屡教屡“错”08年度论文公开课

屡教屡“错”——对二次函数中利润问题的几点思考小浦中学李乾花摘要：二次函数是初中数学教学中的一大难点，而二次函数的应用更是这难点中的难点，因为他牵涉到一元二次方程的综合运用，需要较好的基础，同时他还牵涉到数形结合思想与建模思想的渗透与运用，需要较高的思维水平，所以说他是初中数学里的一块难啃的硬骨头。也正因为如此，如何顺利的突破这一关，把这块难啃的硬骨头啃掉是一件很有意义的事情。关键词：有意义学习教学质量积极性在初中数学教学中，存在着这样一种现象：对同一类型的题目，教师在上课时讲过，学生也练过，而且课堂上反馈上来的情况也不错，可是往往不到一个月，当学生再次面对这类问题时，又是一头雾水不知所措了，教师再讲，学生再错。这种屡教屡“错”的现象对全面提高数学教学质量影响极大，故而值得我们进行深入的研究。一、案例再现在浙教版九（上）《二次函数》的教学中，常会遇到这样一类利润问题：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。问当每箱降价多少元时，平均每天售出的饮料获利最多？教师：设每箱降价元，平均每天售出饮料获利为元。学生：哦！教师：为了帮助同学们理清题目中的各个量之间的关系，老师给出了下面的表格：每箱利润（元）销售量（箱）原来120元100箱变化情况降价1元多售2箱降价元多售箱现在（120-）元（100+）箱学生：哦？教师：同学们理解了吗？学生们纷纷点头，于是教师决定趁热打铁，给出了下面的练习：某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？学生的答题情况不是十分理想，有些同学对题中的数量关系还是不能理清，最后教师说：想想老师刚才是怎么解决的。于是同学们看到了表格，都尝试着做了，几分钟以后几乎每个同学都会分析解决这类问题了。在一个月后的期中练习中，也出现了类似的题目，在做试卷分析的时候不禁让教师目瞪口呆，全班只有近17%的同学答对了该题！于是教师再耐心的讲，直到学生都听懂了为止，可过了一个星期后再做，还有近52%的同学做错。二、现象反思二次函数是初中数学教学中的一大难点，而二次函数的应用更是这难点中的难点，因为他牵涉到一元二次方程的综合运用，需要较好的基础，同时他还牵涉到数形结合思想与建模思想的渗透与运用，需要较高的思维水平，是初中数学里的一块难啃的硬骨头。也正因为如此，如何顺利的突破这一关，把这块难啃的硬骨头啃掉是一件很有意义的事情。不可否认，在上述案例中教师能将列表的方法引入，的确是一个很好的创新方法，他有助于学生对这类题目中各个量的变化进行梳理，可是为什么一段时间以后学生解决问题的能力没有提升反而又回到了原来的起点呢！这确实值得我们深思，我觉得主要有以下两方面的原因。（一）客观原因早在一百多年前，德国心理学家艾宾浩斯（Ebbinghaus,1885）就对这种现象进行了研究，他认为：学习后的不同时间里保持量是不同的，刚学完时保持量最大，在学后的短时间内保持量急剧下降，然后保持量渐趋稳定的下降，最后接近水平。[1]（二）主观原因1.教师把需要高水平认知的问题降格为只需要模仿和记忆的低层次问题[2]，并由此延伸出课堂教学呆板，学生学习积极性不高。当学生初次尝试便遭遇大面积的失败后，教师没有继续保持对学生高水平认知的要求，促进学生以有意义的方式进行积极的思考与推理，而是迅速降低了对学生的思维要求，通过让学生“想想老师刚才是怎么解决的”把解决问题的方法“喂”给了学生。这样就扼杀了学生进一步思考的兴趣，他们只会模仿和记忆，不会独立的去思考去探究，因为老师会告诉我们方法的，久而久之就使学生养成了依赖的习惯，对于学习也没有了兴趣。2.教师的教学行为没有建立在学生已有的知识经验基础之上。在上述案例中，教师只是把自己认为可行的方法“灌”给了学生，而没有去激活学生原有的与此相关的知识和方法，这样就失去了培养学生知识迁移能力的宝贵机会，这样也失去了发展学生有意义数学学习的机会。奥苏伯尔认为，在认知结构中，是否有适当的起固定作用的观念可以利用，这是影响有意义学习与保持的第一个重要的认知结构变量[2]。事实上，教师完全可以让学生回忆浙教版八（下）第二章一元二次方程中的利润问题。而上述案例中的做法完全脱离了学生已有的知识经验基础，致使新知不能与原有的知识经验融为一体进而生成更稳定的认知结构，他们习得的只是一些肤浅的、机械的、间断的数学理解。这样就达不到长时记忆的效果，更不要说能力的提升了。3.教师组织的教学活动没有引导学生经历高层次的学习过程，也没有帮助他们获得高水平的思维成效[2]。由于教师所谓的“时间观念”和包办心理，以及由此衍生的简单化、公式化、套路化的教学模式，造成学生的认识活动只能与具体的问题建立起某种表面上的联系，而与潜在的数学实质相去甚远。