2021年05月30日海阔天空的高中数学组卷

2021年05月30日海阔天空的高中数学组卷

一.选择题（共8小题）

1.已知复数2=磊，，是虚数单位，则复数2的虚部是（）

1-177

A.—B.—iC.—D.—i

25252525

2.已知前=夜，向=4,当EL（4a-b）时，向量之与片的夹角为（）

nn27r37r

A.-B.-C.—D.—

6434

3.阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠

基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆

柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积

的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（）

1123

A.—B.-C.-D.一

2334

4.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度

越高.统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了如图的折

线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）

（1978-2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数

75

50

25

0

198年1脸年I9K60-I99O«I-19必年19徐年2002^.20b6年20诂年2（）i4年20i8年

♦城Ml居民室盛恩格尔系数＜%＞♦农H居民家处恩咯然系数＞

A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭

B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高

C.1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%

D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小

5.袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（)

A.至少有一个白球；都是白球

B.两个白球；至少有一个红球

C.红球、白球各一个；都是白球

D.红球、白球各一个；至少有一个白球

6.已知石，b,工是平面向量，K是单位向量，若向量b满足块一4鼠b+3=0,则V；,e>

=今（。中0）,则|a—b|的最小值是（）

A.V3-1B.V2-1C.V3+1D.V2+1

(acosB-^bcosA)cosB1

7.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,若・一,

2a+b2

且2SMBC-HC=0,则当她取到最小值时，a=()

llr-V3

A.2V3B.V3C.3V3D.一

2

8.已知三棱锥P-ABC中，△ABC是以角A为直角的直角三角形，AB=AC=2,PB=PC,

PA=V14,Oi为△ABC的外接圆的圆心，cosNB4Oi=挈，那么三棱锥P-A8C外接球

的体积为（）

7TC7V147T

A.—B.---------C.2V147rD.7n

33

二.多选题（共4小题）

9.若（l+i）"=（1-i）"，则”可以是（)

A.104B.106C.108D.109

10.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80

名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60,65）[65,

70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列

结论正确的是（）

频率

A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5

B.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75h〃/〃的概率为0.65

C.若从样本中车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在［65,

10

70）的概率为一

11

D.若从样本中车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在［65,70）内的概率

若

11.将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（）

1

A.4位女同学分到同一组的概率为不

35

3

B.男生甲和女生乙分到甲组的概率为一

14

32

C.有且只有3位女同学分到同一组的概率为不

35

34

D.4位男同学不同时分到甲组的概率为不

35

12.若长方体ABC£>-AiBiCi£>i的底面是边长为2的正方形，高为4,E是£>£>i的中点，

则（）

A.B\EVA\B

B.平面8CE〃平面48。

8

C.三棱锥Ci-B\CE的体积为］

D.三棱锥。-B\CD\的外接球的表面积为24TT

三.填空题（共4小题）

13.欧拉公式声=cosx+isim（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数

学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2,表示的复数在复平面中位于第象限.

14.已知一组数据的标准差为s,将这组数据都扩大3倍，所得到的一组新数据的方差

是.

15.已知点O,A,B,C在同一平面上，A,B,C三点不共线，且满足/+几+江=力，

其中|31|=遍，\0B\=2,|0C|=V14,则小•法的值为,则△A8C的面积为.

16.如图，已知菱形ABC。边长为3,/氏4。=60°,点E为对角线AC上一点，AC=6AE.将

△A3。沿8。翻折到4A'BZ)的位置,E记为E',且二面角4'-8。-C的大小为120°,

则三棱锥4'BC。的外接球的半径为；过E'作平面a与该外接

球相交，所得截面面积的最小值为.

四.解答题(共6小题)

17.己知复数2=(〃，+,"-6)+(/n2-3/n+2)i(znGR).

(I)当m取何值时，z为纯虚数？

(II)如果复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.

18.如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,ZACB=60°.

(1)求疝I；

(2)已知点。是AB上一点，满足元)=心市，点E是边CB上一点，满足晶=入院.

①当人时，求启cB；

②是否存在非零实数入，使得n_Lb?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

19.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4acosA=ccosB+8cosc.

(1)若a=4,ZVIBC的面积为m，求b,c的值;

(2)若sin8=AsinC(A>0),且△ABC为钝角三角形，求后的取值范围.

20.如图，在正四棱台ABCC-4B1C1。中，A\B\=a,AB=2a,AAX=y/2a,E、尸分别

是AO、AB的中点.

