统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练13解析几何文

解析几何(13)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝()A．2B．eq\f(9,2)C．2或－8D．2或eq\f(9,2)2．双曲线x2－2y2＝2的焦点坐标为()A．(±1，0)B．(±eq\r(3)，0)C．(0，±1)D．(0，±eq\r(3))3．已知直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，则r＝()A．eq\r(3)B．eq\r(6)C．3D．44.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的eq\f(1,3)，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为()A．eq\f(5\r(2),4)B．eq\f(7\r(2),4)C．eq\f(9\r(2),4)D．eq\f(11\r(2),4)5．已知圆C：(x－1)2＋y2＝4与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．4D．86．已知坐标原点O，直线l与圆x2＋(y－3)2＝1相切，直线l与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相交于M，N两点，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，则l的斜率为()A．±eq\r(3)B．±eq\r(35)C．－eq\r(3)或－eq\r(35)D．±eq\r(3)或±eq\r(35)7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别相交于点A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1B．2C．3D．48．[2023·全国甲卷(文)]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)9.[2023·辽宁省五校协作体模拟]如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，点M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线于P点，记|AB|＝λ|FP|，则λ的值为()A．2B．4C．6D．810．[2023·湘豫名校高三联考]已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)上有一点P(eq\r(5)，m)(m>0)，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为eq\f(3,4)，则双曲线的标准方程是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(9,2))＝1D．eq\f(x2,\f(3,2))－eq\f(y2,\f(7,2))＝111．返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列选项错误的是()A．椭圆的长轴长为4eq\r(2)B．线段AB长度的取值范围是[4，2＋2eq\r(2)]C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋4eq\r(2)12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的边长为2，M为CC1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论错误的是()A．AM⊥B1MB．CD1∥平面A1BPC．AM与A1B1所成角的余弦值为eq\f(2,3)D．动点P的轨迹长为eq\f(2\r(13),3)[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若直线l：x－my＋9＝0被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得线段的长为6，则实数m的值为________．14．已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点________．15．[2023·全国乙卷(文)]已知点A(1，eq\r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．16．设F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，|PF1|－|PF2|＝4，那么双曲线C的离心率为________．解析几何（13）1．D因为A（－2，0），B（4，a）两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，所以有eq\f(|3×（－2）＋0×（－4）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(|3×4－4a＋1|,\r(32＋（－4）2))⇒|13－4a|＝5⇒a＝2，或a＝eq\f(9,2)，故选D.2．B双曲线x2－2y2＝2，即eq\f(x2,2)－y2＝1，所以a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3，即c＝eq\r(3)，所以焦点坐标为（±eq\r(3)，0）；故选B.3．A圆心到直线的距离d＝eq\f(|3－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，弦长的一半为1，r＝eq\r(（\r(2)）2＋12)＝eq\r(3).故选A.4．B如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A（eq\f(1,2)，4），B（－eq\f(3,2)，2），直线AB：eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－\f(1,2),－\f(3,2)－\f(1,2))，整理为x－y＋eq\f(7,2)＝0，原点O到直线距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))),\r(1＋1))＝eq\f(7\r(2),4)，故选B.5．A因为圆C：（x－1）2＋y2＝4的圆心为（1，0），半径为r＝2，抛物线y＝ax2（a>0）的准线为y＝－eq\f(1,4a)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4a)))＝2，即a＝eq\f(1,8)，故选A.6．D当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切可得直线l的方程为x＝±1，此时直线l与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相离，故不满足；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，因为直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切，所以eq\f(|m－3|,\r(1＋k2))＝1①，因为直线l与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相交于M，N两点，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，所以OM⊥ON，所以圆心O到直线l的距离为eq\f(1,2)，即eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)②，由①②可解得m＝－3或m＝1，k＝±eq\r(35)或k＝±eq\r(3)，故选D.7．