2.2.2不等式的解集课件-高一上学期数学人教B版

第二章等式与不等式

2.2不等式

2.2.2不等式的解集基础知识从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质。一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集，对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集。典例精析例1求不等式组2x＋1≥－9①

的解集

(－∞，－3)不等式的解与解集的区别和联系是什么？提示：(1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。不等式的解是不等式的解集中的一个。(2)不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解；二是解集外的数都不是不等式的解。若m＝0或m<0时，不等式的解集是怎样的？提示：不等式m＝0m<0|x|<m∅∅|x|>m{x∈R|x≠0}R我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|，而且；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。例如，|x|＞3，|

x－1|≤2都是绝对值不等式。尝试与发现你能给出|x|＞3的解集吗?(2)试总结出m>0时，关于x

的不等式|x

|＞m

和|x

|≤m

的解集。根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于x≥0x＞

3或x＜

0－x＞

3即x>3或x<－3，因此|x|>3的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).不等式|x|>3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x

的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由图可知所求解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)。用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式|x|＞m的解为x＞m或x<－m，因此解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞);关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为__________________.[－m，m]尝试与发现你能给出|a－1|≤2的解集吗?

尝试与发现任意给出几个a

的值，求出对应的|a－1|的值，并借助数轴考虑|a－1|的几何意义。当a=－2时，|a－1|=|－2－1|=3，而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a－1|=|3－1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2。因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a－1|，如图所示这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为－1和3，因此由图可知|a－1|≤2的解集为[－1，3].一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB=|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式。更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM=MB可知|a－x|=|x－b|，因此：当a＜b时，有a<x<b，从而x－a=b－x，所以

当a≥b

时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式。(3)绝对值不等式的几何意义。不等式(m>0)解集的几何意义|x|<m数轴上与原点的距离小于m的所有数的集合|x|>m数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合|x－b|<m数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合|x－b|>m数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合不等式|x＋1|≤3的解集的几何意义是什么？提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合。典例精析例2设数轴上点A

与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围。

[－13，7]基础自测1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(

)A．(－∞，3]

B．(－∞，－3]C．[3，＋∞)

D．[－3，＋∞)解析：原不等式可化为2x＋9≥3x＋6，即x≤3.A

2.已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，则M∩N＝(

)A．{x|0<x≤2，x∈R}

B．{x|0<x≤2，x∈Z}C．{－1，－2,1,2}

D．{1,2,3}解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3。所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．D

4．不等式|x－3|<2的解集为_________.解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集为(1,5)．5．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则|AB|＝____，线段AB的中点M的坐标为_________.(1,5)

6

M(－1)

典例剖析不等式组的解集解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：思路探究：分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可。解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，解不等式x－2<0，得x<2，则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．将解集表示在数轴上如下：归纳提升：解不等式(组)的注意点(1)移项要改变项的符号。(2)利用性质3时要改变不等号的方向。(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集。对点训练C

典例剖析解绝对值不等式解不等式3≤|x－2|<4.思路探究：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解。归纳提升：绝对值不等式的解题策略：等价转化法(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：|x|<a⇔－a<x<a.|x|>a⇔x>a或x<－a.(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：a<|x|<b(0<a<b)⇔a<x<b或－b<x<－a.对点训练不等式|2x＋1|>3的解集是___________________.解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}。{x|x<－2或x>1}

典例剖析数轴上的基本公式及应用已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)。(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由。思路探究：根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解。(2)不存在这样的P(x)，理由如下：∵AB＝|1＋3|＝4<6，∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．归纳提升：数轴上基本公式的应用(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标。对点训练已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(6)．(1)若A与C关于点B对称，求x的值；(2)若线段AB的中点到C的距离大于5，求x的取值范围。典例剖析求解绝对值不等式时不理解绝对值的代数意义致错求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集。错因探究：利用绝对值的代数意义去绝对值时，一定要弄清各式值的正负，否则就会出错。解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.当x<1时，原不等式可化为1－x＋2－x≥3，解得x≤0.∴原不等式的解集为{x|x≤0}．当1≤x≤2时，原不等式可化为x－1＋2－x≥3,1≥3显然不成立．∴原不等式的解集为∅.当x>2时，原不等式可化为x－1＋x－2≥3，解得x≥3.∴原不等式的解集为{x|x≥3}．综上可知原不等式的解集为{x|x≤0或x≥3}．误区警示：解绝对值不等式时注意：①利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，各式值的正负必须弄清；②在利用零点分段法对绝对值进行化简时，注意x的取值范围，同时注意不要忘记解集的确定。典例剖析由不