初中数学由三角函数值求锐角强化练习3

初中数学由三角函数值求锐角强化练习3

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.若cosa=J,则锐角a的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在AABC中，若/A,NB满足五"4一日+（cosB-g）=0,则△ABC是（）

A.等腰非等边三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

3.已知a为锐角，且Qtan2a—（1十世）tana+1=0,则a的度数为（）

A.30°B.45°C.30°或45°D.45°或60°

4.如图，在矩形ABC。中，AB=8cm,AD=10cm,点E,尸分别是边AB,BC上的动

点，点E不与A,8重合，KEF=AB,G是五边形4EFCZ）内一点，GE=G/且

ZEGF=90°.①点E为48中点时，NAEG=75。；②点G到AB,BC的距离一定相等；

③点G到AB边的距离最大为4亚；④点G到AB边的距离可能为3.则以上说法正确

的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，已知在矩形A8CZ）中，AB=1,BC=6，点P是A。边上的一个动点，连结

点C关于直线3P的对称点为G，当点尸运动时，点G也随之运动.若点P从点

A运动到点。，则线段CG扫过的区域的面积是（）

D.2兀

6.如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形488,也

可以拼成正方形EFG”，则菱形ABC。面积和正方形EFG”面积之比为（）

A.1B.亭C-yD-t

7.如图，A3是OO的直径，若过05的中点E作弦COLAB,连接3C,则48=

)

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

8.当锐角A的cosA>"时，ZA的值为（）

2

A.小于45。B.小于30。C.大于45。D.大于60°

二、填空题

9.如图，在矩形ABCD中，AB=4?>,AD=\,把该矩形绕点A顺时针旋转a度得矩形

A8'C'。，点C落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是

R*

10.如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，切点为4,BC交。。于点。，直线

OE是。。的切线，切点为。，交AC于E,若0。半径为1,BC=4,则图中阴影部分

的面积为

11.计算：tan60。-cos3(r=；如果/A是锐角，且sinA=y,那么

NA=°,

12.半径为2cm的。。中，弦长为2gcm的弦所对的圆心角度数为一.

13.如图，在mAABC中，ZC=90°,BC=5,AC-12,则AB=,NA=

,NB=.(角度精确到r)

14.已知a、p均为锐角，且满足kina-g|+J(tan/?-if=0,则a+p=.

15.如图1,菱形ABC。的对角线AC与BD相交于点。，P、。两点同时从。点出

发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点尸的运动路线为

O-A-D-O,点Q的运动路线为。-C-8-0.设运动的时间为x秒，P、。间的距

离为y厘米，y与尤的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A-。段上运动且

P、。两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米.

图1图2

16.如图，AB与。。相切于点B,线段OA与弦BC垂直，垂足为D,A5=BC=2,

则乙4Q8=.

B

O\D/A

------%

三、解答题

17.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=gx2-bx+c交x轴于点A,B,点B的坐

标为(4,0),与y轴于交于点C(0,-2).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上取点D,若点D的横坐标为5,求点D的坐标及NADB的度数；

(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴/交x轴于点H,AABD的外接圆圆心为M

(如图1),

①求点M的坐标及。M的半径；

②过点B作。M的切线交/于点P(如图2),设Q为。M上一动点，则在点Q运动过

(1)已知a=3,b=3,求NA；

(2)已知b=4,c=8,求。及乙4；

(3)已知44=45。,。=8,求。及江

19.已知：如图，RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,延长CA至D点，使AD=

AB.求：

⑴求/D及NDBC；

⑵求tanD及tanZDBC；

⑶请用类似的方法，求tan22.5。.

20.如图，直线了=岛+6与双曲线y=2"(x>0)的交点为A,与*轴的交点为

x

B.

(1)求ZABO的度数；

(2)求A8的长；

(3)已知点C为双曲线y=2叵(x>0)上的一点，当NAOC=60。时，求点C的坐标.

X

21.如图，。是“8C外接圆上的点，且B,。位于AC的两侧，DELAB,垂足为E,

OE的延长线交此圆于点EBGrAD,垂足为G,BG交DE于点、H,DC,尸B的延长

线交于点P,且尸C=PB.

(1)求证：NBAD=/PCB；

(2)求证：BG//CD；

(3)设AABC外接圆的圆心为。，若AB=gDH,ZCOD=23°,求NP的度数.

