高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形单元综合检测（三）理试题

单元综合检测(三)一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2016·广东百校联考)已知sin,则2sin2-1= ()A. B.- C. D.±1.B【解析】由已知得cosθ=,所以2sin2-1=-cosθ=-.2.已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值是 ()A. B. C. D.-2.B【解析】sin239°tan149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=(-cos31°)(-tan31°)=sin31°=.3.(2016·东莞六校联考)已知y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则φ= ()A. B.C. D.3.D【解析】由题可知=3-1⇒T=8,所以ω=.由函数图象过点(1,1),将其代入函数式,解得φ=.4.(2016·山西大学附中月考)设a,b,c为三角形ABC三边,a≠1,b<c,若logc+ba+logc-ba=2logc+balogc-ba,则三角形ABC的形状为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定4.B【解析】由logc+ba+logc-ba=2logc+balogc-ba得,即loga(c-b)+loga(c+b)=2,∴loga(c2-b2)=logaa2,即c2-b2=a2,∴a2+b2=c2,∴该三角形为直角三角形.5.(2016·海口一中月考)设g(x)是将函数f(x)=cos2x向左平移个单位得到的,则g等于 ()A.1 B.- C.0 D.-15.D【解析】由f(x)=cos2x向左平移个单位得到的是g(x)=cos2,则g=cos2=cosπ=-1.6.已知tan(π-α)=-2,则= ()A.-3 B. C.3 D.-6.D【解析】根据tan(π-α)=-2可得tanα=2,从而=-.7.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是 ()A. B. C. D.7.B【解析】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC得a2≤b2+c2-bc,变形得b2+c2-a2≥bc,∴cosA=,又∵A为三角形的内角,∴A的取值范围是.8.(2016·福建龙岩上杭一中期中考试)在△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,△ABC的面积为,则C= ()A.30° B.45° C.60° D.75°8.C【解析】∵△ABC中,∠B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得,∴sin∠C=,∴∠C=60°或120°,当∠C=60°时,∠A=90°;当∠C=120°时,∠A=30°.当∠A=90°时,∴△ABC的面积为·AB·AC=;当∠A=30°时,∴△ABC的面积为·AB·AC·sin∠A=,不满足题意,则∠C=60°.9.已知f(x)=x2+(sinθ-cosθ)x+sinθ(θ∈R)的图象关于y轴对称,则sin2θ+cos2θ的值为 ()A. B.2 C. D.19.D【解析】∵f(x)=x2+(sinθ-cosθ)x+sinθ(θ∈R)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴(-x)2+(sinθ-cosθ)(-x)+sinθ=x2+(sinθ-cosθ)x+sinθ,∴sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ,∴sin2θ+cos2θ=2sin2θ+cos2θ-sin2θ=sin2θ+cos2θ=1.二、填空题(每小题3分,共15分)10.(2016·广州实验中学月考)在△ABC中,已知角C=,a2+b2=4(a+b)-8,则边c=.

10.2【解析】由a2+b2=4(a+b)-8得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=4+4-2×2×2×=4,所以c=2.11.已知tanα=2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.

11.-【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]==-.12.(2016·四川广元中学月考)关于函数f(x)=4sin2x+(x∈R)有下列结论:①y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数;②y=f(x)的图象可由y=4cos的图象平移得到;③P(4,0)是y=f(x)的一个对称中心;④y=f(x)的图象关于直线x=对称;⑤函数f(x)在区间上单调递增.其中正确结论的序号是.

12.①②④⑤【解析】函数f(x)=4sin的周期为T==π,①正确;y=4cos=4cos-2x+=4sin2x+,将其向左平移得到4sin2x++=4sin2x+=4sin,②正确;在f(x)=4sin2x+中,令x=4,得y=4sin8+≠0,③错误;在f(x)=4sin中,令x=,得f(x)=4sin=4,因此④正确;在f(x)=4sin2x+中,令2kπ-≤2x++2kπ,解得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,所以⑤正确.三、解答题(共60分)13.(12分)(2016·华中师大附中期中考试)已知函数f(x)=(cos2x-sin2x)+2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)设x∈,求f(x)的值域和单调递减区间.13.【解析】(1)f(x)=cos2x+sin2x=2sin,∴T=π.(2)∵x∈,∴-≤2x+≤π,∴-≤sin≤1,∴f(x)的值域为.当≤2x+≤π时f(x)单调递减,解得x∈,∴f(x)的单调递减区间为.14.(12分)(2016·长春十一中期中考试)在△ABC中,已知tanA·tanB=.(1)求tanC的取值范围;(2)若△ABC边AB上的高CD=2,求△ABC面积S的最小值.14.【解析】(1)在△ABC中,tanC=-tan(A+B)=,由tanAtanB=,A,B都是锐角,所以tanC=3(tanA+tanB)≥6=4,当tanA=tanB=时tanC有最小值,故tanC≥4.(2)设AD=x,BD=y,则tanA=,tanB=,所以,即xy=3,且x>0,y>0,所以S△ABC=(x+y)CD=x+y≥2=2,当x=y=时“等号”成立.所以△ABC面积S的最小值为2.15.(12分)(2016·安徽六校联考)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0).y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求φ;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.15.【解析】(1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z,∵-π<φ<0,∴φ=-.(2)由(1)知φ=-,∴y=sin.由题意得f(x)单调递增时有2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数y=sin的单调递增区间为kπ+,kπ+,k∈Z.(3)∵|y'|='=2cos≤2,∴曲线y=f(x)的切线的斜率取值范围是[-2,2],而直线5x-2y+c=0的斜率为>2,∴直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.16.(12分)如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.16.【解析】∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ.∴∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得,∴,∴CP=sinθ.又,∴OC=sin(60°-θ).∴△POC的面积为S(θ)=CP·OCsin120°=sinθ·sin(60°-θ)·sinθsin(60°-θ)=sinθ×cos(2θ-60°)-,θ∈(0°,60°).故当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.17.(12分)(2016·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中考试)设函数f(x)=sin(ωx+φ),其ω>0,|φ|<,若coscosφ-sinsinφ=0,且图象的两条对称轴间的最近距离是.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若A,B,C是△ABC的三个内角,且f(A)=-1,求sinB+sinC的取值范围.17.【解析】(1)由已知可得,coscosφ-sinsinφ=cos·cosφ-sinsinφ