2023届广东省高考研究会高考测评研究院高三年级上册阶段性学习效率检测调研卷数学试题

广东省高考研究会高考测评研究院2020级高三第一学期

阶段性学习效率检测分阶考

数学

本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集〃，集合A和集合8都是U的非空子集，且满足则下列集合中表

示空集的是()

A.B.AnBC.(楙)c(胆)D.

2.已知复数z满足型+D=3-2i,则I在复平面内对应的点的坐标为()

i

U'I

A.12引D.

5

22>

3.函数产的部分图象…

则当a>0,。>0时，a+匕的最小值

为()

A.4B.272C.2D.0

5.已知a=五，b=log.3(1n»)，c=(^］，则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

HH

6.若数列｛a,J满足a“a“+i+a“+i-a“+l=O,at=A(%O，且；L±1),记

Tn=a,a2---an,则与023=()

11-2

A-lB.—C.------D.

21+2

A(2-l)

1+2

22

7.已知椭圆E：二+2二=1的左右顶点分别为A，4,圆。1的方程为

164

、2

2(6

x+1)+y------上，动点p在曲线E上运动，动点。在圆a上运动，若尸的

24

/

面积为4百，记忸。|的最大值和最小值分别为阳和“，则加+〃的值为()

A.V7B.2币C.3A/7D.4币

8.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法''是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其

理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为2和4(a,Ac,dwN+),则*

aca+c

是X的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道逐=2.236067…，令

y<V5<y,则第一次用“调日法”后得II是君的更为精确的过剩近似值，即

y<V5<^,若每次都取最简分数，则用“调日法'’得到逐的近似分数与实际值误差小于

的次数为()

A.五B.四C.三D.Z1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来国家教育系统全面加快推进教育现代化，建设教育强国，各级各类教育事业发展

取得了新进展.根据2021年国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展

统计公报》中的数据，作出如下柱状图，则下列叙述正确的是()

万人12017-2021年普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数

国普通本专科因中等职业教育□普通高中

A.2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加

B.普通本专科招生人数在2017-2018年增长最多

C.2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中

所占比例逐年下降

D.2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万

10.一般地，如果一个凸“面体共有阳个面是直角三角形，那么我们称这个凸〃面体的直度

为竺，则以下结论正确的是（）

n

A.三棱锥的直度的最大值为1

B.直度为巳的三棱锥只有一种

4

C.四棱锥直度的最大值为1

4

D.四棱锥的直度的最大值为二

11.已知函数〃x）=si3+尸则下列说法正确的是（）

|sinx|

A.函数的一个周期为2兀

B.函数/（X）图像关于x=5对称

C.函数“X）在区间传司上单调递增

D.函数/（X）的最小值为2

12.已知函数/（》）=幽三"为常数），其导数为/'（力，且"1）=1，设

g（x）=j/（x）,则下列说法正确的是（）

A./（%）＞0

B.r（x）＜o

C.任意/，^e（e2,+oo）,都有/（土产）4

D.若曲线〉=g（x）上存在不同两点A,B,且在点A,B处的切线斜率均为则实数上的

取值范围为（0、）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在中，。为8c的中点，向量Q4，OB的夹角为60°,|。$=2］。@=2,则线

段AC的长度是.

14.如图，在三棱台ABC-AB|G中，面ACC4上面ABC，AB1BC,且

AC=2AG=4,侧面ACGA是面积为6近的等腰梯形，则侧棱B耳的长度为.

15.已知函数/（x）=2cos（3X+e）[3>0，M[w]J图象两条相邻对称轴间的距离为1,

点在函数/（X）的图象上，若关于X的方程〃x）+2sin（s+；）=^在区间

[〃?,〃]（〃?<〃）上至少有2022个实数解，则〃一机的最小值是.