22.如图，在。。中，AC为。。的直径，A3为。。的弦，点E是AC的中点，过点

E作A8的垂线，交AB于点M,交。。于点N,分别连接EB,CN.

(1)EM与8E的数量关系是;

(2)求证：EB=CN;

(3)若4W=百,M8=l,求阴影部分图形的面积.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据cosa=g,求出锐角a的度数即可.

【详解】

解：Vcosa=y,

/.a=60°.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2.B

【解析】

【分析】

本题根据隐藏条件直接计算，可得出答案.

【详解】

因为/A,/B满足|sinA—•§|+(cosB—；)2=(),而|sinA—g|zO,

(cosB--)2>0,则sinA=@,cosB=-,所以NA=60°,ZB=60°,则三角形ABC

222

为等边三角形.

【点睛】

本题主要考查了学生的三角函数知识和绝对值，掌握三角函数和寻找题目隐藏的条件是解

决此题的关键.

3.C

【解析】

【分析】

首先解一元二次方程求得tana的值，再根据特殊角的正弦值求出a的度数.

【详解】

6tan2a—(1+#))tana+1=0,

答案第1页，共22页

(73tana-1)(tana-1)=0,

解得tana=立或tana=l.

3

则a=30°或45°.

故选C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程以及特殊角的正弦值，正确解出方程并熟记特殊角的正弦值是

解答本题的关键.

4.C

【解析】

【分析】

与矩形的性质可知AfiJLBC,由题意知£F=AB=8,AEGF是等腰直角三角形,

EFr-

NGEF=NGFE=45。,EG=FG=-j==^2,①点E为AB中点时，BE=-AB=4,

BE1

cosNBEF=—=-,可知ZBEF的值，根据NAEG=180。-N3E尸-NGE尸计算可求ZA£G

EF2

的值，进而可判断①的正误；②如图，作GMLAB于M,GNA.BC于N,可知点G到

AB,8C的距离分别为GA7,GN,证明AMGE注ANGF(AAS),有GM=GN,进而可判断

②的正误；③由②可知，在R^MEG中,GM<GE,当E,M重合时，点G到AB边的距

离最大，最大值为4近，进而可判断③的正误；④由点E,F分别是边AB,BC上的动

点，点E不与A,B重合，可知点尸不与8,C重合，有NEFB>0°,

NGFE+NEFB>45°,G/V>GFxsin45°=4,GM>4,可知点G到AB边的距离大于4,

进而可判断④的正误.

【详解】

解：；四边是A8CD是矩形

ABA.BC

由题意知m=A8=8,

VGE=GF,ZEGF=90°

.•.△£G/是等腰直角三角形

NGEF=NGFE=45°

EF

EG=FG==40

72

答案第2页，共22页

①点E为AB中点时，

BE=-AB=4

2

小〜BE1

cosZ-BEr==—

EF2

，ZBEF=60°

ZAEG=180。一ZBEF-NGEF=75°

故①正确；

②如图，作GM_LA8于M,GN1BC于N,

工点G到A8,8。的距离分别为GM,GN

VGM1AB,GNIBC

：.GM-LGN

：.ZMGN=NEGF=90。

■:ZMGN-ZEGN=Z.EGF-ZEGN

:.4MGE=4NGF

在aMGE和VVG尸中

NMGE=/NGF

V^ZGME=ZGNF=90°

GE=GF

：.^MGE^NGF(AAS)

：.GM=GN

故②正确；

③由②可知，在砂AMEG中，GM<GE

・••当重合时，点G到A8边的距离最大，最大值为4&

故③正确；

④・・•点E,尸分别是边A8,BC上的动点，点E不与A,8重合

答案第3页，共22页

...点F不与8,C重合

Z£FB>0°

二NGFE+NEFB>45。

：.GN>GFxsin45°=4

GM=GN

：.GM>4

，点G到AB边的距离大于4,

故④错误；

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，特殊角的

三角形函数值.解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用.

5.B

【解析】

【分析】

先判断出点。在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C/在以B为圆心，BC为直径的

圆弧上运动，找到当点尸与点A重合时，点尸与点。重合时，点C/运动的位置，利用扇

形的面积公式及三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：设8尸与CG相交于。，贝i」NBQC=90。，

二当点P在线段AD运动时，点。在以BC为直径的圆弧上运动,

延长CB到E,使BE=BC,连接EC,

VC,。关于PB对称,

二NECiC=/BQC=90°,

答案第4页，共22页

...点。在以8为圆心，BC为直径的圆弧上运动,

当点P与点A重合时，点C/与点E重合，

当点P与点。重合时，点C/与点尸重合，

ZPBC=30°,

；.NFBP=NPBC=30°,CQ=-BC=—,BQ=43CQ=~,

222

AZFBE=180°-30°-30°=120°,SarF=-CC,xBQ=^-x-=迈，

aBCF2224

线段cc,扫过的区域的面积是12°万x(G)…巫.

