z22、已知aER,复数Z1=2+ai，Z2=1-2i，z若T为纯虚数，z2z则复数T的虚部为（）z23、m2+i如果复数商是实数则实数m等于（-14、设a、bER且b/0,若复数（a+b）3是实数则（b2=3a2a2=3b2b2=9a2a2=9b2设Z是复数1虚部为 2i6、复数的虚部为'2+i25、Z=Z-iZ（其中Z表示Z的共轭复数），已知Z2 11 1 1 :2的实部是-1，则Z2的（i是虚数单位，b是实数），则b=（i是虚数单位，b是实数），则b=（）12-2【典例2】解答下列问题：1、若Z（1+i）=2i，则Z=（A-1-iB-1+i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；1-i1+i②复数相等的充分必要条件；③复数代数表示式。7、复数Z=a+bi，a、bER，且b/0，若Z2-4bZ是实数，则有序实数对（a，b）可以是，（写出一个有序实数对即可）8、若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数1B-2【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式就可得出结果。【详细解答】设Z=a+bi,Q(1+i)Z=(1+i)(a+bi)=a+bi+i+bi2=(a-b)【详细解答】设Z=a+bi,Q(1+i)Z=(1+i)(a+bi)=a+bi+i+bi2=(a-b)+(1+b)i=2i,二a-b=0,1+b=2,na=b=1,3+i=()