(I)求证：平面EFBi£>i〃平面BDCi；

(II)求证：4c(平面5DG.

注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱

锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱

台.

A

21.某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管

理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分(满分100

分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分低于60分60分到79分80分到89分90分及以上

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

已知满意度等级为基本满意的有136人.

(/)求表中a的值及不满意的人数；

(〃)特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取

2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在［40,50)的概率；

(〃/)若师生的满意指数不低于0.8,则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学

的统计知识，判断是否能获奖，并说明理由.(注：满意指数=满意程?瞥,均分)

22.品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出〃(〃€N*且〃》

4)瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段

时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这〃瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称

为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以⑶，。2,

“3，…，a”表示第一次排序时被排在1,2,3,…，〃的〃种酒在第二次排序时的序号,

并令X=|l-m|+|2-a2|+|3-如|+-+1"-如|,则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

(1)证明：无论〃取何值，X的可能取值都为非负偶数；

(2)取〃=4,假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，m，。2,。3,“4等可能地为

1,2,3,4的各种排列，且各轮测试相互独立.若某品酒师在相继进行的三轮测试中，

都有XW2,则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解

释该测试方法的合理性.

2021年05月30日海阔天空的高中数学组卷

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.已知复数2=毋，i是虚数单位，则复数2的虚部是（）

1-177

A.-B.—iC.-D.-i

25252525

【分析】先利用复数的除法运算求出复数Z,然后再由共甄复数的定义求出2,即可得到

答案.

【解答】解：因为复数2=品=法儡瑞=弓9=一支一命，

17

所以2=一万+西八

7

故复数2的虚部是手.

25

故选：C.

【点评】本题考查了复数的除法运算以及共轨复数定义的应用，考查了化简运算能力，

属于基础题.

2.己知面=遮，值|=4,当Z，（4a-b）El寸，向量；与d的夹角为（）

7Tn27r37r

A.-B•-C.—D.—

6434

【分析】根据题意，设向量：与前勺夹角为。，由数量积的计算公式可得%•（赤-%）=4”

b-b2=16V2cos0-16=0,变形可得cos。的值，结合。的范围分析可得答案.

【解答】解：根据题意，设向量;与1的夹角为。，

若b_L（4a—b）,则b）=4a*b—Z?2=16V2cos0-16=0,

变形可得：cos9=?，

又由owewn,则

q

故选：B.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

3.阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠

基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆

柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积

的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（）

1123

A.—B.—C.-D.一

2334

【分析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为/?,高为2R,分别求出圆柱及其内切球

的表面积，作比得答案.

【解答】解：设球的半径为七

则圆柱的底面半径为R,高为2R,

则圆柱的表面积为5=如网+2豆/?・27?=671/?2,

球的表面积为S球=4TC/?2.

4TTR22

•••圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为"7=o.

6nR23

故选：C.

【点评】本题考查球和圆柱的表面积的计算，考查运算求解能力，是基础题.

4.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度

越高.统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了如图的折

线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）

（1978-2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数

A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭

B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高

C.1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%

D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小

【分析】通过观察1978-2018年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，

即能得出正确选项.

【解答】解：由上述折线图可知：

选项A,因为城镇的系数一直在农村居民的上方，故城镇居民家庭生活富裕程度不低于

农村居民，A正确；

选项B,城镇和农村的恩格尔系数整体上都在下降，说明城镇和农村居民家庭生活富裕

程度越来越高，B正确；

对于C,1996-2000年我国农村居民家庭恩格尔系数高于50%,C错误；

对于D,结合图形得到城镇和农村家庭恩格尔系数之间的差距越来越小，说明城镇和农

村家庭生活富裕程度差别越来越小，。正确.

故选：C.

【点评】本题考查居民家庭恩格尔系数的变化统计图等基础知识，考查推理论证能力与

运算求解能力，属于基础题.

5.袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球

B.两个白球；至少有一个红球

C.红球、白球各一个；都是白球

D.红球、白球各一个；至少有一个白球

【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3利I“2个白

球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”.由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中

必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论.

【解答】解：从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2

个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”.

由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，

对于A,至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件.故不符合.

对于8两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合.

对于C红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件不是互斥事件，故符

合.

对于。红球、臼球各一个；至少有一个白，不是互斥事件.故不符合.

故选：C.

【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.