16.双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定

位.定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到

三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确

定待定点的位置.例如图所示，片，工，玛为三个已知点，点M即为两条位置双曲线C-

C?确定的待定点.现海上有三个两两相距180公里的岸台A,B,C三个岸台同时发射电磁

波，远离岸台A,B,C的船只S同时接收到了来自岸台A,B的电磁波信号，而接收到岸台

。的信号比接收到岸台A，8的信号早了200g微秒（已知1微秒等于KT6秒，且电磁波

在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为公里.

Fi6

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①m=(2a-g〃)，n=(cosC,cosB),mlIn；②。sirb4=acos

③(a+0)(a—0)=(a—c)c三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在一ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分.

(1)求—8；

(2)若b=2,求一ABC周长的取值范围.

18.已知数列｛《,｝的前”项和为％且s,=即尸，〃eN*.

(1)求数列｛凡｝通项公式；

(2)设集合尸=卜卜=4，〃61^*｝,Q=｛xk=6〃—2,〃eN*｝,等差数列｛q,｝的任一项

c“G(PQ),其中q是尸UQ中的最小元素，64<C12<70,求数列｛%｝的前〃项和7；.

19.如图，在几何体A8C。跖中，四边形ABC。为矩形，AF//DE，AF1EF，

AF=2DE=2EF=2，AD=V2-

(1)证明：AD1CF；

(2)若面面ABCD,且直线8E与平面A3厂所成角的正弦值为g,求此时矩形

ABCD的面积.

20.己知函数/(x)=2x3+fex2+x(》eR).

(1)判断函数/(X)零点的个数；

(2)若函数g(x)=e*+x+cosx,且对任意xe(0,+oo),都有g(7(x))2g(lax)恒成立,

求实数〃的最小值.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点尸(1,0),直线八x=—1,尸为平面上的动

点，过点尸作直线/的垂线，垂足为点Q,分别以PQ,PF为直径作圆G和圆。2,且圆G和

（2）若直线4：兀=阳+。交轨迹E于A,8两点，直线，2：X=1与轨迹E交于M,。两

点，其中点M在第一象限，点A,B在直线4两侧，直线4与4交于点N且

\MA\-\BN\^\AN\-\MB\,求AMAB面积的最大值.

22.随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖

商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：

（1）某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客

的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，

求这两人至少选择一部价位在3500-4500元的手机的概率；

（2）该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的

容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器

中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停

止抽取，其中得9分为中奖，享受标价打〃折(〃eN*)优惠，得10分则未中奖按标价购

买.设得i分的概率为E(，=1,2,10),其中4=1.

(i)证明{4一ET}(Z<10,且ieN*)是等比数列；

(ii)假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几折才不致亏损?

广东省高考研究会高考测评研究院2020级高三第一学期

阶段性学习效率检测分阶考

数学

本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集〃，集合A和集合8都是U的非空子集，且满足则下列集合中表

示空集的是（）

A.B.AnBC.（楙）c（胆）D.

AA（”）

【答案】D

【解析】

【分析】利用河〃图表示集合AB,结合图像即可找出表示空集的选项.

【详解】由丹〃图表示集合8如下：

由图可得（枷）3=小，AB=A,（脾）c（M）=%8,A（63）=0,

故选：D

2.已知复数Z满足mtD=3-2i,则三在复平面内对应的点的坐标为（）

1_2J_55j_

2，-22,22,2

5

2，-2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法运算解出z=?+L,则得到5=二-一i,则得到对应的点.

【详解】北0=3-2i,

.二i(3—2i)(3i+2)(l—i)=5i_

"Z~1+i-(l+i)(l-i)~22'

则5=g-'i,其对应点为(j■，一,

故选：D.

3.函数y=GT)M(c°S“)的部分图象大致为()

【解析】

【分析】通过函数的奇偶性可排除AC,通过x->0+时函数值的符号可排除D,进而可得

结果.