在经历了此番教学过程后的学生，他们对知识的建构仍停留在“知其然，而不知其所以然”的层次上，有意义的活动并没有在课堂上发生。只要解决任务的某些因素稍有变动，他们就会变得不知所措，只能回到讲评前的老路上去。对他们来讲知识只是建构在表面，而非真正的理解。4.教师对练习的设计偏简单，没有按照学生的认知规律。要让学生较快较好的学好数学，还必须遵循“认知心理学”的规律。认知心理学的观点告诉我们人们要掌握某一知识，必须经历感知、认识、再现、再认识、巩固等心理过程[3]。对于上述案例，教师在上课之前可设计某些具有启发性、阶梯性的练习来帮助学生回忆起以前相关的知识，在分析到位后设计一组有针对性的练习，课后再设计一组具有巩固性和拓展性的练习。使学生知道知识间横向、纵向的联系，从而摆脱了简单的模仿与记忆的模式，培养了学生举一反三的能力。三、应对策略在经历了上述的反思之后，我觉得可对上述案例作如下的改进：1.加强与已有知识的联系，让学生觉得既亲切又好奇同时还具有挑战。根据奥苏伯尔的理论，新的知识最好能与以前所学的知识相联系，这样知识就好比是雪球，越滚越大，而且学生学习起来也觉得轻松，不需要另起炉灶，只需要在原来的基础上进行一定的变化就可以了。比如可在上新课之前做一做这样的热身练习：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。（1）若每箱降价3元，则该超市每天销售饮料获利多少元？（2）设每箱降价元时，平均每天销售饮料获利元，求与的函数关系式。（3）当每箱降价多少元时，每天销售饮料获利最多？2.学习过程倡导以学生的自主探索为主，教师的引导为辅。全国著名教育家魏书生先生就说过，凡是学生能够做的事老师就不要不放心，放手让学生去做吧。事实上也确实是这样，对于学生们会做的事情，老师为什么还要面面俱到呢，学生也觉得没劲，明明我们可以做的事情老师为什么还要“抢”着做啊？到不如就让他们自己完成，反而可以提高他们学习的积极性，加深对知识的理解。比方说对于上述的（1）教师可鼓励学生积极思考，对于（2）教师可鼓励学生积极探索，在（2）的基础之下（3）也就水到渠成了。在这个过程中教师只需起到一个引导者和合作者的作用就可以了，因为要用的知识学生都已学过，接下来就是教师如何组织学生利用已有的知识来解决实际问题了。3.结合实际，加强引导，促进学生理解。在解决上述问题的过程中，教师例举用列表法来完成对知识的梳理，这确实是个不错的方法，但是教师也需要注意，不能机械的呆板的直接拿出一张表格，而是在讲解时很自然的水到渠成的给出来，使之既能与原有的知识融为一体又能促进对现学方法的理解与运用。同时教师还要加强对数学方法与思想的总结与渗透，这样也便于学生在理解的基础上的更好的记忆。4.教师可设计有梯度、层次感强又具有丰富背景与挑战性的练习。在完成前面的三个步骤之后可设计下面的练习来巩固学习成果：（1）某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满。旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？（2）某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价与日均销售量的关系如下：销售单价（元）6789101112日均销售量（瓶）480440400360320280240①若记销售单价比每瓶进价多元时，日均毛利润（毛利润=售价－进价－固定成本）为元，求关于的函数解析式和自变量的取值范围；②若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元（精确到0.1元）？最大日均毛利润为多少元？（3）利达经销店为为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理），当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元。设每吨材料售价为元，该经销店的月利润为元。①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。四、一点思考综上，通过对上述二次函数利润问题屡教屡“错”的原因分析和解决策略可以知道，在教学中要充分利用学生已有的知识，活化数学课堂，设计符合学生发展现状的练习，这必将对新课程下以丰富学生的应用意识，发展他们的应用能力为基点的函数教学起到了良好的导向作用。我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50％成功的希望，不干便是100％的失败。”在我们的教学实践中，难免会遇到这种屡教屡“错”的现