Matlab结合窗函数法设计数字带通FIR滤波器

武汉理工大学《MATLAB课程设计》报告课程设计任务书学生姓名：专业班级：通信工程指导教师： 工作单位：信息工程学院题目:利用MATLAB仿真软件系统结合窗函数法设计一个数字带通FIR滤波器敬照亮主编《MATLAB教程与应用》徐明远主编《MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用》时间安排：第1周，安排任务（鉴主15楼实验室）第1-17周，仿真设计（鉴主13楼计算机实验室）第18周，完成（答辩，提交报告，演示）指导教师签名：初始条件：1MATLAB编程的基础知识2《信号与系统》滤波器的相关知识3《数字信号处理》的相关知识要求完成的主要任务:利用MATLAB仿真软件系统结合窗函数法设计一个数字带通FIR滤波器。参考书目:徐明远主编《MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用》刘泉主编《信号与系统》刘泉主编《数字信号处理》年月日系主任（或责任教师）签名：年月日武汉理工大学《MATLAB课程设计》报告目录摘要 原理说明随着信息时代的到来，数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术，并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波器占有极其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。现代数字滤波器可以用软件或硬件两种方式来实现。软件方式实现的优点是可以通过滤波器参数的改变去调整滤波器的性能。MATLAB是一种面向科学和工程计算的语言，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，具有编程效率高、调试手段丰富、扩充能力强等特点。MATLAB的信号处理工具箱具有强大的函数功能，它不仅可以用来设计数字滤波器，还可以使设计达到最优化，是数字滤波器设计的强有力工具。1.1数字滤波技术数字滤波，就是通过一定的计算或判断程序减少干扰在有用信号中的比重，故实质上是一种程序滤波。与此对应的就是模拟滤波，由于模拟滤波牵扯到的其他知识太多在此不详细介绍了，模拟滤波主要无源绿波（直接用电阻、电容、电感等不外接电源的元件组成的）与有源滤波（如运算放大器等需要外接电源组成的），其目的是将信号中的噪音和干扰滤去或者将希望得到的频率信号滤出为我所用。数字滤波的出现克服了模拟滤波的很多不足，具有以下优点：A．是用程序实现的，不需要增加硬设备，所以可靠性高，稳定性好。B．可以对频率很低的信号实现滤波，克服了模拟滤波的缺陷。C．可以根据信号的不同，采用不同的滤波方法或参数，具有灵活、方便、功能强的特点。几种常用的滤波方法：算术平均值法中值滤波法滑动平均值法限幅滤波法惯性滤波法数字滤波技术通过数字滤波器实现，从实现方法上可以分为FIR数字滤波器和IIR数字滤波器，按功能可分为低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）和带阻滤波器（BSF）。本文主要对FIR滤波器加以介绍。1.2FIR滤波器FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器，即有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位冲激响应是有限的，没有输入到输出的反馈，是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用，FIR滤波器具有以下主要优点：1.FIR滤波器具有准确的线性相位；2.FIR滤波器永远稳定；3.FIR滤波器设计方法一般是线性的；4.FIR滤波器在硬件上具有更高的运行效率；5.FIR滤波器启动传输时间只需要有限时间。FIR滤波器的主要缺点有：1.FIR滤波器为达到同样的性能要求需要比IIR滤波器高得多的阶数；2.相应的FIR滤波器的时延比同等性能的IIR滤波器高很多。FIR滤波器的硬件实现主要有数字集成芯片，DSP芯片FIR滤波器，可编程FIR滤波器，后两者的实际方法主要通过MATLAB软件进行设计，其设计方法多样，形式灵活，能够满足各种要求，并且不受数字集成芯片规格的限制。FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、多带和过渡带、约束最小二乘法、任意相应法、升余弦法，其中最常用的是窗函数法。1.3窗函数窗函数法是设计FIR滤波器的最主要方法之一，实际中遇到的离散时间信号总是有限长的，因此不可避免的要遇到数据截短的问题，在信号处理中，对离散序列的截短是通过序列与窗函数相乘来实现的。在信号处理中，窗函数是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在光谱分析、滤波器设计以及音频数据压缩等方面有广泛的应用。常用的窗函数有矩形窗、巴特利特（Bartlett）窗、三角窗、海明（Hamming）窗、汉宁（Hanning）窗、布莱克曼（Blackman）窗、切比雪夫（Chebyshev）窗、凯泽（Kaiser）窗。1.4MATLAB结合窗函数设计法原理数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波器有多种分类，根据数字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。IIR数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配。所以IIR滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长序列。它的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。FIR滤波器具有严格的相位特性，这对于语音信号处理和数据传输是和重要的。目前FIR滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。要设计一个线性相位的FIR数字滤波器，首先要求理想频率响应。是w的周期函数，周期为，可以展开成傅氏级数：（公式1-1）使用上述的传递函数去逼近，一个理想的频率响应的傅立叶反变换：（公式1-2）其中是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIRDF用的h(n)，因为一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用来近似。窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。设是一个长序列，是长度为N的窗函数，用截断，得到N点序列，即（公式1-3）在频域上则有 （公式1-4）由此可见，窗函数不仅仅会影响原信号在时域上的波形，而且也会影响到频域内的形状。 MATLAB信号工具箱主要提供了以下几种窗函数，如表1-1所示：窗窗函数矩形窗Boxcar三角窗Triang海明窗Hamming汉宁窗Hanning布莱克曼Blackman切比雪夫窗Chebyshev凯塞窗Kaiser表1-1MATLAB窗函数加矩形窗后的频谱和理想频谱可得到以下结论：加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况下的过渡带宽是。N越大，过渡带越窄、越陡；过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95％，与N无关。工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为：（公式1-5）这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定义为：旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值)（公式1-6）为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：(1)主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带。(2)尽量减少最大旁瓣的相对幅度，也就是能量集中于主瓣，以减小带内、带外波动的最大幅度，增大阻带衰减。一般来说，以上两点很难同时满足。当选取主瓣宽度很窄时，旁瓣的分量势必增加，从而带内、带外的波动也增加了；当选取最小的旁瓣幅度时，降低了带内、带外的波动，但是过渡带的陡度减小了。所以实际采用的窗函数其特性往往是它们的折中，在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，适当牺牲主瓣宽度来换取旁瓣波动的减小。