…小人，、(3'-l)ln(cosx)/jrTT\

【详解】令f(x)=1---U------其定义域为一5+2E,,+2E,ZeZ关于原点

v73V+1

对称,

(3-JC—l)ln(cos-x)(l-3v)lncosx

x)=—〃x)'

3-*+11+3”

所以函数/(x)为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC,

当xf(T时，3,-1>0，3v+l>0.lncosx<0,即/(x)<0,故排除D,

故选：B.

4.已知(or+9)的展开式中。项的系数为160,则当a>0,b>0时，a+Z?的最小值

为()

A.4B.272C.2D.V2

【答案】B

【解析】

3

【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过后募指数为160,求出。。关系式，然

后利用基本不等式求解表达式的最小值.

1项的系数为160,

【详解】CIXH—『的展开式中

JX>

所以j=q(以)6[9)=/方c/3，

33

令6—r=—,解得r=3

22

所以=160,所以"=2,

,.,«>(),h>0,a+b>14ah^2y[2,当且仅当a=b=&时等号成立，

二a+b的最小值为2及，

故选：B.

5.已知a=我，》=logjln»),c=(g)，则a,b,c大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数的性质，中间数0、基函数、对数函数的单调性可得a,b,c的大小

关系.

【详解】根据指数函数的单调性可得a=/>e°=l，0<c=(’m，

根据对数函数的单调性可得匕=l°g3(E])<log31=0,

44

所以AcVz，

故选：D.

6.若数列｛a“｝满足。“。“+|+。“+1-/+1=0,a,=A(4/0,且；lw±l),记

T“=a—,则73=()

11-2

A.-1B.—C.---D.

21+2

2(2-1)

1+2

【答案】C

【解析】

【分析】通过递推式。“勺+1+。"+|-/+1=0得出数列｛。“｝是以4为周期的数列，进而可

得结果.

a—1

【详解】由anan+l+。“+|-a“+1=0得an+i=——

-1

贝I]4+4=--------=an，

4+2

所以数列｛%｝是以4为周期的数列，

2-11-2-1

因为q=/l,所以生=----,%=——,4=-----，则6%%。4=1，

1+X4A—1

btIT11A

所以《023=79

1+/L

故选：C.

7.已知椭圆£：工+匕=1的左右顶点分别为％,4,圆。।的方程为

164

（r~\2

（X+1）2+y-y-=；，动点。在曲线E上运动，动点。在圆。|上运动，若4442尸的

面积为4月，记|尸。|的最大值和最小值分别为加和〃，则加+〃的值为（）

A.币B.2A/7C.3近D.4币

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再结合圆外的点与圆上的点距离最大与最小值

的求解作答.

22

【详解】椭圆E：二+匕=1中，4（一4,0）,4（4,0）,设P（x0，%），因△44P的面

164

积为40，

则glA4l"yol=4lNol=4G,解得%=_6或%=百，当％="时，/=±2,

当为=g时，x0=±2,

即点P(-2,x/3)或P(—2,-百)或P(2,G)或P(2,一百)，

圆。：（X+1）2+（>一1）2=；圆心。］（—1,勺），半径，=g,

此时IP«*当或1尸卬=与或IP。1=半或IP。1=乎，显然

币而回3币

r<——<----<-----<-----，

2222

又点。在圆。1上运动，则有|PQImax=|PqLx+r=~-+r>

此时点网2,-@,IPQImLlPOJ而「此时P（-2,⑹，

即机=+r,n=--r，所以加+〃=2币.

32"2

故选：B

8.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法''是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其

理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为2和4（a,Ac,4wNj,则无区

aca+c

是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道>/5=2.236067…，令

日（正<£,则第一次用“调日法”后得得是否的更为精确的过剩近似值，即

y<V5<-=^,若每次都取最简分数，则用“调日法''得到逐的近似分数与实际值误差小于

的次数为（）

A.五B.四C.三D.~

【答案】B

【解析】

【分析】根据定义逐次求算，直到满足近似分数与实际值误差小于即可.

详解】第一次用“调日法'’后得苫■〈逐〈意=2.3,不合题意；

第二次用“调日法”后得y<V5<!|=2.26,不合题意；

竺

第三次用“调日法''后得g<<

=2.25,不合题意;

20

第四次用“调日法''后得?<<56

25=2.24,合乎题意,

即用“调日法''得到V5的近似分数与实际值误差小于的次数为四次，

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来国家教育系统全面加快推进教育现代化，建设教育强国，各级各类教育事业发展

取得了新进展.根据2021年国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展

统计公报》中的数据，作出如下柱状图，则下列叙述正确的是()

万人12017-2021年普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数

12oo

10oo7

m8

876

80o

76180一079

16145

60oI5R82

15157:

40o<?^

^^

20O^

^^^

O

72O

2012002

普通本专科□中等职业教育□普通高中

A.2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加

B.普通本专科招生人数在2017-2018年增长最多

C.2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中

所占比例逐年下降

D.2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万

【答案】AD

【解析】

【分析】从柱状图的数据分析可得A正确，B错误；计算出2017-2021年普通高中招生人数

在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例，2021年的比例大于2020

年的比例，故C错误；计算出平均数，得到D正确.

【详解】由柱状图可知，2017年-2021年普通本专科招生人数依次为761,791,915,967,

1001,人数逐年增加，A正确;

2017-2021年普通本专科招生人数761,791,915,967,1001,增长人数为30,124,52,

34,即2018-2019年增长人数最多，所以B错误.

2017-2021年普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占

800793

比例分别为«0.373»0.370

761+582+800791+557+793

839876905

0.356,0.352,»0.353,所以

915+600+839~967+645+876~1001++656+905

C错误.

582+557+600+645+656

中等职业教育平均招生人数=608万，所以D正确.

5

故选：AD.

10.一般地，如果一个凸力面体共有加个面是直角三角形，那么我们称这个凸〃面体的直度

为四,则以下结论正确的是()

n

A.三棱锥的直度的最大值为1

B.直度为三的三棱锥只有一种

4

C.四棱锥的直度的最大值为1

4

D.四棱锥的直度的最大值为二

【答案】AD

【解析】

【分析】先分析出三棱锥的直度最大为1,在画出三棱锥，得到4个面都是直角三角形，直

3

度为1,A正确；画出图形，得到直度为巳的三棱锥不止一个，B错误；分析出四棱锥的直

4

44

度最大为二，C错误，画图图形得到直度为二的四棱锥，D正确.

m

【详解】三棱锥共4个平面，这4个平面均有可能是直角三角形，故一＜1,

n

如图1,借助长方体模型，可知三棱锥O—ABC的4个面都是直角三角形，直度为1,故A

正确；

图I

如图2,借助长方体模型，三棱锥O—A5C的3个面，平面D43,平面。8C,平面ABC

3

是直角三角形，平面ADC不是直角三角形，故直度为一，

4

而图1中的三棱锥E—3CD,平面EBC,平面O8C,平面ECD是直角三角形，平面5£)E

不是直角三角形，故直度也为巳3，故B错误；

图2

4

四棱锥共有5个面，其中4个侧面为三角形，底面为四边形，故直度最大为C错误；

如图3,借助长方体模型，四棱锥尸-ABCD的4个侧面是直角三角形，底面是矩形，直度

4

为《，故D正确.

图3

故选：AD.