360MF4

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积

公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.

6.C

【解析】

【分析】

设直角三角形的长直角边长为6,短直角边长为。，根据菱形的性质可得6=也〃，从而得

到%形g=2小0％方耐的=4。2,即可解答・

【详解】

解：设直角三角形的长直角边长为6,短直角边长为。,

・•・西边形A8CD是菱形，

答案第5页，共22页

\AD=AB=2a,

1AB.

,1

cosA=-----=—

AD2

/.ZA=60°,

:.b=6a，

S箜形板。=4xgab=2ab=2底F,

s正方形防=跖2=a2+h2=6Z24-(6a)2=4a2,

S英彩ABCD=26q2=6

S正方形EFCH4a2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解

题意是解题的关键.

7.D

【解析】

【分析】

连接。£>,在中，解直角三角形，求得NEOD=60。，进而根据圆周角定理求解即

可

【详解】

解：连接0。，

•.•E是08的中点

答案第6页，共22页

,OE=-OB=-OD

22

•・・OBVCD

EO1

/.cosZE(9D=—=-

OD2

.-.Z£OD=60°

ZBOD=60°

DB=DB

ZBCD=-ZBOD=30°

2

故选D

【点睛】

本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关

键.

8.A

【解析】

【分析】

明确cos45°=正，余弦函数随角增大而减小进行分析.

2

【详解】

解：根据COS45。：受，余弦函数随角增大而减小，则N4一定小于45。.

2

故选：A.

【点睛】

熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键.

9.B-巴

24

【解析】

【分析】

首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S“wc，S扇脑*，即可得

出阴影部分面积.

【详解】

解：•••在矩形ABCD中，AB=6,AD=[,

答案第7页，共22页

iJ3

/.tanZCAB=-j==—AB=CD=y/3,AD=BC=\,

V339

:.ZCAB=30°1

NB4，=30。,

，S=-xlx^=—,

△4AftBrC22

C_30VX（G）2_71

13>A«1TZn....——,

S阴影=SAABC~S南形BA*=

此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数

是解题关键.

10.垂＞_=兀

3

【解析】

【分析】

连接。。、OE、AD,AO交OE于F,如图，根据切线的性质得到NBAC=90。，利用余弦

的定义可计算出/8=60。，则根据圆周角定理得到NAO8=90。，NAOD=120。，于是可计

算出BO=1,AD=6,接着证明AAOE为等边三角形，求出。尸=g,根据扇形的面积公

式，利用S第影部分=S谈彩。AEQ-S扇/A0D=S4ADE+SAA0D-S晶胫A。。进行计算.

【详解】

解：连接o。、OE、AD,AD交OE于尸，如图，

•••AC是。。的切线，切点为4,

：.AB±AC,

：.ZBAC=90°,

答案第8页，共22页

在RmABC中，cosB=—=2=?，

回42

ZB=60°,

二400=2/8=120。，

为直径，

，ZADB=90°,

：.ZBAD=90°-Zfi=90°-60°=30°,

Rt^ADB,BD=^AB=\,

/.AD=BDtan600=6BD=£,

•直线£>£、E4都是。。的切线，

,EA=ED,ZDAE=900-ZBAD=90°-30°-60°,

.♦.△AOE为等边三角形，

而QA=O。，

•♦.OE垂直平分A。，

ZAFO=W°,

在R34OF中，NOAF=30°,

：.OF=^OA=^,

；・S阴影部分=5四边形OAED-S扇形AOD,

=S^ADE+S^AOD-S扇形AOD,

120x^xl2

=­x(⑸2+9牛；

360

=&上•

故答案为6-§力.

【点睛】

答案第9页，共22页

本题考查圆的切线，圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30。角直角三角形的

性质，掌握和运用圆的切线，圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30。角直角

三角形的性质是解题关键.

II.空30

3

【解析】

【分析】

由特殊角三角函数值进行计算，即可求出答案.

【详解】

解：tan600-tan300=>/3--=—;

33

,.•sin4=g,NA是锐角，

NA=30。；

故答案为：—;30.

