第1章 一元二次方程（单元提升卷）（解析版）

第1章一元二次方程（单元提升卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（2021秋•宝应县期中）下列方程中，一元二次方程是（）A． B．x2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【解答】解：A．x﹣＝0是分式方程，故此选项不符合题意．B．x2+1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；D．x﹣y﹣1＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．2．（2022秋•盱眙县期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．3．（2022•岳麓区校级开学）某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，可列出的方程为（）A．12.5（1+x）2＝8 B．12.5（1﹣x）2＝8 C．12.5（1﹣2x）＝8 D．8（1+x）2＝12.5【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x），第二次后的价格是12.5（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：12.5（1﹣x）2＝8．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．4．（2022秋•大丰区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣10＝0，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝14 D．（x﹣2）2＝14【分析】先移项，再配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x﹣10＝0，移项，得x2﹣4x＝10，配方，得x2﹣4x+4＝10+4，即（x﹣2）2＝14，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．5．（2023春•射阳县校级期中）已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7＝a﹣4++7＝+3＝+3＝2023．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．6．（2021秋•梁溪区校级期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，解得m＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．（2022秋•建邺区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2022代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以2022，可得结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，∴20222a+2022b＝c，∴a+＝，∴﹣＝a，∴x＝﹣是方程cx2+bx＝a的实数根．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键．8．（2022•广陵区校级开学）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．9．（2023春•扬州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【分析】根据已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，求出x即可．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1是解此题的关键．10．（2020秋•虎丘区校级期中）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．（2023春•滨江区校级期中）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值等于4．【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2＝k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2＝k∴（k+1）（k﹣3）＝5∴k2﹣2k﹣3＝5，即k2﹣2k﹣8＝0∴k＝4，或k＝﹣2又∵x2+y2的值一定是非负数∴x2+y2的值是4．故答案为：4．【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．12．（2022秋•巨野县期中）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是m≤0．【分析】根据直接开平方法求解可得．【解答】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．13．（2022•陵城区模拟）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是34．【分析】讨论：当a＝4时，则4+b＝12，解得b＝8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b＝4时，不符合三角形三边的关系；当a＝b时，利用根与系数的关系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，则m+2＝36，从而得到m的值．【解答】解：当a＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4＝8，不符合题意；当b＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合题意；当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值为34，故答案为34．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．14．（2021秋•姑苏区校级月考）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠2．（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝1．【分析】（1）直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；（2）将x＝0代入方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故答案为：m≠2；（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，∴m2﹣1＝0，∴m＝1或m＝﹣1，∵m+1≠0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，本题属于基础题型．15．（2021秋•广陵区期中）若关于x的方程（m﹣1）+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为﹣1．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得，，由①得，m＝±1，由②得，m≠1，所以，m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．16．（2022春•崇川区校级月考）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝16．【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，（m2+3m+3）（n2+3n+3）（1+3）（1+3）＝4×4＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，也考查了一元二次方程的解．17．（2021秋•灌南县校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是14．【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．