第3讲-利用勾股定理解决折叠问题(解析版)

2020-2021学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》同步练习【第3讲：利用勾股定理解决折叠问题】一、选择题：1．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4 B．3 C．4.5 D．5【答案】A【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．2．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为()A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2【答案】A【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．【详解】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．∴32+AE2=(9﹣AE)2．解得：AE=4cm．∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．故选：A．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．3．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE//AB.将ΔABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F点处，则AF的长是（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4【答案】A【解析】【分析】连接CF，根据勾股定理求得AB长，由三角形ABC的面积可得CF长，勾股定理可得AF长.【详解】解：如图，连接CF，根据题意，得CF⊥DE.因为DE//AB，所以CF⊥AB.因为∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10，所以SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF故选A.【点睛】本题主要考查了勾股定理，同时涉及了折叠的性质及三角形的面积，在应用勾股定理求线段长时，可通过添加辅助线构造直角三角形求解.4．如图，有一张直角三角形纸片，两条直角边，，将折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为（）A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75【答案】D【解析】【分析】设CD=x，则BD=AD=10-x．在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，就可以求出CD的长．【详解】解：设CD=x，则BD=AD=10-x．∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，100+x2-20x=x2+25，∴20x=75，解得：x=3.75，∴CD=3.75.故选：D.【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B【解析】∵直角边AC＝6cm、BC＝8cm∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=56．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．3【答案】B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：AB＝AC，,故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B/CF，CE⊥AB，然后求得△BCF是等腰直角三角形，进而求得∠B/GD=90°，CE-EF=，ED=AE=，从而求得B/D=1，DF=，在Rt△B/DF中，由勾股定理即可求得B/F的长．【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B/C=B4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B/CF，CE⊥AB，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B/CF=∠ACE+∠BCF，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B/FC=135°，∴∠B/FD=90°，∵S△ABC=AC×BC=AB×CE，∴AC×BC=AB×CE，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE==∴DE=EF-ED=，∴B/F==故选：B．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．8．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，在AC上取一E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】试题分析：由Rt△ABC中，BC=3,AB=5,利用勾股定理，可求得AC的长，由折叠的性质，可得CD的长，然后设DE=x，由勾股定理，即可列方程求得结果．∵Rt△ABC中，BC=3,AB=5,∴由折叠的性质可得：AB=BD=5，AE=DE，∴CD=BD-BC=2，设DE=x，则AE=x，∴CE=AC-AE=4-x，∵在Rt△CDE中，DE2=CD2+BCE2，∴x2=22+（4-x）2，解得：，∴．故选B．考点：此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．二、填空题9．如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为____．【答案】【分析】先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得，，,设，最后利用勾股定理列出方程即可求出的长．【详解】解:由勾股定理，得．由折叠可知，，．设，则，，．在中，，解得，即的长为故答案为:．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．10．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．【答案】7【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性质，得，的周长为7（cm）．【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题关键．11．如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，，则边的长是_______．【答案】5【解析】【分析】先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=5，再利用全等三角形的性质解答即可．【详解】设斜线上两个点分别为P、Q，则P点是A点对折过去的，∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH，∴∠HEA=∠PEH，同理∠PEF=∠BEF，这四个角互补，∴∠PEH+∠PEF=90∘，∴四边形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，∴BF=DH=PF，∵AH=HP，∴AD=HF，∵EH=3cm，EF=4cm，∴FH=5cm，∴FH=AD=5cm，故答案为：5.【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质，解题关键在于求出FH=5.12．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则ΔABE的面积为________cm2【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积.【详解】解：由题意可知BE=ED.因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm，所以BE=9-AEcm.在RtΔABE中，根据勾股定理可知，AB2+AE2=BE2，所以32+A故答案为：6【点睛】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.13．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________.【答案】3cm【解析】【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，

根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，

∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，

设CE=xcm,则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，

在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，

即82+BF2=102，

∴BF=6cm，

∴CF=BC−BF=10−6=4(cm)，

在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，

即(8−x)2=x2+42，

∴64−16x+x2=x2+16，

∴x=3(cm)，

即CE=3cm.

故答案为：3cm.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为________．【答案】3cm【分析】先根据勾股定理求出AB的长,设CD＝xcm,则cm,再由图形翻折变换的性质可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,进而可得出BE的长,在中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出CD的长.【详解】是直角三角形,AC＝6cm,BC＝8cm,

cm,

是翻折而成,

,

设DE＝CD＝xcm,,

,

在中,,

即,

解得x＝3.

故CD的长为3cm.【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．【答案】【详解】由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∴AC′=AB－BC′=10－6=4设DC=x则DC′=DC=x，则AD=AC－DC=8－x在Rt△AC′D中，（C′D）2＋（AC′）2=（AD）2∴x2＋42=（8－x）2∴x=3∴DC=3∴BD=，故答案为.16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．【答案】1.5【解析】在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．【答案】．【解析】【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=2，∴FM==2，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=2-2，∴点P到边AB距离的最小值是2-2．故答案为:2-2．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，BD=．【答案】【解析】如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴．∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2．设BD=ED=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=．∴BD=三、解答题19．如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．【答案】EF的长为【分析】联结CF，根据翻折的图形全等得到AF=CF，再根据勾股定理计算即可；【详解】联结CF，∵翻折的图形全等，∴AF=CF，设AF=x，则DF=8-x，，，∵OC=5，∴OF=，可证OE=OF，∴EF=．【点睛】本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键．20．如图，在中，，点为边中点，，分别在，上，且，连接．判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】．证明见解析.【分析】将沿着翻折得到，连接,由翻折可知，从而得出：，，，再利用SAS证出，从而得出，，最后利用勾股定理和等量代换即可证出结论．【详解】．证明如下：如图，将沿着翻折得到，连接．由翻折可知，∴，，，∴，，三点共线．∵为边中点，∴．在△BDE和△CDG中∴，∴，．又∵，∴，∴，即．在中，∵，∴．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．21．如图所示，已知在中，，折叠使，两点重合，折痕交于点，交于点，，于点，求的长．【答案】．【分析】根据折叠的性质可知:，,再根据三角形外角的性质可得,从而得出AE=DE,最后利用勾股定理即可求出AE．【详解】解:由折叠的性质可知:，．又∵，∴．∵，∴△ADE为等腰直角三角形,AE=DE由勾股定理，得，∴，∴．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．22．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8，AD=BC=10．求EC的长．【答案】3.【解析】【分析】设EC的长为x，则DE=8-x，再利用勾股定理求出BF的值，得出FC=BC-BF=10-6=4，再根据勾股定理即可解答.【详解】设EC的长为x，则DE=8-x．∵ΔADE折叠后的图形是ΔAFE，∴AD=AF，DE=EF．∵AD=BC=10，∴AF=10．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90在RtΔABF中，BF=∴FC=BC-BF=10-6=4．在RtΔEFC中，F∴42+x∴EC的长为3．【点睛】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于求出FC的值.23．把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．【答案】EC的长度为3．【解析】试题分析：由长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，可得AF=AD=10，DE=EF，然后设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的长，继而可求得CF的长，然后在Rt△CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2+42=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，∵△ADE折叠后得到△AFE，∴AF=AD=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，即EC的长度为3．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．24．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；（1）求点E的坐标及折痕DB的长；（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDM