导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题〔最值问题〕恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。知识储藏〔我个人喜欢将参数放左边，函数放右边〕先来简单的〔也是最本质的〕如别离变量后，恒成立，那么有恒成立，那么有〔假设是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大〕对于单变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对，恒成立，那么只需，使得，那么只需对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对，，那么只需如：化简后我们分析得到，对，使，那么只需如：化简后我们分析得到，，使，那么只需还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话〔双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量〕对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题〔2023.03苏锡常镇一模那题特别典型〕今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，〔甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在定义域上根的讨论，3%是与这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是之类〕，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。那么我们先从一道练习题说起一．二次函数型〔通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值〕例题.定义域为，求的取值范围思考：=1\*GB3①引入定义域〔非〕=2\*GB3②参数在二次项，就需考虑是否为=3\*GB3③引入高次〔次，次，，，等等〕=4\*GB3④引入，等项〔导致不能别离变量〕方法：.一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以别离变量).对于高次或者特殊函数，一般别离变量求最值〔别离变量后对函数求导，确定导函数的正负情况，确定单调性，从而确定在定义域上的最值〕.对于不能别离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值变式：=1\*GB3①，假设对任意的，均有，求的取值范围=2\*GB3②，假设对任意的，均有，求的取值范围=3\*GB3③，假设对任意的，均有，求的取值范围=4\*GB3④，假设对任意的，均有求的取值范围=5\*GB3⑤，假设对任意的，均有求的取值范围例题2.〔改编〕函数在上的最大值为，最小值为，又函数，〔1〕求的表达式；〔2〕指出的单调区间，并求出的最小值答案：根据对是否为以及对称轴的讨论，易知，所以易知所以在单调递减，在单调递增，所以当时，有最小值点评：此题考察的主要是二次函数带参数在定义域上的最值问题的讨论变式：1.对称轴不动〔=1\*GB3①定义域不动=2\*GB3②定义域动〔含参数〕〕2.对称轴动〔含参〕，定义域不动〔考试最喜欢考〕3.对称轴动〔含参〕，定义域动〔含参〕但是参数还是同一个参数方法：找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可4.对称轴动〔含参〕，定义域动〔含参〕=1\*GB3①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的范围，是否可以直接根据单调性求=2\*GB3②参数不一样，参数也没范围，那么真不能做了〔13江苏〕在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．假设点P，A之间的最短距离为，那么满足条件的实数a的所有值为__________．解：设那么令那么对称轴1.时，，〔舍去〕2.时，，〔舍去〕综上或点评：此题综合性较高，考查了带参数的二次函数在定义域上的最值问题〔高一下学期必须学会〕，同时考查了换元思想，分类讨论的思想是一道非常漂亮的题目二．三次函数及特殊函数型〔通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值〕先来几个比拟特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了1.〔原创〕函数且，对所有满足条件的函数，始终有成立，求的取值范围答案：由题可知时，与题目矛盾，所以显然有所以由条件易知单调递增，由题可知始终成立，即恒成立，因为单调递增，又是满足条件的所有函数，所以的最小值总大于1，所以有，知的范围是或点评：对于某些题中既有又有的这种题型，我们不妨去联想它的原函数2.〔原创〕函数；假设对于任意，总存在，使得不等式成立，那么的取值范围是_____________________答案：分析知单增，又分析知在时取最大值，所以的最大值为，所以有恒成立，别离变量易知假设对任意，在上恒成立，求范围解答：先看成是的二次函数，对称轴为，所以最大值不是在处就是在处，所以有对恒成立，易知点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值4.对满足所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围解答：看成是的一次函数点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数5.