3

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题.

12.1200

【解析】

【分析】

4/)

作OQ1A5,由垂径定理知，点。是48的中点，在直角三角形中，利用cosA=­,根

OA

据比值求得NA的度数，从而知道NA8的度数，即可进一步求得最后答案.

【详解】

如图，作OOJ_A8,由垂径定理知，点。是AB的中点，

,NA=30°,

答案第10页，共22页

AZAOD=60°,

AZAOB=2ZAOD=120°,

故答案为：120。.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值、垂径定理等相关知识点，牢记知识点是解题关键.

13.1322°36'67°24'

【解析】

【分析】

根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案.

【详解】

解：VZC=90°,BC=5,AC=\2,

...由勾股定理可知：AB=7BC2+AC2=I3>

..BC5

..smNA=---=——,

AB13

ZA~22°36\

AZB=90°-ZA=67°24,；

故答案为：13,22°36\67°24,.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

14.75°

【解析】

【详解】

试题分析：由已知sina-g=0,tanp-l=0,.*.a=30°,p=45°,.*.a+P=75°.

考点：1.非负数的性质；2.特殊角的三角函数值.

15.（273+3）

【解析】

【分析】

四边形ABC。是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和N4cB.当点P

在A-O段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时尸。连线过。点且垂直于8c.根据

答案第II页，共22页

三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和.

【详解】

由图可知，AC=26,BD=2（厘米），

•・•四边形ABCO为菱形

AOC=-AC=4?>,OB=-BD=\（厘米）

22

，ZACB=30°

尸在AD上时，。在8c上，PQ距离最短时，PQ连线过O点且垂直于BC.

此时，P、。两点运动路程之和S=2（OC+CQ）

VCQ=OC-cosZACB=y/3x^=-（厘米）

22

.•.S=2（G+|）=26+3（厘米）

故答案为（26+3）.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质和三角函数.解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度.

16.60°.

【解析】

【分析】

【详解】

VOA1BC,BC=2,

...根据垂径定理得：BD=1BC=I.

BD]

在RsABD中，sinZA=----=—.

AB2

ZA=30°.

・・・AB与。O相切于点B,

・・・ZABO=90°.

・,.ZAOB=60°.

i3（35、

17.（1）y=-x2--x-2；（2）点。的坐标为（5,3）,45。；（3）①点M的坐标为匕,引

0M的半径为|灰；②在点。运动过程中器的值不变，其值为它

【解析】

答案第12页，共22页

【分析】

(1)将3(4,0),C(0,-2)代入解析式，求出解析式的系数，即可得解；

(2)将x=5代入解析式，求出几可得。点坐标；令y=0,求出A、B坐标，由勾股定

理或两点间距离公式求出AD、BD,再由面积法求出BH,从而求出NADB的正弦值，可

知/ADB的度数；

(3)①由圆周角定理结合等腰直角三角形边的关系求出点M的坐标和。〃的半径；②证

明QH和QP所在的△HMQ和4QMP相似即可.

【详解】

3

(1)将8(4,0),C(0,-2)代入解析式得，b=j,c=—2,

ia

...设抛物线的解析式为：y=^-^x-2

(2)当x=5时，y=-x52--x5-2=3

.•.点。的坐标为(5,3),

当y=0时，x=-I或4,

A(-l,0),8(4,0)

如图，连结80,作于"，

图①

•••A(-1,0),8(4,0),C(0,-2),

二AO=3石，BD=M,

・•c_5x3_3&BH

•睦加=~'

，BH=y/5,

BH石—夜

：.sinZADB=

而一正一工

答案第13页，共22页

:.ZADB=45°；

(3)①如图，连接MA,MB,

：.ZAMB=2ZADB=90°,

MA=MB^MHLAB,

：.AH=BH=HM=',

2

点M的坐标为佶,"，OM的半径为:血;

(22)2

②如图，连接MQ,MB,

,过点8作。M的切线交/于点P,

・・・ZMfiP=90°,

ZMBO=45°,

/PBH=45°,

/.PH=HB=-

2

5

MH_2

MQ*及MP-52

2

答案第14页，共22页

.MHMQ

MQ-MP'

・.,4HMQ=4QMP,

：.△"M2s/\QMP,

.QHMHyf2

••万=丽=3'

...在点。运动过程中察的值不变，其值为变.