11.已知函数/（村=5皿丫+温不，则下列说法正确的是（）

A.函数“X）的一个周期为2兀

B.函数/（X）的图像关于x对称

C.函数/（X）在区间仁司上单调递增

D.函数/（X）的最小值为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项,计算出f（x+2n）=f（x）,A正确;计算出f（Tt-x）=/（x），故函数/（x）

的图像关于》苦对称，B正确；令仁sinx,得到t=sinx在作2兀）上

单调递增，又y=r-；在（-1,0）上单调递增，由复合函数的单调性满足同增异减得到C正

sinx+/一,0<sinx<1

确；去掉绝对值，得到/（X）=<龙，当一iwsin<0时，

sinx-----,一1<sinx<0

、sinx

y=sinx-一匚的值域为［0,+。），故D错误.

sin%

［详解］/（X+2兀）=sin（X+2兀）+（x+27t）|=国皿+'所以选项A正

确；

/(K-x)=sin(n-x)+|—(――j=所以选项B正确；

当时，sinx<0,所以〃x)=sinx----,令/=sinx,te(-l,O),

k27sinx

易知仁sinx在作,2兀)上单调递增，y=f—；在(-1,0)上单调递增，

根据复合函数单调性可得函数/(%)在区间(与,2兀)上单调递增，所以选项C正确；

sinx+-,0<sinx<l

sinx

因为/(x)=sinx+丽

sinx-----,-l<sinx<0

sinx

当0<sinxWl时，sinr+—>2,当且仅当sinx=1时等号成立；

sinx

当-lWsinx<0时,令/=5加,te［-l,O),>=，」在［-1,0)上的值域为［0,+8),

所以函数/(x)的值域为［0,+。)，所以选项D错误.

故选：ABC.

12.已知函数/(司=(1-)+k(%为常数)，其导数为/"(x),且/⑴=1,设

g(x)=V(x),则下列说法正确的是()

A./(x)>0

B.尸(x)<0

C.任意当，e(e2,4<o),都有</(xi)+/(x2)

D,若曲线y=g(x)上存在不同两点A,B,且在点A,B处的切线斜率均为k,则实数k的

取值范围为(0」

Iej

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,根据/(1)=1即可判断；对于B,直接求导，根据导数运算即可判断；对

于C,设〃(％)=/一以当丝J，xN%>e2,确定函数的单调性，即可判断;

对于D,将问题转化为y=女与y=g'(x)应有两个不同的交点，确定导函数g'(x)的增减

性与取值情况，分析图像，即可判断.

【详解】函数的定义域为(0,+/),

由题意得，/。)=左=1,所以〃力=幽+1,A正确；

令姒力=/,(力=_(*2n川=_(3]),则r(x)40,B不正确；

夕，(力=”上二芈上21,当工“2时，。(力>0,/'(X)单调递增，

设◊)=/(昔斗丝9xM7,则”(》)=，《三^)-7(力

因为x">e2,所以e?4x,〃(x)=1f-/^x)j<0,

，，II，/J

〃(x)单调递减，/i(x)</z(x,)=0,C正确;

因为g(x)=4(x)=(lnx『+1,所以g'(x)=生竺,

21nx.,、2—21nx

令。(x),贝q"(zx)=--3—

x

令“(x)>0,解得0<x<e；令。'(x)<0,解得]>e

画出y=g'(x)的图像如图:

因为曲线〉=g(x)上存在不同两点A,B且点A,B处切线斜率均为3

所以3；=4与＞=8'(6应有两个不同的交点，所以D正确；

故选:AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在.ABC中，。为8c的中点，向量。4，08的夹角为60°，［04|=2|。@=2,则线

段AC的长度是.

【答案】币

【解析】

【分析】根据条件可得。4=06+。4,结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到

结果.

【详解】C4=CO+OA=08+04，

*=河+*=阿1+网2+2OA.O8=4+1+2X2X1X；=7,

同="

故答案为：、万.

14.如图，在三棱台ABC-A4G中，面4。64，面48。，ABd.BC,且

AC=24G=4,侧面ACG4是面积为6立的等腰梯形，则侧棱BB］的长度为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据已知条件及等腰梯形的性质，利用面面垂直的性质及梯形的面积公式，结合勾

股定理即可求解.