1+iZ=1+i,nD正确，选D。2、(1)A1+2i(2)(1+i)A1-i【解析】B1-2i(2+i)=()B1+3i2+i3+iD2-iD3+3i【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项;（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式就可得出选项。3+i（3+i）（1-i）3-3i+i-i2 八【详细解答】（1）Q「一=『.二[=一———=2-i，nD正确，.••选D；（2）Q1+i（1+i）（1-I） 1-12(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i，^nB正确，•-选B。3、设i为虚数单位，则复数（1+i）2等于（）A 0B2C 2iD2+2i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项。【详细解答】Q（1+i）2=1+2i+i2=2i，nC正确，..•选C。4、设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则lx+yil等于（）A 1B <2 C 后 D2【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式；③复数相等的充分必要条件;④复数模的定义与求法。【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出x，y的值，从而得到复数的代数表示式，根据分式模的计算方法通过计算就可得出选项。【详细解答】Q（1+i）x=x+xi=1+yi，••x=1，x=y，nx=y=1，••lx+yil=l1+il=w'1+1=侦2，nb正确，选B。_ … 4i…十5、若z=1+2i，则=等于（）Z-1A 1B-1C iD-i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数代数表示式。【解题思路】运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质通过运算就可得出选项。4i 4i 4i -【详细解答】Qz=1+2i，・.・选C。• = = =i，^nc【详细解答】Qz=1+2i，・.・选C。zZ-1(1+2i)(1-2i)-11+4-16、(1+i)6很+43i6、〔Mj3^/2i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法。【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算就可得出选项。(1+i)2(1—(1+i)2(1—i)(1+i)6(技+思i)(‘q+技i)+(方—侦2)33+寸2i)、\6+2i+3i+\:6i2=(i)6+=-1+i,(1+八6<2+p3i=-1+io― （1+八672+0【详细解答】Q［口］+E7、 若复数z满足2z+Z=3-2i，其中i为虚数单位，则z等于（）A 1+2iB1-2iC-1+2iD-1-2i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法;②共轭复数的定义与性质；③复数下底的充分必要条件;④复数的代数表示式。【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值就可得出选项。【详细解答】设Z=a+bi,Q2z+Z=2（a+bi）+a-bi=3a+bi=3-2i，二3a=3，b=-2，na=1，b=-2，Z=1-2i，nB正确，选Bo8、 若z=4+3i，则二等于（）IZ|【详细解答】Q【详细解答】Qz=4+3i，43.一一—、—冒-5i，n'D正确，.•选Do4343A1 B -1 C -+—iD --—i5555【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数模的定义与求法。【解题思路】运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质和复数模的计算方法，通过运算就可得出选项。9、（1）设复数Z满足兰言=i，则|Z|=（）1—ZA1A1B <2 C<3D2（2）已知复数Z满足（Z-1）i=i+1，则Z=（）A-2-iB-2+iC2-iD2+i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数模的定义与求法。【解题思路】（1）设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的计算方法通过计算就可得出选项；（2）设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值，得到复数的代数表示式就可得出选项。【详细解答】（1）设Z=a+bi,Q1+Z1+a+bi1一Z1一a一bi(1+a【详细解答】（1）设Z=a+bi,Q1+Z1+a+bi1一Z1一a一bi1一a2+1一a2+b(1+a)i+b(1—a)i+b2i21一a2一b2+2bi 1一a2一b2=i，'2b(1—a)2+b2=0， :-(1—a)2+b2 (1—a)2+b2=1,na=0,b=1,或a=1,b=0,...ZT或Z=1,nIZI=1,nA正确，二选A；(2)设Z=a+bi,Q(Z-1)i=(a-1+bi)i=(a-1)i+bi2=-b+(a-1)i=i+1,.a-1=1,-b=1,na=2,b=-1,.Z=2-i,nC正确，选C。『思考问题2』【典例2】是与复数运算相关的问题，解答这类问题需要理解复数加法、减法的定义和几何意义，乘法、除法的定义，掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则；复数乘法类似于多项式与多项式的乘法，除法采用的方法主要是分母实数化，即分子，分母同乘以分母的共轭复数，类似于分母有理化的方法；但要注意两点：①出现i2时必须用-1代替；②复数问题实数化是解决复数问题的基本思想；复数问题实数化是解决复数问题的基本思想，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算与性质；运用复数的实数化还可以解决求复数方程的实数解，求负平面上动点的轨迹问题。〔练习2〕按要求解答下列问题：1、4 Z1、右复数满足一t=i，其中i为虚数单位，则Z=()1-iA1-iB1+iC-1-iD-1+i2、(1+iV°17-球2、(1+iV°17-球+i (很)20173、 玄+ -—: = ；1+2心k1-i)4、 设复数Z满足1+^i=i，则Z=()zA-2+iB-2-iC2-i2+i25、 =(1+i)26、复数(当)2等于()1+iA4iB-4iC2i-2i7、已知复数Z1=1-i,Z1.Z2=1+i，则复数Z2=；-5+10i8、i是虚数单位，q.=；3+4i1+i.9、复数 +i2的值是()1-iA0B1C-1Di【典例3】解答下列问题：1、复数z=立(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于i()A第一象限B 第二象限 C第三象限D第四象限【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法。【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数的几何意义和在复平面的坐标的确定方法就可得出选项。… 2+i2i+i2【详细解答】Qz=^L=—:一=1-2i，z=（1，-2），n复数z在复平面内对应的点i i2位于第四象限，nD正确，.••选D。2、（1）设复数Z满足|Z-i|=1,Z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A（x+1）2+y2=ib（x-1）2+y2=icx2+（y-1）2=1Dx2+（y+1）2=1（2）设2=兰;，则IZI=（）1+2iA2B占C也 D1【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④复数模的定义与求法。【解题思路】（1）由题意设Z=x+yi，运用复数模的计算方法通过运算就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据复数模的计算方法通过计算就可得出选项。(3-i)(1-2i) 3-6i-i+2i2(1+2i)(1-2i)= 1-4i2【详细解答】(3-i)(1-2i) 3-6i-i+2i2(1+2i)(1-2i)= 1-4i2,一、 「 3-i...x2+(y-1)2=1，nC正确，选C；(2)QZ^—-=1+2iIZI=nc正确，.••选IZI=nc正确，.••选c。3、（1）设Z=-3+2i，则在复平面内其对应的点位于（）A第一象限 B 第二象限 C第三象限D第四象限（2）设Z=i（2+i），则Z=（）A1+2iB-1+2iC1-2iD-1-2i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法。【解题思路（1）根据复数的几何意义，运用确定复数在复平面的坐标的方法就可得出选项;（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据共轭复数的性质就可得出选项。【详细解答】（1）QZ=-3+2i，复数Z在复平面内对应的坐标为（-3,2），n复数Z在复平面内对应的点位于第二象限，nB正确，.••选B；（2）QZ=i（2+i）=2i+i2=-1+2i，