6.已知石，b,工是平面向量，K是单位向量，若向量b满足块一4鼠b+3=0,则V；,e>

=(a0),则|a—b|的最小值是()

A.V3-1B.V2-1C.V3+1D.V2+1

【分析】将条件点一4"1+3=。转化为值-2e|=1,可知向量而勺终点落在以2"的终

点为圆心，半径为1的圆上，然后再结合向-小的几何意义，直线与圆的位置关系求出

结果.

【解答】解：因为或是单位向量，

由广—4e-b+3=0得后—46-e+4e2=1,

即(b-)2=i,所以g—22|=1.

以。为原点，将"，a,甘的起点都设为0,"的方向作为x轴的正方向，如图建立坐标系：

设易=2e,结合值一2•=1,施终点P落在以N(2,0)为圆心，半径为1的圆上.

因为V,e>=l，结合对称性，不妨设2的终点。落在射线OQ上，其中NQ0N=£

结合直线与圆的位置关系可知，过N做N。，射线OQ,垂足为Q,且NQ与圆交于点P

(如图所示)，此时PQ的长度最小.

结合“0N=g,故△QON为等腰直角三角形，由ON=2,可知NQ=&,

因为PN=1,所以PQ的最小值为近一1.

故选：B.

【点评】本题考查数量积的性质以及向量模的几何意义，属于中档题.

{acosB+bcosA)cosB1

7.已知AABC中，内角4,B,。所对的边分别是mb,c,若

2a+b2

且2SMBC-囱c=0,则当浦取到最小值时，a=()

LLL百

A.2V3B.V3C.3V3D.一

2

【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosC=-sinB,

结合sinBWO,可求cosC=—亍,

结合范围CW(0,n),可求C的值，利用已知及三角形的面积公式可求灿=2的由余弦

定理，基本不等式可求当且仅当〃=匕时等号成立，结合题可得)=3",且〃

=b,即可解得〃的值.

M…(acosB+bcosA)cosB1

【解答】解：：——-一=?

ab2R{sinAcosB-\-sinBcosA)cosB1

.•.结合一,

sinAsinB2sinA+sinB2

sinCcosB1

一,

2sinA+sinB2

.•.2sinCcosjB=2sin(B+C)+sinB,

即2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,

则2sinBcosC=-sinB,

VsinB^O,

cosC=一亍

/.CG(0,7T),

.-2

••C=^-TT.

•2s&ABC~=0,

/.2xiahx=V3c,可得：ab=2c,

由余弦定理可得：c2=cr+b2+ab2ab+ab=3ab,当且仅当a—b时等号成立，

・・・则当4。取到最小值时，C取得最小值，

此时，c2=3〃6,且〃=〃，解得：a=2V3.

故选：A.

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余

弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档

题.

8.已知三棱锥尸-ABC中，ZVIBC是以角A为直角的直角三角形，AB=AC=29PB=PC,

B4=V14,Oi为AABC的外接圆的圆心，cos/以O尸孥，那么三棱锥P-ABC外接球

的体积为（）

【分析】作出图象，连结PO\,OO\,PO,AO,在△以01中，由余弦定理得到P。1=2V2,

再由正弦定理得到NPOM=120°,在RtZXAOOi中，。。/=/?2-2,在△po°i中，由

余弦定理可求出产，利用球的体积公式求解即可.

【解答】解：如图，设三棱锥尸-A2C外接球的球心为0,半径为R,连结尸Oi，。01，

PO,AO,

由已知可得，BC为圆01的直径，BC=2V2,则4。1=a,因为cos/BAO尸竽，

在△阳Oi中，由余弦定理可得，POi2=P42+4Oi2-2PA.4Oi.cosNPAOi=8,则

POi=2V2.

又40/+P。/=10<PA2=14,所以/附0］为钝角，

由正弦定理可得，.P~A人=——POTi—,即=A/14;=F2V2，解得s讥"。遇=苧%，

sinZ.PO^Sinz-PAO1sinZ.PO^V212

7

所以NPOiA=l20°,

因为AOi，。。1，尸Oi三线共面，00i_LA0i，则NPOOi=30°,

在RtzMOOi中，。。/=腔一2,

在△P0Q中，P02=。。/+PO^-2。。1•POi-cos乙POi。,

所以R2=R2_2+8_27R2-2-2\[2-cos30°,解得R2=

故三棱锥P-ABC的外接球的体积为V=盘R3=9：x度=名券.

故选：B.

【点评】本题考查了三棱锥外接球体积的求解，正弦定理和余弦定理的应用，考查了学

生空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

二.多选题(共4小题)

9.若(1+i)”=(1-z)",则〃可以是()

A.104B.106C.108D.109

【分析】利用(l+i)2=l+2i-l=2i,(1-/)2=1-2i-1=-2i,将(1+i)”=(1-z)

nnnnn

”变形为22.(i)2=(-1)2.22.(i)2,从而确定w满足的条件，得到答案.

【解答】解：因为(1+力2=l+2i-l=2i,(1-力2=11=-2i,

又(l+i)"=(1-i)",

nnnn

所以(1+i)n=[(1+i)2]2=(2»,(1-i)n=[(1-I)2]2=(-21)2,

nnnnnnn

故⑵)2=(-2i)2,即22-(i)2=(-1)2.22-(i)2,

故当t为偶数时，(1+。”=(1-z)

故选：AC.

【点评】本题考查了复数的运算，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

10.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80

名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速km/h')分成六段：[60,65)[65,

70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列

结论正确的是()

A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5

B.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过"km/h的概率为0.65

C.若从样本中车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在［65,

、.10

70）的概率为G

D.若从样本中车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在［65,70）内的概率

【分析】时于A：众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，可判断4是否正确；对于B：

计算车速超过75切7/〃的频率，可判断8是否正确；对于C：通过计算得从样本中车速在

160,70）的车辆有12辆，车速在［60,65）的车辆有4辆，车速在［65,70）的车辆有8

辆，进而可得至少有一辆车的车速在［65,70）的概率，可判断C是否正确，车速都在［65,

70）内的概率，可判断。是否正确.

yr।on

【解答】解：对于4由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值=77.5,

故4正确，

对于B：车速超过75加/〃的（0.06+0.05+0.02）X5=0.65,故B正确,

对于C：从样本中车速在［60,70）的车辆有（0.01+0.02）X5X80=12辆，

车速在［60,65）的车辆有0.01X5X80=4辆，车速在［65,70）的车辆有8辆，

中任意抽取2辆，车速都在［60,65）的概率为昔=二，

C1211

则至少有一辆车的车速在［65,70）的概率为1-1=当，故C正确，

&14

对于。：车速都在［65,70）内的概率为6=/，故。错误.

C-1o33

故选：A8C.

【点评】本题考查频率分布直方图，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

11.将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组,则下列说法正确的是()

A.4位女同学分到同一组的概率为二；

35

3

B.男生甲和女生乙分到甲组的概率为一

14

32

C.有且只有3位女同学分到同一组的概率为不

35

34

D.4位男同学不同时分到甲组的概率为:

35

【分析】利用古典概型、排列组合直接求解.

【解答】解：8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为得以=70,

A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2利，，其概率为三=三，故A正确；

7035

153

8选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为量以=15,其概率为五=五，故8正

确；

C选项，有且只有3位女同学分到同一组不同分法为雷玛-2=32种，

则有且只有3位女同学分到同一组的概率为兀=—,故C错误；

。选项，4位男同学同时分到甲组只有I种，其概率为高，

则4位男同学不同时分到甲组的概率为1-4=黑，故。错误，

故选：AB.

【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力等数学核心素养，是基础题.

12.若长方体ABCQ-AiBiCiDi的底面是边长为2的正方形，高为4,E是。功的中点，

则()

A.B\E.LA\B

B.平面BiCE〃平面AiB。

8

C.三棱锥Cl-BlCE的体积为§

D.三棱锥Ci-B\CD\的外接球的表面积为24n

【分析】在4中，以A为原点，AB为x轴，AO为y轴，A4为z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法推导出BiE与48不垂直；在8中，求出平面BCE的法向量和平面

AiB。的法向量，利用向量法能求出平面BiCE与平面48。相交；在C中，三棱锥Ci

-B\CE的体积为％L&CE=VB.-C.CE=*在。中，三棱锥Ci-B\CD\的外接球就是长

122+22+42

方体ABC。-A\B\C\D\的外接球，从而三棱锥Ci-B\CD\的外接球半径R=4―々-------=

V6,由此求出三棱锥Ci-B\CD\的外接球的表面积为241r.

