济南大学高等数学C一ch-

经济数学

－微积分济南大学数学科学学院

第一节数列的极限小结数列的定义数列极限的性质数列的极限思考题“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法播放引例1截杖问题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——《庄子》“天下篇”它描述了截取过程中棒长剩余量的变化情况.引例2极限一、数列的定义例如2.表示方法（1）用数轴上的点表示数列（2）用平面上的点表示：xnn·····12播放三、数列的极限当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面演示实验的观察:问题:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注:几何解释其中证明：所以,关键：寻找N例1例2所以,说明:常数列的极限等于常数本身.注:证明：（2）当由|xn-a|<

直接求解n不好解时，可适当放大不等式，如使：|xn-a|<f(n)<,由f(n)<,求解n.（1）用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.证明：用极限定义证明例31.有界性例如:有界,无界.二、数列极限的性质定理1

收敛的数列必定有界.注：1、有界性是数列收敛的必要条件.

2、推论：无界数列必定发散.2.唯一性定理2

收敛数列的极限必唯一.

定理3

保号性.

定理4

收敛数列与其子数列间的关系.注：1.由定理4知,若{xn}有两个分别收敛于a≠b的子数列，则{xn}发散.由此给出判定数列发散的一种方法.

如：{(-1)n+1}2.有收敛子列的数列，敛散性不一定.即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有。关键由子数列是否收敛于同一极限来判定原数列的敛散性.证明：思考题小结数列的极限2.几何解释3.性质1.唯一性2.有界性3.保号性4.收敛数列与其子数列的关系极限思想,精确定义(

-N语言),几何意义作业P35T1(偶),T7播放结束播放结束

第二节函数的极限函数极限的性质函数极限的定义概念的引入思考题、小结数列的极限2.几何解释3.性质1.唯一性2.有界性3.保号性4.收敛数列与其子数列的关系内容回顾一、概念的引入数列的表示：1、用数轴上的点2、用平面上的点

对上述数列极限的概念作一般推广：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个常数，则此常数即为此函数在自变量的这一变化过程中的极限.

对于函数的极限，主要研究两种自变量变化过程中，函数的变化情况：

则数列的极限是一、函数极限的定义（一）自变量趋向无穷大时函数的极限播放问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1.定义2.另两种情形3.几何解释例1证明（二）自变量趋向有限值时函数的极限注：)(0是否有定义无关在点函数极限与xxf1.定义2.几何解释注：例2证明例3证明证明函数在点x=1处没有定义.用定义证明函数极限的一般步骤：例33.单侧极限例如:左右左极限右极限说明：左、右极限常用于考察分段函数在分段点处的极限.左右极限存在但不相等,例证明2.局部有界性1.唯一性3.局部保号性定理3推论三、函数极限的性质左右极限存在但不相等,证明思考题函数极限的统一表示小结过程时刻从此时刻以后

过程时刻从此时刻以后

作业P43T4,T6（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限播放结束

第三节无穷大与无穷小无穷小与无穷大的关系无穷大无穷小思考题、小结函数极限的统一表示内容回顾过程时刻从此时刻以后

过程时刻从此时刻以后

1.定义极限为零的变量称为无穷小.一、无穷小例如,注：1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:定理1证必要性充分性3.无穷小的运算性质:定理2

在同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理1定理3

无穷小与有界量的乘积是无穷小.★推论1

在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3

有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。结论：问题：无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？

绝对值无限增大的变量称为无穷大.二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;注：只是记号，且为了讨论的需要.运算：在自变量同一变化过程中,两个无穷大相加或相减的结果是不确定的,因此无穷大没有无穷小那样类似的性质.具体问题要具体分析.3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.定理4

在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.解:不一定.思考题无穷大是一种特殊的无界变量,无界变量一定是无穷大量吗?无界.不是无穷大．小结主要内容:两个定义;四个定