QP2

【点睛】

本题考查抛物线和圆中的性质和定理，解题关键是运用三角函数值求角度，运用三角形相

似确定线段比值.

18.(1)4=45°；(2)G=4^,ZA=60°;(3)”=。=4夜

【解析】

【分析】

(1)根据直角三角形/A的正切值可得N4(2)根据直角三角形的余弦值可得NA,

再由N4的正弦值得到a；(3)根据直角三角形N4的正弦值、余弦值分别可得a、b.

【详解】

(1),:Rt4ABC,ZC=90°,a=3,b=3

.A〃31

・・tanA=-=—=1

b3

/.ZA=45°

(2),:Rt^ABC,ZC=90°,0=4,c=8

.「41

・・cosA=—=—=—

c82

・•・4=60。

；・a=csinA=8xsin60°=8x=4G

2

(3)•:RtAABC,ZC=90°,ZA=45°,c=8

**•«=csinA=8xsin45°=8x——=4应,h=ccosA=8xcos45°=8x——=40.

22

【点睛】

本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角三角函数值，熟练转化求边角

公式是解决本题的关键.

答案第15页，共22页

19.（1）ZD=15°,ZDBC=75°；（2）tanD=2-G；tan/DBC=2+6（3）72-1.

【解析】

【分析】

（1）利用外角性质得ND=15o,NDBC=75。；（2）设BC=1,根据30。角所对直角边等于斜边

一半表示出直角边,利用正切值定义即可解题；（3）作出图形，根据外角性质和等腰直角三角

形性质即可解题，见详解.

【详解】

解：（1）；AD=AB

ZD+ZDBA=30°（外角性质）

；./D=15°,ZDBC=15o+60°=75°；

⑵设BC=1贝UAB=AD=2,（30。角所对直角边等于斜边一半）

：.AC=£（勾股定理）

/.tanD==—^-3==2—>/3,

CD2+V3

tan/DBC=—=^2^=2+6,

BC1

（3）见下图，RSABC中，ZC=90。，ZBAC=45°,延长CA至D点，使AD=AB.

二/D=22.5。，

设BC=1,

.,.AC=1,AB=V2,

Atan22.5=—=—二=6-1.

CD1+V2

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，特殊的三角函数值，勾股定理，中等难度，熟悉正切值的定义，构造

答案第16页，共22页

含特殊角的直角三角形是解题关键.

20.(1)Z4BO=60°；(2)4；(3)^14,—

【解析】

【分析】

(1)分别利用直线的解析式与双曲线的解析式求出4,B的坐标，然后利用

A

tanZABO=——求解即可；

A一Bx

(2)直接利用勾股定理求解即可；

(3)过点A作交OC的延长线于点£),则心然后利用相似

三角形的性质得出点。的坐标，进而用待定系数法求出直线。。的解析式，然后与双曲线

的解析式联立求解即可.

【详解】

解：(1)由后+6=0,得x=-l,

.•.8点的坐标为(-1,0)

由6x+石得x=-2或x=l.

X

vx>0,则A点的坐标为(1,20)

/.tanZ.ABO=———=.G

Ax-Bx1-(-1)

・•.ZABO=60°；

⑵AB=7(-1-1)2+(0-2^)2=A/4+12=4;

(3)过点人作A£>_LOA交0c的延长线于点。，如图所示,

・・・ZEAO+ZAOE=ZEAO+ZFAD=90°,

:.ZAOE=ZFAD,

-,­ZAEO=ZAFD=90°,

Rt/\ADF^Rt/\OAE,

.ADDFAF

'~OA~~AE~~dE'

答案第17页，共22页

•・,—=tanZAOC=tan60。=G,且A点的坐标为(1,273)

OA

:.DF=6,AF=6

点的坐标为(7,6)

直线OO的方程为y=

由在x=拽，得x=±E.

7x

,.,x>o,则c点的坐标为.

【点睛】

本题主要考查双曲线与几何综合，掌握待定系数法以及相似三角形的判定及性质是解题的

关键.

21.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)97°

【解析】

【分析】

(1)根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.

(2)根据等边对等角得：ZPCB=ZPBC,由圆内接四边形的性质得：

ZBAD+ZBCD=180°,从而得：ZBFD=ZPCB=ZPBC,根据平行线的判定得：

BC〃DF,可得NABC=90。，AC是。。的直径，从而得：NADC=NAGB=90。，根据同位

角相等可得结论；

(3)先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH,根据特殊的三角函数值得：

83

ZACB=60°,