【解答】解：长方体4BC0-4B1C1。的底面是边长为2的正方形，高为4,E是DDi

的中点，

在A中，以A为原点，AB为x轴，为y轴，A4为z轴，建立空间直角坐标系，

则81(2,0,4),E(0,2,2),Ai(0,0,4),B(2,0,0),

蠢=(-2,2,-2),A；B=(2,0,-4),

"：B^E-A1B=-4+0+8=4^0,与AiB不垂直,故A错误;

在8中，B\(2,0,4),C(2,2,0),E(0,2,2),Ai(0,0,4),B(2,0,0),D

(0,2,0),

CB1=(0,-2,4),CE=(-2,0,2),=(-2,0,4),5D=(-2,2,0),

设平面8iCE的法向量%=(x,y,z),

dn-CB1=-2y+4z=01取—得j],2,1),

n-CE=-2x+2z=0

设平面AiBZ)的法向量？n=(a,b,c),

'TT

.m-BA--2x+4z=0殂-1

则m一t，取Hx=l,得?n=(1,1,-)，

.m•BD=-2x+2y=0”

"m,1不共线，.•.平面为CE与平面48。相交，故8错误：

在C中，三棱锥Ci-BiCE的体积为:

118•

UQ-BIC£=%i-qcE=可*2*4*2工2=彳故C正确；

在。中，三棱锥Ci-BiCDi的外接球就是长方体ABC。-AiBCiOi的外接球,

...三棱锥Cl-B1CDI的外接球半径R=L2—=V6,

2

三棱锥Ci-B\CD\的外接球的表面积为S=47rx（V6）=24m故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查推理论证能力，是中档题.

三.填空题（共4小题）

13.欧拉公式户=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数

学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于第二象限.

【分析】根据於=cos2+isin2,以及2£（一，2）,即可判断出.

2

【解答】解：e2/=cos2+/sin2,

TC

V26（一，2）,

2

ACOS2G（-1,0）,sin2G（0,1）,

••.e2,表示的复数在复平面中位于第二象限.

故答案为：二.

【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

14.己知一组数据的标准差为s,将这组数据都扩大3倍，所得到的一组新数据的方差是

952.

【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以3,所以平均数变，方差

也变.设原来的平均数为五新数据的平均数变为3元，（a=3）,利用方差公式，计算出

新数据的方差即可.

【解答】解：由题意知，原来的平均数为元，新数据的平均数变为。总（。=3）

原来的方差$2=3（用一元）2+（X2-元）2+（X3-X）2],

现在的方差S'2=（0X1-（ZX）~+（0X2-ax）2+（0X3-衣）2]

222

=1[a（xi-x）~+（JC2-X）+"-+（xn—x）J

—t^s2,

...求得新数据的方差为9s2.

故答案为9?.

【点评】本题说明了一个一般规律：当数据都乘以一个数。时，方差变为原来的/倍.

15.已知点。，4,B,C在同一平面上，4,B,C三点不共线，且满足后+办+品=3,

其中|&|=V6,\OB\=2,\OC\=V14,则&•办的值为2,则AABC的面积为3星.

【分析】通过&+荒+左=£|0C|=V14,求出后•茄=2,推出sin/408,然后

求解SAAOB，同理求解SAAOC，SASOC然后推出结果.

【解答】解：由题意力+OB+OC=0,\OC\=V14,可知：|&+而I=I一儿J=I后I=

V14,

所以办2+OB2+20A-0B=14,解得办-0B=2,

又因为&-OB=\0A\-\OB\cosZAOB^2,

所以cosNAOB=4，所以sin/40B=

66

|（M|=V6,\0B\=2,

故SMOB=/04|08卜访/4。8=V5.

OA+OB+0C=0,|办|=2,可知：|&+展|=|一晶|=|晶|=2,

|(£1|=V6,\0C\=V14,

所以&2+OC2+2OA-OC=4,解得A-OC=-8,

又因为&-OC=|tM|-|OC|cosZAOC=-8,

所以cos/AOC=所以sin/40C=

\0A\=V6,|0C|=V14,

故S&AOC=^OA\\OC\sinZAOC=A/5.

O4+OB+OC=0,|04=乃可知：\0B+0C|=|-0A\=\0A\=V6,

|茄|=2,\0C\=V14,

所以。依+OC2+20B-OC=6,解得OB•OC=-6,

又因为力­OC=\OB\•|OC|cosZBOC=-6,

所以cos/8OC=--X=,所以sin/BOC=

V14V14

|丽=2,\OC\=<14,

故S&BOC=知例OC|sin/8OC=V5.

所以△4BC的面积为：SAAOB+S/\AOC+S^BOC=3V5.

故答案为：2；3>/5.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算

能力，是中档题.

