函数的奇偶性第一课时

§3.4函数的基本性质（1）请同学们回顾初中学习过的函数，并举出简单例子

问题1：请同学们观察函数对称性，如何进行分类图像关于y轴对称图像关于原点对称图像关于原点对称图像关于y轴对称

oxyoooxxxyyy

图像关于y轴对称图像关于原点对称图像关于原点对称图像关于y轴对称探究与深化

oxyoooxxxyyy这种对称是我们的直观感受，那么如何用数量关系来描述这个函数的特性呢？问题？

问题2:

对于函数y=x2,如何从自变量与函数值中体现“关于y轴对称呢？”f(-1)=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-2)=4f(2)=4f(-2)=f(2)对于定义域中任意的a,有f(-a)=f(a)=a2(a,f(a))(-a,f(a))1．偶函数定义:

f(x)的定义域D内任意实数x，都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数

请同学再举出一些偶函数的例子，加以说明探究与深化

函数图像关于y轴对称函数是偶函数BADCoxy

问题3:类比研究偶函数的方法，如果函数图像关于原点对称，那么函数自变量和函数值之间有何数值规律？

f(-1)=-1f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-2)=-2f(2)=2f(-2)=-f(2)对于定义域中任意的a,有f(-a)=-f(a)=-a(a,f(a))(-a,-f(a))2．奇函数:f(x)的定义域D内任意实数x，都有

f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数请同学再举出一些奇函数的例子，加以说明1．偶函数:f(x)的定义域D内任意实数x，都有

f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数

函数图像关于原点对称函数是奇函数oxy

例题1：判断下列函数奇偶性偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数问题4:

通过4),你发现判断函数奇偶性时要注意什么呢?为什么？问题5:

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件呢?必要非充分条件2、验证f(x)与f(-x)的关系3、举反例

1、先判断定义域是否关于原点对称

判断函数奇偶性的步骤:1.定义域是否关于原点对称(不对称,非奇非偶函数)2.判断f(-x)和f(x)的关系3.非奇非偶函数可以举反例说明问题6:是否存在这样的函数,它既是奇函数又是偶函数呢?

这样的函数有多少个呢?函数按奇偶性分类:

奇函数,偶函数,非奇非偶函数,既是奇函数又是偶函数

例2:判断下列函数奇偶性,并说明理由

变式：函数f（x）＝2x4+3x2（－1≤x＜1）是

否是偶函数？

例

3判断已知函数的奇偶性。

x4＋x2（x≥0）－x4－x2（x＜0）

f（x）＝练习：

判断已知函数的奇偶性。

－x3＋x

（x≥0）x3－x

（x＜0）

f（x）＝请同学们回顾本节课学习了哪些内容呢？知识点：奇偶性概念，图像特征，函数奇偶性判断函数f(x)任意x∈D，f(-x)=f(x)任意x∈D，f(-x)=-f(x)f(-x)和f(x)没有关系（举反例）偶函数奇函数非奇非偶函数D关于原点对称D不关于原点对称思想方法：特殊到一般，类比，数形结合回顾与小结

既是奇函数又是偶函数

例

2已知函数f（x）的定义域为R，且满足

f（x＋y）=f（x）＋f（y）试判断函数f（x）的奇偶性。

练习：已知函数f（x）的定义域为R，且满足

f（x－y）=f（x）－f（y）试判断函数f（x）的奇偶性。

思考：1奇、偶函数的图象性质的逆命题是否成立？

2可怎样简化奇、偶函数图象的作图过程？例

1求证：函数f（x）＝2x4－3x2是偶函数。

练习：教材P841变式：函数f（x）＝2x4－3x2（－1≤x＜1）是

否是偶函数？

我们用函数运算的角度，再次观察例2中的作业：练习册P32（1-4）已知：y=f(x)和y=g(x)都是偶函数，定义域为证明：y＝f(x)+g(x)是偶函数且同样，你还有类似的结论吗？偶函数＋偶函数是偶函数奇函数＋奇函数是奇函数偶函数×偶函数是偶函数奇函数×奇函数是偶函