2各类窗函数简介数字信号处理领域中所用到的窗函数主要分为两大类，分别是：基本窗函数与广义窗函数。2.1基本窗函数基本窗函数包括以下三类，主要有：矩形窗函数、三角窗函数和巴特利特窗函数。下面就对这些窗函数展开介绍。2.1.1矩形窗函数矩形窗(RectangularWindow)函数的时域形式可以表示为：（公式2-1）它的频域特性为（公式2-2）Boxcar函数：生成矩形窗调用方式w=boxcar(n)：输入参数n是窗函数的长度；输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。从功能上讲，该函数又等价于w=ones(n,1)。2.1.2三角窗三角窗（BartlettWindow）函数时域形式可表示为：（公式2-3）窗谱为：（公式2-4）式中，当N远大于1时，此时，窗谱主瓣宽度为8/N。2.2广义余弦窗汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗，都可以用一种通用的形式表示，这就是广义余弦窗。这些窗都是广义余弦窗的特例，汉宁窗又被称为余弦平方窗或升余弦窗，海明窗又被称为改进的升余弦窗，而布莱克曼窗又被称为二阶升余弦窗。采用这些窗可以有效地降低旁瓣的高度，但是同时会增加主瓣的宽度。这些窗都是频率为0、2π/(N–1)和4π/(N–1)的余弦曲线的合成，其中N为窗的长度。通常采用下面的命令来生成这些窗： （公式2-5） （公式2-6）其中，A、B、C适用于自己定义的常数。根据它们取值的不同，可以形成不同的窗函数，分别是：汉宁窗A=0.5，B=0.5，C=0；海明窗A=0.54，B=0.54，C=0；布莱克曼窗A=0.5，B=0.5，C=0.08；