（2020秋•宜兴市校级月考）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．（2022秋•玄武区校级期中）解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2022秋•丰县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，则2m+m2+m＝4，然后解关于m的方程，再利用m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，∵x1+x2+x1•x2＝4，∴2m+m2+m＝4，整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵m≤0，∴m的值为﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．21．（2022秋•仪征市校级月考）2022年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率；（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+40m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+40m）件，依题意得：（40﹣m﹣25）（400+40m）＝6240，整理得：m2﹣5m+6＝0，解得：m1＝2，m2＝3．答：当商品降价2元或3元时，商场月获利6240元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（2022•宿豫区校级开学）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+＝1，即＝1．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求（1）mn的值；（2）+．【分析】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式变形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵+﹣2＝0，∴2n2﹣5n﹣1＝0，根据2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝，mn＝﹣，（1）mn＝﹣；（2）原式＝＝＝29．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．23．（2023春•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2（x1＞x2），且为整数，求整数m所有可能的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为m，m+1，得出＝＝1+，然后利用有理数的整除性确定m的整数值．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×（m2+m）＝1＞0，∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0，即（x﹣m）[x﹣（m+1）]＝0，解得：x＝m或x＝m+1．∴一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0的两根为m，m+1，∵x1＞x2，∴x1＝m+1，∴＝＝1+，如果1+为整数，则m＝﹣4或﹣2或0或2，∴整数k的所有可能的值为﹣4或﹣2或0或2．【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出m的整数值．24．（2022•宿豫区校级开学）某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏．（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价m%，则可多售出2m%．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求m的值．【分析】（1）当降价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，利用总利润等于每盏灯的利润乘以销售量列方程得（10x+300）（400﹣300﹣x）＝40000，然后解方程即可；（2）当x＝380时，销售量为500盏，则利用一月份的销售额达为209950元列方程得380（1﹣m%）×500（1+2m%）＝209950，然后解关于m%的一元二次方程即可得到m的值．【解答】解：（1）当降价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，根据题意得（10x+300）（400﹣300﹣x）＝40000，解得x1＝50，x2＝20，所以400﹣50＝350（元），400﹣20＝380（元）．答：当销售单价为350或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；（2）当售价380时，此时销售量为500盏．根据题意得380（1﹣m%）×500（1+2m%）＝209950，解得m＝15或m＝35，当m＝15时，销售单价为323元；当m＝35时，销售单价为247元，将亏损，故舍去．答：m的值为15．【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．解决本题的关键是理解总利润等于每盏灯的利润乘以销售量．25．（2021•邗江区校级开学）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．应用：请用换元法解下列各题：（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．【分析】（1）设x2+y2＝m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果；（2）设x+＝m，方程变形后用十字相乘法求m，代入设的条件求出x；（3）首先等式两边都除以b2，把原方程转化为一元二次方程，解出即可．【解答】解：（1）设x2+y2＝m，原方程化为：（m+1）（m+3）＝8，m2+4m﹣5＝0，b2﹣4ac＝36＞0，∴方程有两个不想等的实数根，解得m1＝﹣5，m2＝1，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1．（2）设x+＝m，原方程化为：m2+m﹣2＝0，（m+2）（m﹣1）＝0，m+2＝0或m﹣1＝0，m1＝﹣2或m2＝1．∴x+＝﹣2，x2+2x+1＝0，（x+1）2＝0，x1＝x2＝﹣1，经检验是原方程的解，∴x＝﹣1．x+＝1，x2+x+1＝0，b2﹣4ac＜0，∴此方程无解．综上所述，x＝﹣1．（3）原方程化为：+﹣1＝0，+﹣1＝0，∴＝，∴＝，＝．【点评】本题考查了换元法求解，掌握如何换元是解题关键．26．（2022秋•东海县校级月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设出AD的长，表示出AB的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度为11米即可；（2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可．【解答】解：（1）设AD的长为x米，则AB为（24﹣3x）米，根据题意列方程得，（24﹣3x）•x＝45，解得x1＝3，x2＝5；当x＝3时，AB＝24﹣3x＝24﹣9＝15＞11，不符合题意，舍去；当x＝5时，AB＝24﹣3x＝9＜11，符合题意；答：AD的长为5米．（2）不能围成面积为60平方米的花圃．理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，于是有（24﹣3y）•y＝60，整理得y2﹣8y+20＝0，∵Δ＝（﹣8）2﹣4×20＝﹣16＜0，∴这个方程无实数根，∴不能围成面积为60平方米的花圃．【点评】此题的关键是利用长方形的面积计算公式列方程解答问题，注意结合图形．27．（2021春•建湖县月考）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出500只粽子，利润为400元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【分析】（1）根据零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，求出零售单价下降0.2元卖出的粽子和利润；（2）当零售单价下降m时，表示出利润，并将