16.如图，己知菱形ABC3边长为3,NBA£)=60°,点E为对角线AC上一点，AC=6AE.将

△ABO沿8。翻折到△4'8。的位置,E记为E',且二面角A'-BQ-C的大小为120°,

则三棱锥A'8CO的外接球的半径为回；过E'作平面a与该外接球相交，所得

-2-

97r

截面面积的最小值为—.

一4一

A

【分析】（1）过△CBD,8D的重心分别作平面的垂线，交于一点。，。即为三棱

锥A'-BC。外接球的球心，结合已知线段长度求半径；

（2）首先确定出当截面面积最小时，0E'，截面，再根据线段长度求出截面圆的面积.

【解答】解：（1）VZB/l£>=60°,且四边形ABCD为菱形，zM'BD均为

等边三角形，

取△CBO,AAZBO的重心分别为M,N,过例，N分别作平面CBC,平面A'8。的垂

线，且交于一点O,

此时。即为三棱锥A'-8。外接球的球心，记ACn8Z）=O',连接CO,00',

.二面角4'-8。-C的大小为120°,且A'O'A.BD,CO'±BD,

二面角A'-BO-C的平面角为NA'O'C=120°,

'：O'M=0'N,：.cosAMO'0=cosNNO'O,则/MO'0=NNO'0=60°,

又,：BC=3,：.C0'=A'O'=3sin60°=竽，则M。'=NO'=|coz=孚,

：.OM=O,Mtan60°二会

又CM=|CO,=V3,：.OC=7cM2+0M2=J3+1=要.

即三棱锥A'BCD的外接球的半径为亨；

当截面面积最小时，此时OE'，截面，又截面是个圆，设圆的半径为广，外接球的半径

为R,

又♦:NE，=#O'=|COZ=搭，且0N=0M=|,

：.OE'=VO/V2+NE'2=J1+1=V3.

r=V/?2-OE'2=J^-3=I，

,此时截面面积5=TC-

皿抬4dV219

故答案为：——：-n.

24

A

【点评】本题考查空间几何体外接球的体积与表面积的求法，考查球截面面积最值的求

法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题.

四.解答题(共6小题)

17.已知复数名=(m^+m-6)+(nz2-3m+2)z(/nGR).

(I)当相取何值时，z为纯虚数？

(II)如果复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.

【分析】(1)利用复数的基本概念：复数。+6为纯虚数得到实部为0,虚部不为0解之；

(2)利用复数对应的点在第二象限得到实部小于0,虚部大于0解不等式即可.

【解答】解：复数z=(nr+m-6)+(m2-3m+2)i(mGR).

(I)当〃/+〃?-6=0并且-3，"+2W0,z为纯虚数，解得m--3；

(ID如果复数z在复平面上对应的点位于第二象限，那么［血：土小一6<0

Lm2-3m+2>0

解得实数m的取值范围是-3〈机<1.

【点评】本题考查了复数的基本概念以及复数的几何意义；关键是由题意等价得到关于

m的式子解之.

18.如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,/ACB=60°.

(1)求疝I：

(2)已知点。是A8上一点，满足疝)=九4k点E是边CB上一点，满足康=人院.

1TT

①当入=*时，求4E+CD；

②是否存在非零实数入，使得6，2)?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

c

B

【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得|nI；

（2）①人=即寸，D、E分别是BC,AB的中点，求出旗、E）的数量积即可;

②假设存在非零实数入，使得战，cb,利用晶、&分别表示出2）和晶，

求出族用=0时的入值即可.

【解答】解：（1）△4BC中，CA=\,CB=2,ZACB=60°,

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2C4・CB・cos/ACB

=12+22-2X1X2XCOS60°

=3,

.\AB=V3,即|赢=V5；

（2）①人=/时，AD=^AB,BE=^BC,

：.D.E分别是8C,AB的中点，

：.AE=AC+CE=AC+^CB,

T1TT

CD=(CA+CB),

1

：.AE-CD=(AC+^ICXB、)—(CA+CB)

22

=^AC'CA+^AC'CB+^CB-CA+^CB2

=-1xl2+|xlX2Xcosl20°+1x2XIXcos60°+1x22

1

4;

②假设存在非零实数入，使得力E_LCD,

由40=九4B,得40=入(C8-C71),

・・・cB=&+G=%+入（&-人）=入届+（1-入）CA；

又尾=入院，

：.AE=AB+BE=（CB-CA）+入（-&）=（1-入）CB-CA；

C.AE^D=入（1-入）所-