专题小结特殊平行四边形2022学年九年级数学上册教材配套教学（北师大版）

专题小结特殊平行四边形北师大版九年级上册导入新课讲授新课当堂练习课堂小结四边形的分类及转化有一个角是90°（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等）平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直且相等）有一个角是90°（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等）知识网络项目四边形对边角对角线对称性平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形几种特殊四边形的性质一互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角要点归纳

四边形条件①定义：两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平行且相等④对角线互相平分①定义：有一外角是直角的平行四边形②三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形①定义：一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形③有一个角是直角的菱形几种特殊四边形的常用判定方法二例1：如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.ABCDEF解：四边形ABCD是菱形.过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F.S四边形ABCD=AD

·CF=AB

·CE

.由题意可知CE=CF且四边形ABCD是平行四边形.∴AD=AB.∴四边形ABCD是菱形.典例精析例2：如图所示，下面有一张菱形纸片ABCD中，两条对角线AC=，BD=4.（1）菱形ABCD的面积

；（2）菱形ABCD的周长

；（3）∠ADC的度数

.DACBO16120°例3：工人师傅做铝合金窗框分三个步骤进行下面:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，使AB=CD，EF=GH.ABDCEFHG（2）摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是

，根据的数学道理：

.平行四边形两组对边相等的四边形是平行四边形（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是

.形，根据的数学道理是

.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角∠AOB为60°,

△AOB的周长为3m.（1）求窗框对角线AC长；ABCD60°解：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD=2OA=2OB.又∵∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴OA=OB=AB=1(m).∴AC=2OA=2(m).O（2）求窗框ABCD的面积.解：（2）已知AC=2m,AB=DC=1m. 又∵四边形ABCD是矩形.∴S四边形ABCD=AD

·DC,△ADC是直角三角形.

∴∴S四边形ABCD=ABCD60°O例4：

（1）如果想得到一个正方形，该怎么剪？（1）（2）（3）（4）(2)若E为对角线上一点，连接EA、EC.EA=EC吗？说说你的理由ABCDE解：已知四边形ABCD是正方形.∴∠ABE=∠CBE=45°,AB=CB.∴△ABE≌△CBE(SAS

).∴EA=EC.1.检查一个门框是矩形的方法是（）A.测量两条对角线是否相等.B.测量有三个角是直角.C.测量两条对角线是否互相平分.D.测量两条对角线是否互相垂直.2.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形BB课堂训练3.菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于（）A.60°B.90°C.120°

D.150°

4.矩形ABCD中,AB=8,

BC=6,

E、F是AC的三等分点,则△BEF的面积是（）A.8B.12C.16D.24DDACBEFACEADB∟第5题第6题5.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长＿＿＿,面积是＿＿＿.6.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60º,则矩形的两邻边分别长＿＿＿和＿＿＿.5244ABCDOABCDO第3题第4题7.已知：□ABCD,添加适当的条件（1）使它成为菱形.条件：＿＿＿＿

＿.（2）使它成为矩形.条件：＿

＿＿＿

＿＿.（3）使它成为正方形.条件：＿＿＿＿

＿.ABCDOAB=AD

(AC⊥BD)AC=BD(∠BAD=90°)AC=BD且AC⊥BD补充练习5.直角三角形斜边上的中线长为6cm，则它的斜边长为

cm．【答案】12【解答】解：直角三角形斜边上的中线长为6cm，则它的斜边长为12cm，故答案为：12．6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长是

．【答案】16【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD＝OA＝OB＝4，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，又∵OD＝OC，∴四边形DOCE是菱形，∴四边形CODE的周长＝4×4＝16，故答案为16．8.如图，已知点O是▱ABCD的对角线AC的中点，EF是过点O与AB、CD分别交于点E、F，且EF＝AC，连接CE、AF，求证：四边形AECF是矩形．【解答】解：∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD．∴∠EAO＝∠FCO．在△EAO和△FCO中，∴OE＝OF．又∵OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形．又∵EF＝AC，∴四边形AECF为矩形．9.如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E，F（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？【解答】解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下：∵AD＝2AB，M点为AD的中点，∴AB＝AM＝DM＝CD，∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形，∴∠AMB＝45°，∠DMC＝45°，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠PEM＝∠PFM＝90°，∴四边形PEMF为矩形；（2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下：∵P点为BC的中点，∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线，∴PE＝PF，∴矩形PEMF变为正方形．课后作业1.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠E的度数是（）

A．30°

B．55°

C．45°

D．22.5°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°．∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC＝45°．∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E＝22.5°．故选：D．2.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）

A．平行四边形→菱形→正方形→矩形

B．平行四边形→正方形→菱形→矩形

C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形【答案】C5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是直线BC上一点，且BE＝BO，连结AE，若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数是．【答案】15°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵BE＝BO，∴AB＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15°．6.探究：如图（1），在正方形ABCD中，点P在边CD上（不与点C、D重合），连结BP．将△BCP绕点C顺时针旋转至△DCE，点B的对