B如图，记抛物线的准线与x轴交于点D，由题知，eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以∠AOD＝eq\f(π,3)，因为OD＝eq\f(p,2)，所以BD＝OD·taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3)p,2)，所以S△AOB＝eq\f(p,2)×eq\f(\r(3)p,2)＝eq\r(3)，解得p＝2，故选B.8．D根据双曲线的离心率e＝eq\r(5)＝eq\f(c,a)，得c＝eq\r(5)a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，eq\f(b2,a2)＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．方法一由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,（x－2）2＋（y－3）2＝1，))得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝eq\f(16,5)，x1x2＝eq\f(12,5).所以|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))\s\up12(2)－4×\f(12,5))＝eq\f(4\r(5),5)，故选D.方法二圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，所以|AB|＝2eq\r(1－d2)＝2eq\r(1－（\f(\r(5),5)）2)＝eq\f(4\r(5),5)，故选D.9．B解法一依题意，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x＝my＋1))消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝－4，y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2，则eq\f(x1＋x2,2)＝2m2＋1，eq\f(y1＋y2,2)＝2m，因为M为线段AB的中点，所以M（2m2＋1，2m）.设P（x0，2m），因为点P在抛物线上，所以4m2＝4x0，即x0＝m2，所以P（m2，2m）.由抛物线的定义可得，|PF|＝m2＋1，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋2＋2＝4m2＋4，所以λ＝eq\f(|AB|,|FP|)＝eq\f(4m2＋4,m2＋1)＝4，故选B.解法二不妨设直线AB⊥x轴，因为AB过焦点F，所以|AB|＝4，此时点M即焦点F，点P即原点O，所以|FP|＝1，所以λ＝eq\f(|AB|,|FP|)＝eq\f(4,1)＝4，故选B.10．C据题意，双曲线的半焦距c＝eq\r(5)，可设一条平行线方程为y－m＝－eq\f(b,a)（x－eq\r(5)），由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x,y＝m－\f(b,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(5))))))，解得xA＝eq\f(am＋\r(5)b,2b)，则|OA|＝eq\r(1＋\f(b2,a2))eq\f(ma＋\r(5)b,2b)，又点P到直线y＝eq\f(b,a)x的距离d＝eq\f(|\r(5)b－am|,\r(a2＋b2))，∴eq\r(1＋\f(b2,a2))eq\f(ma＋\r(5)b,2b)·eq\f(|\r(5)b－ma|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|5b2－m2a2|,2ab)＝eq\f(3,4)，又eq\f(5,a2)－eq\f(m2,b2)＝1⇒5b2－a2m2＝a2b2，∴ab＝eq\f(3,2)，又c＝eq\r(5)，解得a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\f(3\r(2),2)，所以双曲线的标准方程是eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(9,2))＝1，故选C.11．C由题知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2eq\r(2)，则2a＝4eq\r(2)，A正确；AB＝OB＋OA＝2＋OA，由椭圆性质可知2≤OA≤2eq\r(2)，所以4≤AB≤2＋2eq\r(2)，B正确；记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝eq\f(1,2)OA·OFsinθ＋eq\f(1,2)OB·OFsin（π－θ）＝OAsinθ＋2sinθ＝（OA＋2）sinθ，取θ＝eq\f(π,6)，则S△ABF＝1＋eq\f(1,2)OA≤1＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)<4，C错误；由椭圆定义知，AF＋AG＝2a＝4eq\r(2)，所以△AFG的周长L＝FG＋4eq\r(2)＝4＋4eq\r(2)，D正确．故选C.12．A如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A（0，0，2），A1（0，2，2），B（0，0，0），M（2，1，0），P（x，y，0），所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝（0，－2，－2），eq\o(BP,\s\up6(→))＝（x，y，0），eq\o(AM,\s\up6(→))＝（2，1，－2），由AM∥平面A1BP，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝aeq\o(A1B,\s\up6(→))＋beq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＋bx＝2,－2a＋by＝1,－2a＝－2))，化简可得：3x－2y＝0，所以动点P在直线3x－2y＝0上，对于选项A：eq\o(AM,\s\up6(→))＝（2，1，－2），eq\o(B1M,\s\up6(→))＝（2，－1，0），eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(B1M,\s\up6(→))＝2×2＋1×（－1）＋（－2）×0＝3≠0，所以eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(B1M,\s\up6(→))不垂直，所以A选项错误；对于选项B：CD1∥A1B，A1B⊂平面A1BP，CD1⊄平面A1BP，所以CD1∥平面A1BP，B选项正确；对于选项C：eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝（0，0，－2），cos〈eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝eq\f(4,2\r(22＋12＋（－2）2))＝eq\f(2,3)，C选项正确；对于选项D：动点P在直线3x－2y＝0上，且P为侧面BCC1B1上的动点，则P在线段P1B上，P1（eq\f(4,3)，2，0），所以P1B＝eq\r(（\f(4,3)）2＋22＋02)＝eq\f(2\r(13),3)，D选项正确；故选A.13．答案：±eq\r(3)解析：圆C：x2＋y2＋2x－24＝0⇒（x