【详解】分取AC,AG的中点。和。I，连接。。，BO,BR,如图所示

•.•四边形是等腰梯形，

又面ACG4,面A8C,面ACGA1'面ABC=AC，O0u面ACC/，

oox±[SiABC

•*-S梯ACGA=；x(4+2)OQ=6/，,OO\=20

又一ABC和AG是直角三角形，AC=4,AG=2，

：.OB=2,Q4=l

在直角梯形。8与。|中，BBI=Ji+OO：=j或=3.

故答案为：3.

15.已知函数/(力=28$(8+。)卜〉0,倒49图象的两条相邻对称轴间的距离为1,

点A6,2)在函数/(x)的图象上，若关于x的方程/(x)+2sin(0x+?=G在区间

[加,〃](〃?<〃)上至少有2022个实数解，则〃一根的最小值是.

【答案】处留##202()2

33

【解析】

【分析】根据题意得到。=§=兀，夕=一(得至U/(x)=2sinm,解方程得到x=2上或

2?4

x=2k=keZ,相邻两个零点之间的距离是§或一，区间〃一机最小，则，小〃都是方

程的实数解，故[〃?,2020+间上有2021个解，从而在区间(2020+相,可上至少有一个实

2

数解，列出不等式〃—2020—mN—,解出答案.

3

27T

【详解】由题意得：最小正周期T=2,故兀，所以〃x）=2cos（⑪+同，

又2=2cos（5+e）,所以COS（*1+Q）=1,（p=2krc-^,keZ,

因为冏〈为，所以只有当左=0时满足要求，＜P=_%故〃x）=2sin7Lr.

乙乙

所以2sinxr+2sin»+3sin7L¥+cos口二百，

化简得：sin（7ix+q=；,

,71_,71„Tt_,5兀

此时：TLX+—=2kn+—,或兀r+—=2Ed---,

6666

、2

得％=2%或x=2Z+—kEZ.

3

相邻两个零点之间的距离是（2或一4，区间〃一机最小，则小，〃都是方程的实数解，

33

此时在区间［m,2+加］，卜小4+向，卜736+间，上〃,2020+向上分别有3,5,7,9---2021

个实数解，

故在区间（2020+租,可上至少有一个实数解.则〃-2020-加2|,解得：〃-〃亚等•，

16.双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定

位.定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到

三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确

定待定点的位置.例如图所示，F2,K为三个已知点，点M即为两条位置双曲线C1,

。2确定的待定点.现海上有三个两两相距180公里的岸台A,B,C三个岸台同时发射电磁

波，远离岸台A,B,C的船只S同时接收到了来自岸台A,8的电磁波信号，而接收到岸台

。的信号比接收到岸台A,8的信号早了200G微秒（已知1微秒等于10出秒，且电磁波

在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为公里.

Cl)

2

7M

C2

FiF2

【答案】246

【解析】

【分析】以CA所在直线为x轴，以线段。的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

由题意可得|S41Tse=608，则船只S在以C,A为焦点的双曲线的左支上，结合双曲

线的定义可求出其标准方程，船只S也在线段AB的垂直平分线x=0y-9()上，联立方程

组可点S的坐标，进而求得船只S与岸台C的距离.

【详解】以CA所在直线为x轴，以线段C4的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如

图，

|AB|=|BC|=|C4|=180,A(90,0),C(-90,0),

船只S距离岸台C比岸台A,8近2006x300=60000百米，即60有公里,

即船只S到岸台C比到岸台A的距离近60百公里，即=606，

则船只S在以C,A为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为3-方=1(。＞0力＞0),

则2a=60g,2c=180,=c2-a2=5400,

2y2

则船只s的位置双曲线的方程为一匚=l(x<0),

27005400

又因为船只S到岸台A,8距离相等，所以船只S也在线段AB的垂直平分线上,

设线段AB的中点。，则NOC4=30°,A：a)=tan300=¥，

则线段AB的垂直分线CD的方程为y=立（%+90）,即x=百丫一9（）,

22

ry=1x=-54x=90

联立《27005400，解得或<厂(舍)，故S(—54,12拘,

y=126”y=60>/3

x=-J3y-90

所以船只S到岸台C的距离为|CS卜J（-54+90）2+（126），=246公里.