对恒成立，求的取值范围解答：法1:看成乘积小于恒成立，转变成二次函数恒成立法2:必须有一正一负恒成立变式：对恒成立，求的取值范围解答：如果看成是的函数，乘积后就变成关于的三次函数，所以我们可以转变思维，转变成两个式子同正或同负6.假设对于满足的一切实数，不等式恒成立，那么的取值范围为．解答：分解因式易知所以必须有同正或同负恒成立点评：通过这几个题目的比照，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板7.，假设对任意的，恒成立，求的取值范围类题：〔10.江苏〕.将边长为正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,那么S的最小值是.点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先别离常数，转变成一次比二次，设一次为，转变成关于的对勾函数，解决值域另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白的最大值是，最小值是，求与的值解答：整理成关于的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有恒成立，转变成关于的一个二次函数恒成立，易知和是它的两个根，容易把求出来点评：此题比拟特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了9.〔08江苏〕对于总有成立，那么=解：法1：别离变量，求最值法2：直接求导10.假设不等式||≥1对任意都成立，那么实数取值范围是．解析：显然时，有。令①当时，对任意，，在上递减，，此时，||的最小值为0，不适合题意。②当时，对任意，的最小值为≥1，解得：。故所求。点评：当遇到恒成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下范围，或许可以防止一些不必要的讨论11.设常数，函数.〔=1\*ROMANI〕令，求的最小值，并比拟的最小值与零的大小；〔=2\*ROMANII〕求证：当时，恒有．解〔Ⅰ〕∵，∴，∴，∴，令，得，易知在上单调递减，在单调递增∴在处取得极小值，即的最小值为．，∵，∴，又，∴．证明〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，的最小值是正数，∴对一切，恒有，从而当时，恒有，故在上是增函数．∴当时，，∴，即，∴故当时，恒有．点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断的正负来确定导函数的正负，但是此题由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感12.，对，恒成立，求的取值范围解答：化简易得点评：别离变量时不一定要别离成单个变量，要知道整体别离也是一样的，不能太死板当然此题也可以转变成二次函数带参数在定义域上的最值讨论13.，，假设恒成立，求的范围解答：法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调所以只需对的临界点进行讨论即可法二：求导，转变成二次函数根的讨论14.，，假设对，总存在，使得成立，求正整数的最小值解答：分析题目易知值域为值域的子集，转变成求的最值15.函数，不等式在上有解，求实数的取值范围。解析：，即，点评：此题需要使用观察法，容易发现是零点，然后讨论单调性类题：〔徐州、淮安、宿迁市2023届高三期末〕函数求函数在点处的切线方程；求函数单调区间；假设存在，使得是自然对数的底数〕，求实数的取值范围.解答：容易发现是零点，然后对范围，范围讨论点评：通过这两题我们发现，有时候难以处理导函数的正负情况时，我们需要使用观察法去寻找它的零点，从而进行讨论，看是否能确定单调性〔零点通常是〕等等16.函数，讨论函数的单调性；解析：由得＞0且．当是奇数时，，那么在上是增函数;当是偶数时，那么.17.函数在[1，＋∞〕上为增函数，且，，m∈R．〔1〕假设在[1，＋∞〕上为单调函数，求m的取值范围；〔2〕设，假设在[1，e]上至少存在一个，使成立，求的取值范围．解析：〔1〕．．∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞〕恒成立．等价于，即，而，〔〕max=1，∴．等价于，即在[1，＋∞〕恒成立，而∈〔0，1]，．综上，m的取值范围是．〔2〕构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．当时，．因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．18.〔2023.03苏锡常镇一调〕函数，其中m，a均为实数．〔1〕求的极值；〔2〕设，假设对任意的，恒成立，求的最小值；〔3〕设，假设对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．解析：令易得所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，有极大值，极大值为无极小值时，易证单增，单减不妨设所以有恒成立即恒成立由题易知必须有单减求导整理得在恒成立易证右边这个函数单调减所以有易知时，由题可知在上有两根时，单调不合题意时，由易得所以函数在单减，在单增画出简图如下由题要有两个跟于是我们有容易得到时，所以显然有综上所述，19.设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.解：(I)函数的定义域为.，令，那么在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。〔II〕分以下几种情形讨论：〔1〕由〔I〕知当时函数无极值点.〔2〕当时，，时，时，时，函数在上无极值点。〔3〕当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极