初中数学教案解析：相交弦定理与圆心角关系

第页共页初中数学教案解析：相交弦定理与圆心角关系相交弦定理与圆心角关系在初中数学中，学习圆的基本性质和圆的相关定理是非常重要的，相交弦定理与圆心角关系是其中两个比较重要的定理，掌握这两个定理能够帮助解决很多与圆相关的问题。接下来我们将分别对这两个定理进行详细阐述。一、相交弦定理相交弦定理是指，在一个圆内部，两条弦相交，那么弦上所对的几何图形的面积之和相等。例如：如上图所示，$\mathrm{AB}$和$\mathrm{CD}$为圆内部的两条弦，$\mathrm{AC}$和$\mathrm{BD}$为它们的交点。连接$\mathrm{AD}$、$\mathrm{BC}$，则$\triangle\mathrm{ADC}$与$\triangle\mathrm{BDC}$为所对应的两个图形，$\mathrm{ABCD}$为所在的圆，证明：设$\mathrm{O}$为圆的圆心，连线$\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$，$\mathrm{DO}$，同时作直线$\mathrm{pq}$过$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$两点，交于点$\mathrm{E}$，则图形可表示为：我们有$\triangle\mathrm{AEO}$和$\triangle\mathrm{BEO}$，它们是等角的，因为$\angle\mathrm{AEO}=\angle\mathrm{BEO}=90^{\circ}$，且都与弦$\mathrm{AB}$垂直，因此，它们之间的面积相等。另外，我们有$\triangle\mathrm{ADE}$和$\triangle\mathrm{CDE}$，它们也是等角的，因为$\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{CDE}$，且它们都与弦$\mathrm{CD}$垂直，因此，它们之间的面积也相等。所以，两条弦所对的图形的面积之和为：$S_{\triangle\mathrm{AEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEA}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}$也就是：$S_{\triangle\mathrm{AEO}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}-S_{\triangle\mathrm{DEA}}$将$\triangle\mathrm{AEO}$切成两个部分：$\triangle\mathrm{ADE}$和梯形$\mathrm{ABED}$，得到：$S_{\triangle\mathrm{ADE}}+S_{\mathrm{ABED}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}-S_{\triangle\mathrm{DEA}}$从而得到：$S_{\triangle\mathrm{ADE}}+S_{\mathrm{ABED}}+S_{\triangle\mathrm{DEA}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}$也就是说，两条弦所对的图形的面积之和相等。证毕。二、圆心角关系圆心角关系是指，在一个圆中，如果两条弧所夹的圆心角相等，那么这两个弧所对应的弦的长度也相等。例如：如上图所示，$\mathrm{AB}$、$\mathrm{CD}$为圆上的两条弧，$\mathrm{AC}$、$\mathrm{BD}$是它们所对应的弦，弧$\mathrm{AB}$所对应的圆心角$\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{COD}$，那么弦$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$。证明：设圆心为$\mathrm{O}$，作直线$\mathrm{OP}$垂直弦$\mathrm{AC}$、$\mathrm{BD}$的交点$\mathrm{P}$，则有：$\triangle\mathrm{OAP}$和$\triangle\mathrm{OBP}$是等腰三角形，这是因为$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$，$\mathrm{OP}$是垂直中线；$\angle\mathrm{OAP}=\angle\mathrm{OBP}$，它们都等于所在的圆心角一半；因此，它们之间的面积相等。同样的，$\triangle\mathrm{OCP}$和$\triangle\mathrm{ODP}$也是等腰三角形，因此它们之间的面积也相等。所以，整个图形的面积可表示为：$S_{\triangle\mathrm{OAP}}+S_{\triangle\mathrm{OCP}}=S_{\triangle\mathrm{OBP}}+S_{\triangle\mathrm{ODP}}$将$\mathrm{OP}$看作中线，则有：$\mathrm{OP}\cdot(\mathrm{AC}-\mathrm{BD})=0$因为$\mathrm{O