故答案为：24G.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①祖=(2Q-C,〃)，«=(cosC,cosB),m//〃；②bsin/l=acos18-弓J；

③（”+匕）（4一万）=（。一。）。三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在4ABe中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分.

（1）求N3；

（2）若b=2,求心ABC周长的取值范围.

【答案】（1）B=1

（2）（4,6]

【解析】

【分析】⑴选①：根据向量平行得到（2a—c）cosB—AosC=0,结合正弦定理和正弦和

角公式得到cos3=g,结合3«0,兀），求出8=]；选②：由正弦定理和余弦差角公式,

辅助角公式得到sin8一《=0,结合3€（（）,兀），求出B=g；选③：由余弦定理得到

cos8=g,结合Be（0,7i）,求出8=1；

（2）由余弦定理和基本不等式，结合三角形两边之和大于第三边，得到2<a+cW4,得

到周长的取值范围.

【小问1详解】

若选①：因为加=(2tz-c,b),n=(cosC,cosfi),m/In，

所以(2a-c)cosB-Z?cosC=0,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB-siaBcosC=0,

即2sinAcos5-(sinCcosB+siiiBcosC)=0,

所以2sio4cosB=sin(8+C)=sin4,

因为Ae((),7T),所以sinA/0,

所以cosB=J,

2

因为Be（O,兀），所以B=1,

若选②：由正弦定理得sinBsinA=sirL4cos（8

故sinBsinA=——sinAcosB+—sinAsinB

22

所以一sinBsi"=——siMcosB，

22

因为Ae((),7T),sinA/O,

所以，sinB-走cos8=sin(8-四=0.

22I3)

因为Be(O,兀)，所以B=1；

若选③：由(a+Z?)(a-/?)=(a-c)c得4+c2-b2=ac>

由余弦定理得：c°s匹什亚=黑j

因为3G（0,兀），所以8=1.

【小问2详解】

jr

222

由（1）可知，B=§,a+c-b=ac^

又力=2,所以〃2+°2=以?+4，

由基本不等式得：+c2>2ac，即ac+4N2ac,

所以ac<4,当且仅当。=c=2时，等号成立.

又（q+c）~=a1+c2+2ac=3ac+4<16,

即0<Q+C<4,又Q+C>2,所以2va+c<4,

所以4<a+b+c46,

即周长的取值范围是（4,6].

18.已知数列｛4｝的前“项和为S"，且S“=叫尸，〃eN”.

（1）求数列也｝的通项公式；

（2）设集合尸=卜,=%,〃wN*｝,Q=｛xk=6〃-2,〃wN*｝,等差数列｛q,｝的任一项

C„G（PQ）,其中q是PUQ中的最小元素，64<C12<70,求数列｛%｝的前〃项和7；.

【答案】（1）=3»-2,〃eN*

2

（2）Tn=3n-2n

【解析】

S.,n=1

【分析】（1）根据4=°C求出通项公式；

电-S,I，〃N2

（2）在第一问基础上得到尸Q=P,q=l,q2=l+3M〃2GN）根据64<%<70求

出相=22,《2=67,求出等差数列｛qj的公差，及通项公式c“=6〃—5,从而求出7；.

【小问1详解】

由S“=^^,〃eN*得：

当〃22时，a=S-S2^一3（〃一1『一（"1）=3“一2,

"""T22

当九=1时,4=1=1符合上式，

所以数列｛%｝是首项为1，公差为3的等差数列.故4,=3〃-2,〃eN";

【小问2详解】

因为尸=｛1,=3”-2,〃61'4"｝,Q=｛X[X=6"-2,〃GN*｝,

/.PQ=P,

又,：C.GPQ,其中。是PUQ中的最小元素，

*'•Cj=1,

・・・｛%｝的公差是3的倍数，

/.