高考数学 考点一遍过 专题23 等比数列及其前n项和（含解析）理试题

专题23等比数列及其前n项和（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．（4）成等比数列，公比为．（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．（6）当时，；当时，．（7）．（8）若项数为，则，若项数为，则．（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列．（2）等比中项法：数列是等比数列．（3）通项公式法：数列是等比数列．（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.典例1设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n,设bn=an+3.求证：数列{bn}是等比数列,并求an.1．已知各项为正数的数列{an},a1=1,(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),证明：{an+1}是等比数列.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.典例2已知是等比数列，且，，则等于A．B．24C．D．48【答案】B典例3设是等比数列的前项和，，则公比A．B．C．或D．或【答案】C【解析】，又解得或，选C.2．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前项和为Sn，若S2A．B．C．D．考向三求解等比数列的通项及前n项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．典例4已知等比数列的前项和为，且，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，解得，那么，，所以，故选D.典例5已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.∴.3．在数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．考向四等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例6在等比数列中，是方程的根，则A．B．2C．1D．【答案】A【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.典例7已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．【答案】140方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，所以．方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，则，即，解得．4．已知为等比数列，，，则A．7B．5C．D．考向五数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例8若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为，求；（3）在（2）的条件下，记，设数列的前n项和为，求使成立的n的最小值．则（3）由（2）知，，又，即，即，又，所以，故使成立的n的最小值为．1．已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比A．2或B．2C．D．-22．在等比数列中，，，，则项数为A．3B．4C．5D．63．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为A．4B．3C．2D．14．在等比数列中，已知，则的值为A． B．C． D．5．在等比数列{an}中,a1=4,公比q≠1,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于A．2B．C．3D．6．设正项等比数列的前项和为，且，若，则A．B．C．D．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了A．96里B．48里C．192里D．24里8．在等比数列中，若，且，则=A．B．C．D．69．若数列满足，则__________．10．若等比数列的各项均为正数，且，则__________．11．已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．12．已知数列an}为等比数列，a1（1）求an（2）若数列bn}满足bn1．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏2．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则__________．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．变式拓展变式拓展1．【解析】因为(an+an-1)(an-3an-1-2)=0(n≥2,n∈N*),且an>0,所以an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),所以an+1=3(an-1+1)(n≥2),所以=3.又a1+1=2,故数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列.2．【答案】B【解析】S4-S2=a3+a4=3a4-3a2，即3a解得a13．【解析】（1），所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，则．（2）因为，所以．4．【答案】C考点冲关考点冲关1．【答案】B【解析】由等比数列的定义可得，即，解之得，故选B.2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式有，解得，故选C.3．【答案】B【解析】由等比数列中，与的等比中项为，得，又，故选B．4．【答案】B【解析】，，，，故选B．5．【答案】C【解析】由数列{Sn+2}是等比数列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,则(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,解得q=3(q=0舍去).6．【答案】C【解析】由，得，即数列为递减数列，由得，故可得，即，，，故，故选C.7．【答案】A【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，由题意知，故选A.8．【答案】A9．【答案】【解析】由题意得，所以，则数列是等比数列，公比为2.由已知得，则，因此．10．【答案】50【解析】由题意知，所以，因此，因此.11．【解析】（1）∵，∴时，，即，解得；时，①，②，由①-②得，.∴数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）由（1）知，