2.2.1汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（Hanning）函数时域形式可表示为：（公式2-7）利用傅利叶变换的调制特性，由上式可得汉宁窗的平谱函数为：（公式2-8）式中，(公式2-9)当N远大于1时，上式可近似表示为：（公式2-10）这三部分之和使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍，为8π/N。hanning函数：生成汉宁窗调用方式：(1)w=hanning(n)：输入参数n是窗函数的长度；输出参数w是由窗函数的值组成的n阶向量。注意：此函数不返回是零点的窗函数的首尾两个元素。(2)w=hanning(n,'symmetric')：与上面相类似。(3)w=hanning(n,'periodic')：此函数返回包括为零点的窗函数的首尾两个元素。

3方案设计与论证用窗函数法设计一个FIR带通滤波器。指示如下：低端阻带截止频率wls=0.2*pi；低端通带截止频率wlp=0.35*pi；高端通带截止频率whp=0.65*pi；高端阻带截止频率whs=0.8*pi；六种窗函数的基本参数如表1-2：窗函数旁瓣峰值幅度/dB过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗-134π/N-21三角形窗-258π/N-25汉宁窗-318π/N-44哈明窗-418π/N-53布莱克曼窗-5712π/N-74凯塞窗()-5710π/N-80表1-2窗函数基本参数以上表格里的参数设置是最佳窗函数设计，根据设计方案的要求，选择一个合适的窗函数进行滤波器的设计，从上表可以看出：最小带阻衰减仅有窗函数决定，不受N的影响，而过渡带的宽度则随窗函数的增加而减小。

3.1程序设计法程序法只以hamming窗为示例，其他窗函数的程序大体相同，只是在window=hanning(N)和hn=fir1(N-1,wc,hanning(N))处要调自己的窗函数即可。hanning窗设计程序示例：wls=0.2*pi;wlp=0.35*pi;whp=0.65*pi;wc=[wlp/pi,whp/pi];B=wlp-wls;N=ceil(8/0.15);n=0:N-1;window=hanning(N);[h1,w]=freqz(window,1);figure(1);stem(window);axis([06001.2]);grid;xlabel('n');title('Hanning窗函数');figure(2);plot(w/pi,20*log(abs(h1)/abs(h1(1))));axis([01-3500]);grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度(dB)');title('Hanning窗函数的频谱');hn=fir1(N-1,wc,hanning(N));[h2,w]=freqz(hn,1,512);figure(3);stem(n,hn);axis([060-0.250.25]);grid;xlabel('n');ylabel('h(n)');title(‘Hanning窗函数的单位脉冲响应’);figure(4);plot(w/pi,20*log(abs(h2)/abs(h2(1))));grid;xlabel('w/pi');ylabel('幅度(dB)');4窗函数仿真结果分析4.1汉宁窗函数仿真结果图4-1汉宁窗函数波形图图4-2汉宁窗函数频谱图图4-3汉宁窗设计带通滤波器的冲击响应图图4-4汉宁窗设计带通滤波器的幅频响应图4.2汉宁窗函数仿真结果分析由仿真波形图可以得出以下几个方面的分析结果：由图5-3可以看出，汉宁窗设计的带通滤波器的单位冲击响应为偶对称，也就是说当N为偶数时，单位冲击响应序列为偶函数，这说明FIR带通滤波器相位是严格的线性关系。由图5-2可以看出，汉宁窗函数的阻带衰减大约在-70dB到-300dB,也就是说旁瓣幅度远小于主瓣幅度，能量全部集中在主瓣，主瓣宽度也有所增加，效果比较明显。由图5-1可以看出，汉宁窗是典型的升余弦窗，基本符合汉宁窗函数的时域表达式，所加的窗口