Z=-1-2i,nD正确，选D。4、若复数Z=a+i(aER)，Z=1-i,且M为纯虚数，则Z在复平面内所对应的点位于()1 2 Z 12A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④纯虚数的定义与性质；⑤复数代数表示式。a+aia+ai+i+i2T^i2一 一za+i(a+i)(1+i)【详细解答】Q复数Z「a+i(aER)，彳=项4=___=洽金2a—1+(a+1)i 一 一= 2 为纯虚数，•a-1=0，na=1，彳=1+1nZ在复平面内所对应的点位于第一象限，nA正确，.••选A。5、如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求:uuruunAO，BC所表示的复数； Cuur对角线CA所表示的复数；B点对应的复数。【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④向量坐标的定义与坐标运算的基本方法；⑤平行四边形的定义与性质。【解题思路】(1)根据复数的几何意义，运用确定复数在复平面的坐标的方法得到点O,A，uur uuuC的坐标，从而求出AO的坐标，结合平行四边形的性质得到BC的坐标就可得出结果；(2)uu运用向量坐标运算的基本方法，得到向量CA的坐标就可得出结果；(3)设B(x，y)，表uuruur示出向量AO，BC，运用平行四边形的性质求出x，y的值，得到点B的坐标就可得出结果。【详细解答】(1)QO,A，C分别表示0，3+2i，-2+4i，O(0，0)，A(3,2)，C(-2,uur uunuur uur4)，nAO=(-3,-2)，Q四边形OABC是平行四边形，...BC=AO=(-3,-2)，•AO，uuu uuu uuuBC所表示的复数为Z=-3-2i；(2)QCA=(5,-2)，对角线CA所表示的复数为Z=5-2i；uur uuu(3)设B(x，y)，QAO=(-3,-2)，BC=(-2-x，4-y)，四边形OABC是平行四边形，uuuuurBC=AOn-2-x=-3,4-y=-2, x=1，y=6,nB(1，6)，.B点对应的复数为Z=1+6i。

『思考问题3J（1）【典例3】是与复数的几何意义相关的问题，解答这类问题需要明确：①复数z=a+bi（a,b£R）£C与复平面的点是一一对应的，从而复数的几何问题可以转化为平面直角坐标系内点的坐标问题；②复数z=a+bi（a、bER）EC与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合是一一对应的，所以复数的几何问题也可以转化为平面向量的问题；（2）运用复数的几何意义解答问题，注意分清问题是与复平面内的点相关还是与复平面内的向量相关，再结合相应的图形，从图形上去寻找解答的方法。〔练习3〕按要求解答下列问题:1、设i是虚数单位，则复数T2」在复平面内所对应的点位于（）1-1A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2、复数Z==（i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）2+1A第一象限A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限……,一，2i …，3、 在复平面内，复数一对应的点的坐标为 ；1-i4、 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示 y2------IE复数z，则表示复数.的点是（ ） FI 1+iAEBFC GD H I1 ----I IZI I5、 在复平面内，复数Z=i（1+2i）对应的点位于（ ） -3I-2-10G| A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D6、 在复平面内，复数Z=sin2+icos2对应的点位于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D7、 在复平面内，复数Z=7—对应的点位于（ ）（2007全国高考陕西2+iA 第一象限 B 第二象限 C 第三象限D1I23x一 IH第四象限第四象限目卷）第四象限【典例4】按要求解答下列问题：一，a+i1、（1）已知复数Z= ，aER，若Z为纯虚数，则a= 1+i1+2i（2）已知复数Z= —，则IZI=；i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②纯虚数的定义与性质；③复数模的定义与求法。【解题思路（1）运用复数运算的法则和方法通过运算，结合纯虚数的性质就可求出a的值;（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据复数模的求法通过计算就可得出结果。【详细解答】（1）QZ=a+i

1+7(a【详细解答】（1）QZ=a+i

1+7(a+i)(1—i)a—ai+i—i2(1+i)(1—i) 1—i2a+1=0，na=-1；(2)Q1+2iZ= a+1—(a—1)i为纯虚数，i+2i2=2-i，izi=J4+T=t5i22、若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A （-8，1） B（-8，-1）C（1，+8）D （-1，，+8）【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面对应点坐标的确定方法；④一元一次不等式组的定义与解法。【解题思路】运用复数运算的法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数在复平面对应点坐标的确定方法确定复数的坐标，结合问题条件得到关于a的一元一次不等式组，